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固体物理基础习题解答第一章 金属自由电子气体模型思 考 题 1.如何理解电子分布函数的物理意义是: 能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率?解答金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布, 温度为T时, 分布在能级E上的电子数目,g为简并度, 即能级E包含的量子态数目. 显然, 电子分布函数是温度T时, 能级E的一个量子态上平均分布的电子数. 因为一个量子态最多由一个电子所占据, 所以的物理意义又可表述为: 能量为E的一个量子态被电子所占据的平均几率.2.绝对零度时, 价电子与晶格是否交换能量?解答晶格的振动形成格波，价电子与晶格交换能量，实际是价电子与格波交换能量. 格波的能量子称为声子, 价电子与格波交换能量可视为价电子与声子交换能量. 频率为的格波的声子数.从上式可以看出, 绝对零度时, 任何频率的格波的声子全都消失. 因此, 绝对零度时, 价电子与晶格不再交换能量.3.你是如何理解绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近这一点的?解答自由电子论只考虑电子的动能. 在绝对零度时, 金属中的自由(价)电子, 分布在费密能级及其以下的能级上, 即分布在一个费密球内. 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的少数电子, 而绝大多数电子的能态不会改变. 也就是说, 常温下电子的平均动能与绝对零度时的平均动能一定十分相近.4.晶体膨胀时, 费密能级如何变化?解答费密能级,其中是单位体积内的价电子数目. 晶体膨胀时, 体积变大, 电子数目不变, 变小, 费密能级降低. 5.为什么温度升高, 费密能反而降低?解答当时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高, 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低. 6.为什么价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大?解答由于绝对零度时和常温下电子的平均动能十分相近，我们讨论绝对零度时电子的平均动能与电子浓度的关系.价电子的浓度越大价电子的平均动能就越大, 这是金属中的价电子遵从费密-狄拉克统计分布的必然结果. 在绝对零度时, 电子不可能都处于最低能级上, 而是在费密球中均匀分布. 由(6.4)式可知, 价电子的浓度越大费密球的半径就越大,高能量的电子就越多, 价电子的平均动能就越大. 这一点从(6.5)和(6.3)式看得更清楚. 电子的平均动能正比与费密能, 而费密能又正比与电子浓度:,.所以价电子的浓度越大, 价电子的平均动能就越大.7.对比热和电导有贡献的仅是费密面附近的电子, 二者有何本质上的联系?解答对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子. 能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子. 因为, 在常温下, 费密球内部离费密面远的状态全被电子占据, 这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上, 能够发生能态跃迁的仅是费密面附近的电子, 这些电子吸收声子后能跃迁到费密面附近或以外的空状态上.对电导有贡献的电子, 即是对电流有贡献的电子, 它们是能态能够发生变化的电子. 由(6.79)式可知, 加电场后,电子分布发生了偏移. 正是这偏移部分才对电流和电导有贡献. 这偏移部分是能态发生变化的电子产生的. 而能态能够发生变化的电子仅是费密面附近的电子, 这些电子能从外场中获取能量, 跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 而费密球内部离费密面远的状态全被电子占拒, 这些电子从外场中获取的能量不足以使其跃迁到费密面附近或以外的空状态上. 对电流和电导有贡献的电子仅是费密面附近电子的结论从(6.83)式和立方结构金属的电导率看得更清楚. 以上两式的积分仅限于费密面, 说明对电导有贡献的只能是费密面附近的电子.总之, 仅仅是费密面附近的电子对比热和电导有贡献, 二者本质上的联系是: 对比热和电导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子, 只有费密面附近的电子才能从外界获取能量发生能态跃迁.8.在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量一定要达到或超过费密能与脱出功之和吗?解答电子的能量如果达到或超过费密能与脱出功之和, 该电子将成为脱离金属的热发射电子. 在常温下, 两金属接触后, 从一种金属跑到另一种金属的电子, 其能量通常远低于费密能与脱出功之和. 假设接触前金属1和2的价电子的费密能分别为和, 且, 接触平衡后电势分别为和. 则两金属接触后, 金属1中能量高于的电子将跑到金属2中. 由于大于0, 所以在常温下, 两金属接触后, 从金属1跑到金属2的电子, 其能量只小于等于金属1的费密能.9.两块同种金属, 温度不同, 接触后, 温度未达到相等前, 是否存在电势差? 为什么?解答两块同种金属, 温度分别为和, 且. 在这种情况下, 温度为的金属高于的电子数目, 多于温度为的金属高于的电子数目. 两块金属接触后, 系统的能量要取最小值, 温度为的金属高于的部分电子将流向温度为的金属. 温度未达到相等前, 这种流动一直持续. 期间, 温度为的金属失去电子, 带正电; 温度为的金属得到电子, 带负电, 二者出现电势差. 10.如果不存在碰撞机制, 在外电场下, 金属中电子的分布函数如何变化?解答如果不存在碰撞机制, 当有外电场后, 电子波矢的时间变化率.上式说明, 不论电子的波矢取何值, 所有价电子在波矢空间的漂移速度都相同. 如果没有外电场时, 电子的分布是一个费密球, 当有外电场后, 费密球将沿与电场相反的方向匀速刚性漂移, 电子分布函数永远达不到一个稳定分布.11.为什么价电子的浓度越高, 电导率越高?解答电导是金属通流能力的量度. 通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数(参见思考题18). 但并不是所有价电子对导电都有贡献, 对导电有贡献的是费密面附近的电子. 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多. 费密球的大小取决于费密半径.可见电子浓度n越高, 费密球越大, 对导电有贡献的电子数目就越多, 该金属的电导率就越高. 12.电子散射几率与声子浓度有何关系? 电子的平均散射角与声子的平均动量有何关系?解答设波矢为的电子在单位时间内与声子的碰撞几率为, 则即为电子在单位时间内与声子的碰撞次数. 如果把电子和声子分别看成单原子气体, 按照经典统计理论, 单位时间内一个电子与声子的碰撞次数正比与声子的浓度. 若只考虑正常散射过程, 电子的平均散射角与声子的平均波矢的关系为由于, 所以.在常温下, 由于, 上式可化成.由上式可见, 在常温下, 电子的平均散射角与声子的平均动量成正比. 13.低温下, 固体比热与成正比, 电阻率与成正比, 之差是何原因?解答按照德拜模型, 由(3.133)式可知, 在甚低温下, 固体的比热.而声子的浓度,作变量变换,得到甚低温下,其中.可见在甚低温下, 固体的比热与声子的浓度成正比.按照6.7纯金属电阻率的统计模型可知, 纯金属的电阻率与声子的浓度和声子平均动量的平方成正比. 可见, 固体比热与成正比, 电阻率与成正比, 之差是出自声子平均动量的平方上. 这一点可由(6.90)式得到证明. 由(6.90)可得声子平均动量的平方,其中。14.霍耳电场与洛伦兹力有何关系?解答霍耳电场是导电电子在洛伦兹力作用下产生的. 设金属的长度方向为x轴, 电场沿x方向, 磁场B沿z轴方向, 金属的宽度方向为y轴方向. 在此情况下, 运动的电子将受到洛伦兹力的作用. 该作用力指向负y方向, 使电子在运动过程中向负y方向偏转, 致使负y侧面的电子浓度增大, 正y侧面的电子浓度减小. 其结果, 如下图所示, 使得导体的宽度方向产生了一个附加电场, 即霍耳电场.15.如何通过实验来测定载流子是电子还是空穴?解答由(6.109)可以看出, 电子导电材料的霍耳系数是一负值. 通过实验测定出材料的霍耳系数, 若霍耳系数是负值, 则可断定载流子是电子, 若霍耳系数是正值, 则可断定载流子是空穴.16.磁场与电场, 哪一种场对电子分布函数的影响大? 为什么?解答磁场与电场相比较, 电场对电子分布函数的影响大. 因为磁场对电子的作用是洛伦兹力, 洛伦兹力只改变电子运动方向, 并不对电子做功. 也就是说, 当只有磁场情况下, 非磁性金属中价电子的分布函数不会改变. 但在磁场与电场同时存在的情况下, 由于产生了附加霍耳电场, 磁场对非磁性金属电子的分布函数的影响就显现出来. 但与电场相比, 磁场对电子分布函数的影响要弱得多. 17.为什么在开路状态下, 传导电子能传输热流?解答在开路状态下, 温差引起的传导电流为0, 说明单位时间内由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子数, 等于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子数. 但由温度高的区域穿过金属横截面流向温度低的区域的电子携带的热能, 高于由温度低的区域穿过该横截面流向温度高的区域的电子所携带的热能. 也就是说, 尽管在开路状态下, 温差引起的传导电流为0, 但仍有热能由温度高的区域传输到温度低的区域.18.电导大的金属热导系数也大, 其本质联系是什么?解答以立方晶系金属为例，电导与电流的关系是.可见, 电场强度一定, 电导大, 电流密度就大. 电导成为金属通流能力的量度.热导系数与热能流密度的关系是.可见, 温度梯度一定, 热导系数大, 热能流密度就大. 热导系数成为金属传输热能流能力的量度.通流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数. 而传输热能流能力取决于单位时间内通过截面积的电子数目. 也就是说，二者传输能量的机制是相同的. 因此, 电导大的金属热导系数也大.另外, 由(6.126)可知, 金属的热导系数.对于立方晶系金属来说.可见立方晶系金属的热导率与电导率成正比, 自然电导大的金属热导系数也大.1.1对于体积V内N个电子的自由电子气体，证明（1） 电子气体的压强，其中为电子气体的基态能量。（2） 体积弹性模量为。证明：（1）电子气体的基态能量（即绝对零度时的内能） （1） 而 （2） （3） 综合（1）、（2）、（3）可得 （4） 所以压强为 （5）（2）对于自由电子气体 （6） 而费米波矢kF与体积V的关系为 （7） 所以 （8） 代入模量表达式得 （9）1.2 3He原子是具有自旋1/2的费米子，在绝对零度附近，液体3He的密度为0.081gcm-3。计算费米能量F和费米温度TF。3He原子的质量为m510-24g。解：3He原子密度为： 电子密度和费米波矢的关系为： （2）所以费米波矢为 （3）费米能量为 （4）费米温度为 （5）1.3 低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度TF及费米面上的态密度g(F)。解：电子热容量与费米温度关系为 （1） 钾的电子密度为 （2） 所以费米温度为 （3） 电子热容量与费米面上的态密度的关系为 （4） 所以费米面上态密度为 （5）1.4 铜的密度为，室温下的电阻率为。计算（1） 导电电子浓度；（2） 弛豫时间；（3） 费米能量，费米速度；（4） 费米面上的电子平均自由程。解：（1）导电电子浓度为 （1） （2）电导率与弛豫时间关系是 （2）由此可得，弛豫时间为 （3） （3）费米波矢和电子密度之间关系为 （4） 由此可得铜的费米波矢为 （5） 费米能量为 = （6） 6.92eV 费米速度为 （7）（4）费米面上的平均自由程为 （8）1.5 考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移，证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这 一小振动问题的特征频率。解：1.6 在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al是透明的？解：金属Al的电子密度 （1） 对应的特征频率 （2） 相应波长 （3） 当满足 （4） 时，金属Al是透明的。此时波长应小于78.5nm。 1.7 对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。解：1.8 对于表面在和之间的金属平板，假定表面相当于一无穷高的势垒 （1）证明单电子波函数比例于 （2）证明在金属内处的电荷密度为其中，是波函数比例于时的电荷密度，是一级球贝塞尔函数。第二章 晶体的结构2.1 证明对于六角密堆积结构，理想的比为（8/3）1.633 . 又：金属Na 在273K因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属 的密度维持不变，已知立方相的晶格常数.423nm，设六角密堆积结构相 的维持理想值，试求其晶格常数。 解：理想的六角米堆积构成的六角棱柱如右图所示 其中每4个不共面的近邻原子构成一个边长为的 正四面体，而正好是正四面体高的两倍，可以求得正四面体的高为，所以 体心立方每个单胞的体积为 每个单胞中含有两个原子，所以原子密度为 六角密堆积的单胞体积为 每个单胞里有6个原子，所以原子密度为 要求密度相等，相当于原子密度不变 六角密堆积的晶格常数 2.2 证明简单六角布拉维格子的倒格子仍为简单六角布拉维格子，并给出其倒格 子的晶格常数。 解：简单六角的基矢可以选为 单胞体积为 倒格基矢应为 符合简单六角基矢特点，所以到给仍为简单六角，晶格常数分别为和。2.3 画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上 原子排列。 解：2.4指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）的交线的晶向。 解：2.5如将布拉维格子的格点位置在直角坐标系中用一组数（）表示，证明：（1）对于体心立方格子，全部为偶数或奇数；（2）对于面心立方格子，的和为偶数。 解：（1）体心立方格子基矢 任意格矢可写为 代入具体的基矢 即 当，为全奇或一奇二偶时，全为奇数；当，为全偶或二奇一偶时，全为偶数。 （2）体心立方格子基矢 任意格矢可写为 代入具体的基矢 即 三数之和 2.6可在面心立方晶体中掺入外来院子，掺杂原子填入四面体或八面体为止，即掺杂原子周围的晶格原子分别处于正四面体和正八面体的顶点位置上。试给出这些间隙位置的所在。 解： 2.7算出图2.1所示二维蜂房格子的几何结构因子。 解：A原子和B原子不等效，看作一个基元，原胞中包含这两个原子，取基矢如右图，并定为 根据得 倒格矢可写为i 原胞中两原子位矢 几何结构因子 2.8已知三斜晶系的晶体中，三个基矢为和，现测知该晶体的某一晶面法线与三基矢夹角为和。试求该晶面的面指数。 解：2.9证明六角晶体的介电常数张量为 解：对于六角晶体，绕六重轴的转动操作可写为 此操作为对称操作，可使得 由上式得 2.10对于一个三主轴方向周期分别为和的正交简单晶格，当入射X射线与100方向（其重复周期为）一致时，试确定在哪些方向上会出现衍射极大？什么样的X射线波长才能观察到极大？解：2.11对一双原子线，设键长为，取排列，原子的形状因子分别是，入射X射线束垂直于原子线 （1）证明干涉条件为，其中为衍射束与原子线的夹角； （2）倒格矢，为整数，证明为奇数时衍射束的强度正比于，为偶数时衍射束的强度正比于； （3）说明时会出现什么现象。 解：（1）第三章 能带论I3.1电子在周期场中的势能函数 其中，为常数 （1）画出此势能曲线，并求其平均值； （2）用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个近代的宽度。解：（1）画出势能曲线如下图 势能为周期函数，平均势能可以是在一个周期求平均得到的结果 （2）晶体的第一个禁带宽度，第二个禁带宽度，其中分别是势能函数的傅立叶展开系数 禁带宽度分别为3.2设有二维正方晶格，其晶格势场为按弱周期场近似，求出布里渊区角处的能隙。解: 晶格势场可以变形为 将上式展开得 在二维晶格空间中 倒格矢 为整数 势能函数的泰勒展开式为 和前面得到的势能形式对比，可知 其他倒格矢对应的项都为零，只有，对应的项存在， 所以在布里渊区角处的能隙为 3.4考虑晶格常数为a和c的三维简单六角晶体的第一布里渊区。令Gc为平行于晶格c轴的最短倒格矢。（1）证明对于六角密堆积结构，晶体势场V(r)的傅里叶分量V(Gc)为零。（2）V(2Gc)是否也为零？（3）为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？（4）为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？解：（1）简单六角的基矢为 ， 六角密堆积每个基元中有2个原子，坐标分别为和,而，这两个原子的相同，所以 （2）六角密堆积中 （3）对于处于简单六角点阵上的二价原子，每个初基晶胞中一个二价原子，这样N个初基晶胞中共有2N个价电子，刚好可以填满第一布里渊区的一个能带。故原则上可以成为绝缘体。（4）对于处于六角密堆积点阵上的单价原子，每个初基晶胞中有两个单价原子，这样N个初基晶胞中共有2N个价电子，而第一布里渊区的一个能带可以填4N个电子,不可能成为绝缘体。第四章 能带论II4.1一维晶体的电子能带可以写成 其中为晶格常数，试求（1）能带宽度；（2）电子速度（3）能带底部和顶部电子的有效质量。解：（1）是能带具有最小值 时，能带具有最大值 所以能带宽度为 （2）电子在波矢状态时的速度为 （3）电子的有效质量的倒数为 时，有效质量 时，有效质量 4.3在金属铋的倒带底，有效质量张量有如下形式且，试求有效质量张量的各元素。解：设有效质量张量为 可以得 即 ，