浙江省温州市2016年高考数学一模试卷(文科)含答案解析

浙江省温州市 2016 年高考数学一模试卷（文科） （解析版） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 3） C（ ， 0） （ 3， +） D（ 1， 3） 2已知 l， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 l ， m ，则 l m B若 l m， m ，则 l C若 l ， m ，则 l m D若 l m， l ，则 m 3已知实数 x， y 满足 ，则 x y 的最大值为（ ） A 1 B 3 C 1 D 3 4已知直线 l： y=kx+b，曲线 C： x2+，则 “b=1”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5已知正方形 面积为 2，点 P 在边 ，则 的最大值为（ ） A B C 2 D 6如图，在矩形 ， ， ，点 E 为 中点，现分别沿 折，使得点 A， D 重合于 F，此时二面角 E F 的余弦值为（ ） A B C D 7如图，已知 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，点 P 在第一象限，且满足（ + ） =0， | |=a，线段 双曲线 C 交于点 Q，若=5 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 8已知集合 M=（ x， y） |x2+1，若实数 ， 满足：对任意的（ x， y） M，都有（ x，y） M，则称（ ， ）是集合 M 的 “和谐实数对 ”则以下集合中，存在 “和谐实数对 ”的是（ ） A （ ， ） |+=4 B （ ， ） |2+2=4 C （ ， ） |2 4=4 D （ ， ）|2 2=4 二、填空题：本大题共 7 小题， 多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 9已知直线 y+1=0， x+y+1=0， a 的值为 ，直线 10已知钝角 面积为 ， ， ，则角 B= ， 11已知 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） = ，函数 f（ x）的零 点的个数为 12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 13若数列 足 +n 1，则数列 前 8 项和为 14已知 f（ x） =x+ ），若对任意的 m R，方程 f（ x） =m 均为正实数解，则实数 a 的取值范围是 15已知椭圆 C： =1（ a ）的左右焦点分别为 心率为 e，直线 l：y=ex+a， P 为点 于直线 l 对称的点，若 等腰三角形，则 a 的值为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知 2，且 0 （ I）求 的值； （ ）求函数 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 17设等比数列 前 n 项和为 知 ，且 432等差数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 2n 5|数列 前 n 项和 18如图，在三棱锥 D ， B=D 在底面 的射影为 E， F F （ ）求证：平面 平面 ）若 ， 0，求直线 平面 成的角的正弦值 19如图，已知点 F（ 1， 0），点 A， B 分别在 x 轴、 y 轴上运动，且满足 =2 ，设点 D 的轨迹为 C （ I）求轨迹 C 的方程； （ ）若斜率为 的直线 l 与轨迹 C 交于不同两点 P， Q（位于 x 轴上方），记直线 Q 的斜率分别为 k1+取值范围 20已知函数 f（ x） =（ x t） |x|（ t R） （ ）讨论函 数 f（ x）的单调区间； （ ）若 t （ 0， 2），对于 x 1， 2，不等式 f（ x） x+a 都成立，求实数 a 的取值范围 2016 年浙江省温州市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，则 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 3） C（ ， 0） （ 3， +） D（ 1， 3） 【分析】 分别求出集合 A， B，从而求 出其交集即可 【解答】 解： 集合 A=x|y=x|x 0|， B=x|2x 3 0=x| 1 x 3， 则 AB=（ 0， 3）， 故选： B 【点评】 本题考查了集合的运算，是一道基础题 2已知 l， m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A若 l ， m ，则 l m B若 l m， m ，则 l C若 l ， m ，则 l m D若 l m， l ，则 m 【分析】 利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答 【解答】 解：对于 A，若 l ， m ，则 l 与 m 的位置关系可能为平行、相交或者异面；故 A 错误； 对于 B，若 l m， m ，则 l 与 平行或者相交；故 B 错误； 对于 C，若 l ， m ，利用线面创造的性质可得 l m；故 C 正确； 对于 D，若 l m， l ，则 m 或者 m ；故 D 错误； 故选 C 【点评】 本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理，正确运用 3已知实数 x， y 满足 ，则 x y 的最大值为（ ） A 1 B 3 C 1 D 3 【分析】 令 z=x y，从而化简为 y=x z，作平面区域，结合图象求解即可 【解答】 解：令 z=x y，则 y=x z， 由题意作平面区域如下， ， 结合图象可知， 当过点 A（ 3， 0）时， x y 取得最大值 3， 故选 B 【点评】 本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用 4已知直线 l： y=kx+b，曲线 C： x2+，则 “b=1”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既 不充分也不必要条件 【分析】 先根据直线 l 与曲线 C 有公共点，根据直线和圆的位置关系得到 1+根据充分，必要条件的定义判断即可 【解答】 解：由题意可得直线直线 l： y=kx+b，曲线 C： x2+ 有公共点， 1， 1+ 当 b=1 时，满足， 1+ “b=1”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”充分条件， 当直线 l 与曲线 C 有公共点，不一定可以得到 b=1， b=0 时也满足， 故 “b=1”是 “直线 l 与曲线 C 有公共点 ”的充分不必要条 件， 故选： A 【点评】 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及充分必要条件的判定，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题 5已知正方形 面积为 2，点 P 在边 ，则 的最大值为（ ） A B C 2 D 【分析】 建立平面直角坐标系，设 P（ x， 0），使用坐标法将 表示成 x 的函数，根据 x 的范围求出函数的最大值 【解答】 解：以 x 轴，以 y 轴建立平面直角坐标系， 正方形 面积为 2， B（ ， 0）， C（ ）， D（ 0， ） 设 P（ x， 0）（ 0 ），则 =（ ， ）， =（ x， ） = x（ ） +2=+2=（ x ） 2+ 当 x= 时， 取得最大值 故选 B 【点评】 本题考查了平面向量的数量积运算，使用坐标法求值是常用方法之一 6如图， 在矩形 ， ， ，点 E 为 中点，现分别沿 折，使得点 A， D 重合于 F，此时二面角 E F 的余弦值为（ ） A B C D 【分析】 根据折叠前和折叠后的边长关系，结合 二面角的平面角定义得到 二面角 E F 的平面角进行求解即可 【解答】 解：取 中点 O，连接 D， C，即三角形 等腰三角形， 则 F， 等腰三角形， 则 二面角 E F 的平面角， 平面 则直角三角形 ， B=2， E= ， 则 = = ， 则 = = ， 故选： B 【点评】 本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键注意叠前和折叠后 的线段边长的变化关系 7如图，已知 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，点 P 在第一象限，且满足（ + ） =0， | |=a，线段 双曲线 C 交于点 Q， 若=5 ，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【分析】 连接 由向量共线定理可得 | ， | ，由双曲线的定义可得| ，运用向量的数量积的性质可得 |2c，在 ，由 ，可得 ，运用余弦定理，化简整理可得 b= a，运用双曲线的 渐近线方程即可得到 【解答】 解：连接 | |=a， =5 ， 可得 | ， | ， 由双曲线的定义可得 | |2a， 即有 | ， 由（ + ） =0， 即为（ + ）（ ） =0， 即有 2 2=0， |2c， 在 ，由 ，可得 ， 由余弦定理可得， + =0，化简可得 c2= 由 c2=a2+得 b= a，可得双曲线的渐近线方程 为 y= x，即为 y= x 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用三角形中的余弦定理，同时考查向量数量积的性质和向量共线定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题 8已知集合 M=（ x， y） |x2+1，若实数 ， 满足：对任意的（ x， y） M，都有（ x，y） M，则称（ ， ）是集合 M 的 “和谐 实数对 ”则以下集合中，存在 “和谐实数对 ”的是（ ） A （ ， ） |+=4 B （ ， ） |2+2=4 C （ ， ） |2 4=4 D （ ， ）|2 2=4 【分析】 由题意， 222+2 1，问题转化为 2+2 1 与选项有交点，代入验证，可得结论 【解答】 解：由题意， 222+2 1， 问题转化为 2+2 1 与选项有交点，代入验证，可得 C 符合 故选： C 【点评】 本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，问题转化为 2+2 1 与选项有交点是关键 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 9已知直线 y+1=0， x+y+1=0， a 的值为 1 ，直线 的距离为 【分析】 利用两条直线相互平行的充要条件即可得出 【解答】 解：直线 y+1=0， x+y+1=0，分别化为： y=， y= x 1， a= 1， 1 1 两条直线方程可得： x+y 1=0， x+y+1=0 直线 的距离 d= = 故答案分别为： 1； 【点评】 本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10已知钝角 面积为 ， ， ，则角 B= ， 【分析】 利用已知及三角形面积公式可求 求 B= 或 ，分类讨论：当 B= 时，由余弦定理可得 ，可得 直角三角形，舍去，从而利用余弦定理可得 值 【解答】 解： 钝角 面积为 ， ， ， = 1 得： ， B= 或 ， 当 B= 时，由余弦定理可得 =1， 此时， 得 A= ，为直角三角形，矛盾，舍去 B= ，由余弦定理可得 = ， 故答案为： ； 【点评】 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题 11已知 f（ x） = ，则 f（ f（ 2） = 14 ，函数 f（ x）的零点的个数为 1 【分析】 根据 x 0 与 x 0 时 f（ x）的解析式，确定出 f（ f（ 2）的值即可；令 f（ x）=0，确定出 x 的值，即可对函数 f（ x）的零点的个数作出判断 【解答】 解：根据题意得： f（ 2） =（ 2） 2=4， 则 f（ f（ 2） =f（ 4） =24 2=16 2=14； 令 f（ x） =0，得到 2x 2=0， 解得： x=1， 则函数 f（ x）的零点个数为 1， 故答案为： 14； 1 【点评】 此题考查了函数零点的判定定理，以及函数的值，弄清函数零点的判定定理是解本题的关键 12某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12 ，表面积为 36 【分析】 根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积 【解答】 解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示： 其中底面 边长为 3 正方形， 底面 棱锥的体积 V= 棱锥的四个侧面均为直角三角形， D=5， 棱锥的表面积 S=32+ + =36 故答案为 12； 36 【点评】 本题考查了棱锥的三视图和结构特征，体积与表面积计算，属于基础题 13若数列 足 +n 1，则数列 前 8 项和为 28 【分析】 数列 足 +n 1，对 n 分别取 1， 3， 5， 7，求和即可得出 【解答】 解： 数列 足 +n 1， 数列 前 8 项和 =（ 2 1 1） +（ 2 3 1） +（ 2 5 1） +（ 2 7 1） =28 故 答案为： 28 【点评】 本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 14已知 f（ x） =x+ ），若对任意的 m R，方程 f（ x） =m 均为正实数解，则实数 a 的取值范围是 （ 4， +） 【分析】 根据对数函数的性质结合不等式的性质得到关于 a 的不等式，解出即可 【解答】 解： f（ x） =x+ ） =m， 则 a=x+ 4 故答案为：（ 4， +） 【点评】 本题考察了对数函数的性质，不等式的性质，是一道基础题 15已知椭圆 C： =1（ a ）的左右焦点分别为 心率为 e，直线 l：y=ex+a， P 为点 于直线 l 对称的点，若 等腰三角形，则 a 的值为 【分析】 运用椭圆的离心率公式和 a， b， c 的关系，结合点到直线的 距离公式，由题意可得|解方程即可求得 a 的值 【解答】 解：由题意可得 c= ， e= ， c， 0）到直线 l 的距离为 d= ， 由题意可得 | 即为 2d=2c，即有 =2， 化简可得 3， 解得 a= 故答案为： 【点评】 本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率公式的运用和点到直线的距离公式，以及运算化简能力，属于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16已知 2，且 0 （ I）求 的值； （ ）求函数 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 【分析】 （ ）由已知推导出 22=0，由此能求出 （ ） f（ x） =4x ） =22x+ ） +1，由 ，得 2x+ ，由此能求出函数 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 【解答】 解：（ ） 2，且 0 2 2 2 22=0， 解得 或 2（舍）， 0 ， = （ ） = ， f（ x） =4x ） =4 =2 + =22x+ ） +1， ， 2x+ ， 2 22x+ ） +1 3， 函数 f（ x） =4x ）在 0， 上的值域为 2， 3 【点评】 本题考查角的求法，考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式及余弦加法定理和正弦加法定理的合理运用 17设等比数列 前 n 项和为 知 ，且 432等差数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 2n 5|数列 前 n 项和 【分析】 （ ）根据 432等差数列根据等差中项 6简整理求得 q=2，写出通项公式； （ ）讨论当 n=1、 2 时，求得 ， 0，写出前 n 项和，采用错位相减法求得 【解答】 解：（ ） 432等差数列， 6 即 6（ a1+=4（ a1+a2+ 则： q=2， ； （ ）当 n=1， 2 时， ， 0， 当 n 3， 0+1 23+3 24+（ 2n 5） 2n， 20+1 24+3 25+（ 2n 7） 2n+（ 2n 5） 2n+1， 两式相减得： 10+8+2（ 24+25+2n）（ 2n 5） 2n+1， = 2+2 （ 2n 5） 2n+1， = 34+（ 7 2n） 2n+1， 4（ 7 2n） 2n+1 【点评】 本题求等比数列的通项 公式和采用错位相减法求前 n 项和，属于中档题 18如图，在三棱锥 D ， B=D 在底面 的射影为 E， F F （ ）求证：平面 平面 ）若 ， 0，求直线 平面 成的角的正弦值 【分析】 （ I）由 平面得出 而 平面 而得出平面 平面 （ 出 和平面 则 | |即为所求 【解答】 证明：（ ） 平面 平面 平面 F=D， 平面 又 平面 平面 平面 （ ） C， ， E 为 中点， =2 ， 0， 以 E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 E（ 0， 0， 0）， A（ 0， 2， 0）， D（ 0， 0， 2）， B（ ， 1， 0） =（ 0， 2， 2）， =（ ， 1， 2）， =（ ， 1， 0） 设平面 法向量为 =（ x， y， z） 则 ， ，令 z=1，得 =（ ， 1， 1） =2， | |= ， | |=2， = = 平面 成的角的正弦值为 【点评】 本题考查了了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题 19如图，已知点 F（ 1， 0），点 A， B 分别在 x 轴、 y 轴上运动，且满足 =2 ，设点 D 的轨迹为 C （ I）求轨迹 C 的方程； （ ）若斜率为 的直线 l 与轨迹 C 交于不 同两点 P， Q（位于 x 轴上方），记直线 Q 的斜率分别为 k1+取值范围 【分析】 （ I）根据 =2 得 B 为 中点，利用 得 =0，从而可得轨迹 C 的方程； （ ）斜率为 的直线 l 的方程为 y= x+b，代入 x，整理，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求 k1+取值范围 【解答】 解：（ I）设 D（ x， y），则由 =2 得 B 为 中点， 所以 A（ x， 0）， B（ 0， ） =0， （ x， ）（ 1， ） =0 x（ x 0）； （ ）斜率为 的直线 l 的方程为