浙江省绍兴市2016年高考数学二模试卷（文科）含答案解析

浙江省绍兴市 2016 年高考数学二模试卷（文科） （解析版） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1如果集合 A， B 满足 B A，则下列式子中正确的是（ ） A A B=B B AB=A C A=B 2已知命题 p、 q， “p 为真 ”是 “p q 为假 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3若 a、 b 是任意实数，且 a b，则下列不等式成立的是（ ） A C a b） 0 D 4对满足不等式组 的任意实数 x， y， z=x2+4x 的最小值是（ ） A 2 B 0 C 1 D 6 5已知函数 f（ x） =2x+）满足 f（ x） f（ a）对于 x R 恒成立，则函数（ ） A f（ x a）一定是奇函数 B f（ x a）一定是偶函数 C f（ x+a）一定是奇函数 D f（ x+a）一定是偶函数 6已知向量 =（ 1， ）（ R）， =（ 4， 1），则 | + |的最大值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 7函数 f（ x） =x+a）， g（ x） =2x，对于任意的实数 存在 得 f（ g（ 实数 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D a 1 8如图，正方形 正方形 成一个 的二面角，将 转一周在旋转过程中，（ ） A直线 与平面 交 B直线 直线 成 角 C直线 平面 成角的范围是 ， D平面 平面 成的二面角必不小于 二、填空题：共 7 小题， 9小题 6 分， 13小题 6 分，共 36 分。 9 ；若 a=则 2a+2 a= 10若函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 2，则 = ； f（ ）= 11已知圆 x2+，则经过点 M（ ， 1）的圆的切线方程为 ；若直线 y+4=0 与圆相交于 A、 B 两点，且 |2 ，则 a= 12如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面 积是 ，体积是 13已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 x） x） =0 恰有 5 个不同的实数解，则 a 的取值范围是 14已知 3x+2y=3x+9y+3，则 x+2y 最小值为 15已知 椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦 点， P 是椭圆上任一点，过一焦点引 外角平分线的垂线，垂足为 A若 |2b，则该椭圆的离心率 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答写出文字说明、证明过程或验算步骤 16在 ，角 A， B， C 所对的边为 a， b， c已知 2（ （ ）求 B 的值； （ ）若 c= b， 面积为 2 ，求 a， b 的值 17已知数列 足： + + + =n 1， n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=， 数列 前 n 项和存在正整数 n，使得 ，求实数 的取值范围 18已知边长为 2 的正方形 在的平面与 在平面交于 平面 （ ）求证：平面 平面 （ ）设点 F 为棱 一点，当点 F 满足 ，求直线 面 成角的正弦值 19已知点 A（ B（ 抛物线 x 上相异两点，且满足 x1+ （ ）若直线 过点 F（ 1， 0），求 |值； （ ）若 中垂线交 x 轴于点 M， M 到直线 距离为 d，且 = ，求直线 20已知函数 f（ x） =|2x|+ax+a （ ）当 a=1 时，求 f（ x）的最小值； （ ）若任意 x 1， 2，使得 f（ x） |x|恒成立，求实数 a 的取值范围 2016 年浙江省绍兴市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1如果 集合 A， B 满足 B A，则下列式子中正确的是（ ） A A B=B B AB=A C A=B 【分析】 集合运算利用文氏图法，或者利用数轴解决本题可利用文氏图法 【解答】 解：如图所示阴影部分为 （ B=A， 故选 C 【点评】 此类题目要准确理解掌握集合的基本关系，和基本运算充分利用文氏图增加直观 2已知命题 p、 q， “p 为真 ”是 “p q 为假 ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分 也不必要条件 【分析】 根据复合命题真假之间的关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【解答】 解：若 p 为真，则 p 且假命题，则 p q 为假成立， 当 q 为假命题时，满足 p q 为假，但 p 真假不确定， p 为真不一定成立， “p 为真 ”是 “p q 为假 ”的充分不必要条件 故选： A 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复合命题真假之间的关系是解决本题的关键，比较基础， 3若 a、 b 是任意实数，且 a b，则下列不等式成立的是（ ） A C a b） 0 D 【分析】 由题意 a、 b 是任意实数，且 a b，可通过举特例与证明的方法对四个选项逐一判断得出正确选项， A， B， C 可通过特例排除， D 可参考函数 y= 是一个减函数，利用单调性证明出结论 【解答】 解：由题意 a、 b 是任意实数，且 a b， 由于 0 a b 时，有 立，故 A 不对； 由于当 a=0 时， 无 意义，故 B 不对； 由于 0 a b 1 是存在的，故 a b） 0 不一定成立，所以 C 不对； 由于函数 y= 是一个减函数，当 a b 时一定有 成立，故 D 正确 综上， D 选项是正确选项 故选 D 【点评】 本题考查不等关系与不等式，考查了不等式的判断与大小比较的方法特例法与单调性法，解题的关键是理解比较大小常用的手段举特例与单调性法，及中间量法等常用的方法 4对满足不等式组 的任意实数 x， y， z=x2+4x 的最小值是（ ） A 2 B 0 C 1 D 6 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义结合两点间的距离进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： z=x2+4x=（ x 2） 2+4 则 z 的几何意义为区域内的点到点 D（ 2， 0）的距离的平方 4， 由图象知 D 到直线 x y=0 的距离为 d= = ， 此时 z 取得最小值为 z=4=2 4= 2， 故选： A 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义结合点到直线的距离公式是解决本题的关键 5已知函数 f（ x） =2x+）满足 f（ x） f（ a）对于 x R 恒成立，则函数（ ） A f（ x a）一定是奇函数 B f（ x a）一定是偶函数 C f（ x+a）一定是奇函数 D f（ x+a）一定是偶函数 【分析】 先确定 f（ a）的值，再由正弦函数的性质可得到 a， 的关系式，然后代入到 f（ x+a）根据诱导公式进行化简，对选项进行验证即可 【解答】 解：由题意可知 2a+） =1 2a+=2 f（ x+a） =2x+2a+） =2x+2） = 故选 D 【点评】 本题主要考查三角函数的奇偶性三角函数的基本性质要熟练掌握 6已知向量 =（ 1， ）（ R）， =（ 4， 1），则 | + |的最大值为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【分析】 由向量的坐标加法运算求得 + 的坐标，代入斜率模的公式，化简后利用辅助角公式化积得答案 【解答】 解： =（ 1， ）（ R）， =（ 4， 1）， ， 则 | + |= = = （ ） 当 +） =1 时， | + |的最大值为 6 故选： C 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算，考查了同角三角函数基本关系式的应用，训练了三角函数最值的求法，是中档题 7函数 f（ x） =x+a）， g（ x） =2x，对于任意的实数 存在 得 f（ g（ ，实数 a 的取值范围是（ ） A a 2 B a 2 C a 1 D a 1 【分析】 分别求出 f（ x）和 g（ x）的值域，令 g（ x）的值域为 f（ x）的值域的子集列出不等式解出 a 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+a）， g（ x） =2x， 当 a 1 时，函数 f（ x）的值域为 a 1）， +）， 当 a 1 时，函数 f（ x）的值域为 R， 函数 g（ x）的值域为（ 0， +）， 任意的实数 存在 得 f（ =g（ 当 a 1 时，（ 0， +） a 1）， +）， a 1） 0， 即 0 a 1 1， 解得： 1 a 2， 当 a 1 时，满足条件， 综上所述， a 2， 故选： B 【点评】 本题考查了二次函数的值域，对数函数的单调性与值域，集合间的关系，分类讨论思想，属于中档题 8如图，正方形 正方形 成一个 的二面角，将 转一周在旋转过程中，（ ） A直线 与平面 交 B直线 直线 成 角 C直线 平面 成角的范围是 ， D平面 平面 成的二面角必不小于 【分析】 首先确定旋转后的图形为圆锥，进一步求出线面夹角的最值，然后依次进行判断即可 【解答】 解： 正方形 正方形 成一个 的二面角， ，将 转一周，则对应的轨迹是以 轴的圆锥， 此时 ，则在旋转过程中直线 可能与平面 交，故 A 错误， 当平面 直时，此时直线 直线 角 ，故 B 错误， 当 转到与 一个平面时，直线 平面 夹角达到最大和最小值 最小值为： = 由于 + = ， 所以最大值为： = 则直线 平面 成角的范围是 ， ，故 C 错误， 故只有 D 正确， 故选： D 【点评】 本题主要考查二面角和线面的夹角的应用，平面图形的旋转问题，主要考查学生的空间想象能力和对问题的应用能力综合性较强，难度较大 二、填空题：共 7 小题， 9小题 6 分， 13小题 6 分，共 36 分。 9 0 ；若 a=则 2a+2 a= 【分析】 利用指数与对数的运算法则即可得出 【解答】 解： =； a=则 2a= = 2a+2 a= = 故答案分别为： 0； 【点评】 本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10若函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 2，则 = ； f（ ） = 【分析】 根据函数 f（ x）的最小正周期求出 的值，写出函数解析式，再求 f（ ）的值 【解答】 解： 函数 f（ x） =x+ ）（ 0）的最小正周期为 T= =2， = ； f（ x） =x+ ）， f（ ） = + ） = 故答案为： ， 【点评】 本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目 11已知圆 x2+，则经过点 M（ ， 1）的圆的切线方程为 +y 4=0 ；若直线y+4=0 与圆相交于 A、 B 两点，且 |2 ，则 a= 【分析】 先求出圆 x2+ 的圆心 O（ 0， 0）， ，由此能求出经过点 M（ ， 1）的圆的切线方程；求出圆心 O（ 0， 0）到直线 y+4=0 的距离 d 和圆半径 r，由勾股定理得 ，由此能出 a 【解答】 解： （ ） 2+12=4， M（ ）在圆 x2+ 上， 圆 x2+ 的圆心 O（ 0， 0）， ， 经过点 M（ ， 1）的圆的切线方程的斜率 k= = ， 经过点 M（ ， 1）的圆的切线方程为： y 1= （ x ），即 4=0 圆心 O（ 0， 0）到直线 y+4=0 的距离 d= ，圆半径 r=2， 直线 y+4=0 与圆相交于 A、 B 两点，且 |2 ， ，即 4= ， 解得 a= 故答案为： ， 【点评】 本题考查圆的切线方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用 12如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 12 ，体积是 【分析】 由三视图知该几何体是组合体：上球下圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由球、圆柱的面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积；由柱体、球体体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图可知该几何体是组合体：上面是半径为 1 的球； 下面是一个圆柱，其底面圆的半径为 1，高为 3，且球切于圆柱上底面的圆心， S 表面积 =4 12+2 12+2 1 3=12， V 体积 = = ， 故答案为： 12； 【点评】 本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力 13已知函数 f（ x） = ，若关于 x 的方程 x） x） =0 恰有 5 个不同的实数解，则 a 的取值范围是 （ 0， 1） 【分析】 作 f（ x）的图象，从而由 x） x） =f（ x）（ f（ x） a） =0 可得 f（ x） =而结合图象解得 【解答】 解：作 f（ x）的图象如下， ， x） x） =f（ x）（ f（ x） a） =0， f（ x） =0 或 f（ x） =a； f（ x） =0 有两 个不同的解， 故 f（ x） =a 有三个不同的解， 故 a （ 0， 1）； 故答案为：（ 0， 1） 【点评】 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用 14已知 3x+2y=3x+9y+3，则 x+2y 最小值为 2 【分析】 运用基本不等式可得 3x+2y 2 +3，令 t= （ t 0），则 2t+3，解不等式可得 t 的最小值，进而得到 x+2y 的最小值 【解答】 解：由 3x+2y=3x+9y+3， 且 3x+9y 2 =2 ， 可得 3x+2y 2 +3， 令 t= （ t 0）， 则 2t+3，解得 t 3， 即有 3x+2y 9， 可得 x+2y 2， 当且仅当 x=2y=1，取得最小值 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查最值的求法，注意运用基本不等式和二次不等式的解法，考查化简整理的运算能力，属于中档题 15已知 椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦点， P 是椭圆上任一点，过一焦点引 外角平分线的垂线，垂足为 A若 |2b，则该椭圆的离心率 e 为 【分析】 延长 延长线交于 M 点，连接 据等腰三角形 “三线合一 ”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出 长恰好等于椭圆的长半轴 a，即 a=2b，运用 a，b， c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值 【解答】 解：由题意，延长 延长线交于 M 点，连接 由 平分线，且 可得 ， | A 为 中点， 由三角形中位线定理，得 | | （ | 由椭圆的定义，得 |2a，（ 2a 是椭圆的长轴）， 可得 |2a， 即有 | （ | =a， 由 |2b，可得 a=2b，即 b= a， 可得 c= = a， 则 e= = 故答案为： 【点评】 本题考查椭圆的离心率的求法，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答写出文字说明、证明过程或验算步骤 16在 ，角 A， B， C 所对的边为 a， b， c已知 2（ （ ）求 B 的值； （ ）若 c= b， 面积为 2 ，求 a， b 的值 【分析】 （ ）由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 2求 合 B 范围即可得解； （ ）由已知利用三角形面积公式可求 a= ，利用余弦定理 b2=a2+2理可得：122=0，进而可得 b， a 的值 【解答】 （本题满分为 10 分） 解：（ ）由 2（ 正弦定理可得： 2（ B+C） = 由于 0，两边同时除以 得 2， 所以， ， 由于 B （ 0， ），可得： B= 5 分 （ ） B= ， c= b， 面积为 2 = 得： ，可得：a= ， 由余弦定理 b2=a2+2得： +32 ，整理可得： 122=0， 解得： ，或 10 分 【点评】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基本知识的考查 17已知数列 足： + + + =n 1， n N*） （ ）求数列 通项公式； （ ）设 bn=， 数列 前 n 项和存在正整数 n，使得 ，求实数 的取值范围 【分析】 （ I）由 + + + =n 1， n N*）， n=1 时，解得 n 2 时，利用递推关系可得： =2n 1，解得 可得出 （ bn= = 利用 “裂项求和 ”方法与数列的单调性即可得出 【解答】 解：（ I） + + + =n 1， n N*）， n=1 时， =1，解得 n 2 时， + + + =（ n 1） 2，相减可得： =2n 1，解得 （ n=1时也成立） （ bn= = 数列 前 n 项和 + += 不等式 ，化为： 存在正整数 n，使得 ，数列 单调递增 1 实数 的取值范围是 【点评】 本题考查了递推关系、 “裂项求和 ”方法与数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18已知边长为 2 的正方形 在的平面与 在平面交于 平面 （ ）求证：平面 平面 （ ）设点 F 为棱 一点，当点 F 满足 ，求直线 面 成角的正弦值 【分析】 （ I）由 平面 出 出 平面 是平面 平面 （ D 为原点建立空间直角坐标系，求出 和平面 法向量 ，则线 面 | 【解答】 证明：（ 1） 平面 面 四边形 正方形， 又 面 面 E=A， 平面 面 平面 平面 （ A 作 z 轴 z 轴 平面 平面 面 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 D（ 0， 0， 0）， A（ 0， ， 1）， E（ 0， ， 0）， F（ 2， ， ） =（ 0， ， 1）， =（ 0， 0， 1）， =（ 2， ， ） 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 x=1，得 =（ 1， 2 ， 0） =6， | |= ， | |=2， = = 直线 面 成角的正弦值为 【点评】 本土你考查了面面垂直的判定，线面角的计算，考查了空间向量的应用，属于中档题 19已知点 A（ B（ 抛物线 x 上相异两点，且满足 x1+ （ ）若直线 过点 F（ 1， 0），求 |值； （ ）若 中垂线交 x 轴于点 M， M 到直线 距离为 d，且 = ，求直线 【分析】 （ I）对 无斜率进行讨论，联立方程组消元，根据 x1+ 列方程判断有无解； （ 程 y=kx+b，联立方程组消元，根据 x1+ 得出 k， b 的关系，代入弦长公式得出 |求出 中点，得出 中垂线方程解出 M 的坐标，根据 = 列方程解出 k，得出 程 【解答】 解：（ I） 若直线 斜率，则 程为 x=1 联立方程组 ，解得 或 即 A（ 1， 2）， B（ 1， 2） |4 若直线 斜率，设直线 斜率为 k，则直线 方程为： y=k（ x 1）， 联立方程组 ，消元得： 2） x+， x1+=2，方程无解 综上， |4 （ 方程为 y=kx+b， 联立方程组 ，消元得： 24） x+， x1+=2， b= =（ 1） 2 | =