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向量的概念及运算知识点与例题讲解【基础知识回顾】1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法。向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0。由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量1。平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为。大小相等，方向相同。2向量的运算（1）向量加法ABCab求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=。规定：（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=。向量减法向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）。（3）实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的。数乘向量满足交换律、结合律与分配律3两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=。4平面向量的基本定理如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底5平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：若，则；若，则；若=(x,y)，则=(x, y)；若，则。【思考提示】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系【课前小测】1.设平面向量，则（ ）A B C10 D-102已知向量则的值为（ ）A. 0 B. 2 C. 4 或4 D. 2或2 3已知点A（1，0）、B（1，3），向量，若，则实数k的值为（ ）A2 B1 C1D24已知向量，向量与方向相反，且，则实数 5.已知直角梯形的顶点坐标分别为，则实数的值是 . 【典例解析】题型1：平面向量的概念例1（1）给出下列命题：若|，则=；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若=，=，则=；=的充要条件是|=|且/； 若/，/，则/；其中正确的序号是 。（2）设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=|;(2)若与a0平行，则=|；（3）若与平行且|=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）A0B1C2D3解析：（1）不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；正确； ， 且，又 A，B，C，D是不共线的四点， 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，且，因此，。正确； =， ，的长度相等且方向相同；又， ，的长度相等且方向相同， ，的长度相等且方向相同，故。 不正确；当/且方向相反时，即使|=|，也不能得到=，故|=|且/不是=的充要条件，而是必要不充分条件； 不正确；考虑=这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，与|模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时=|，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型2：平面向量的运算法则例2如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（C） A. B. C. D. =0变式1.如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量等于（A） A. B. C. D. 2.下列各命题中，真命题的个数为（D） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b； 若，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； 若a=b,b=c，则a=c; 若ab,bc,则ac. A.4B.3C.2D.13.在四边形ABCD中，=a+2b， =-4a-b， =-5a-3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（A） A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形4.在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB=2GE，设=a，=b，试用a、b表示 ,， .5.设P是ABC所在平面内的一点，则（B） A. 0 B. 0 C. 0 D. 06已知向量，则|=_.【答案】 【解析】由。已知平面向量a= ，b=， 则向量 ( )A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 答案 C解析 ,由及向量的性质可知,C正确.题型3：平面向量的坐标及运算例5已知中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC边上的高为AD，求。解析：设D(x,y)，则得所以。例6已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标。解析：设，则因为是与的交点，所以在直线上，也在直线上。即得，由点得，。得方程组，解之得。故直线与的交点的坐标为。题型4：平面向量的性质例7平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求。解析：（1）由题意得，所以，得。（2），；（3）由题意得，得或。例8已知（1）求；（2）当为何实数时，与平行， 平行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为所以则（2），因为与平行，所以即得。此时，则，即此时向量与方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5：共线向量定理及平面向量基本定理例9（2009北京卷文）已知向量，如果那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向答案 D解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.a，b，若，则cab，dab， 显然，a与b不平行，排除A、B. 若，则cab，dab，即cd且c与d反向，排除C，故选D.点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。题型6：平面向量综合问题例10（2009上海卷文） 已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量， .（1） 若/，求证：ABC为等腰三角形； （2） 若，边长c = 2，角C = ，求ABC的面积 .证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形解（2）由题意可知由余弦定理可知， 【随堂巩固】1 (2009湖南卷)对于非0向量时a,b,“a/b”的正确是 （）A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件2（05年山东卷）已知向量，且，则一定共线的三点是A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D3 （04年浙江卷文）已知向量且，则=A. B. C. D.4 （05年广东卷）已知向量，且，则 【课后巩固】1.已知点M（6，2）和M2（0，8）.直线y=mx7与线段M1M2的交点M分有向线段M1M2的比为1：1，则m的值为 （ ） A B C D42. （06年全国卷文）已知向量（4，2），向量（，3），且/,则( )A、9 B、6 C