2016年青岛市平度市高考数学三模试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年山东省青岛市平度市高考数学三模试卷（理科） 一、选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1已知集合 M=x|1 0， N=x|x+2） x Z，则 MN=（ ） A 1， 0 B 1 C 1， 0， 1 D 2复数 z 满足（ 1+i） z=| i|，则 =（ ） A 1+i B 1 i C 1 i D 1+i 3使函数 是奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ ） A B C D 4在边长为 1 的正方形 ， M 为 点，点 E 在线段 运动， 则 的取值范围是（ ） A ， 2 B 0， C ， D 0， 1 5设 ，则多项式 的常数项是（ ） A 332 B 332 C 166 D 166 6执行如图所示的程序框图，如果输入的 N 是 10，那么输出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 7已知 M=（ x， y） |， N=（ x， y） |y=mx+b若对于所有的 m R，均有 MN ，则 b 的取值范围是（ ） A B CD 8已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 21 页） A 2 B C D 9已知函数 f（ x） =| a b 0， f（ a） =f（ b），则 的最小值等于（ ） A 2 B C 2+ D 2 10如图，已知 双曲线 的下，上焦点，过 作以圆心， |半径的圆的切线， P 为切点，若切线段 一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ） A 3 B 2 C D 二、 填空题：（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知实数 x， y 满足 ，则 z=|x|+|y 3|的取值范围是 12已知 a， b） = ，设 f（ x） = ，则由函数 f（ x）的图象与x 轴、 x=e 直线所围成的封闭图形的面积为 13设函数 f（ x） =g（ 3x 2） +数 y=g（ x）在（ 1， g（ 1）处的切线方程是 y=2x+3，则 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 第 3 页（共 21 页） 14在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（ 1， 2）（ 0），若 在（ 0， 1）内的概率为 在（ 0， 2）内取值的概率为 15已知函数 f（ x）的定义域为 D，若同时满足以下两个条件： 函数 f（ x）在 D 内是单调递减函数； 存在区间 a， b D，使函数 f（ x）在 a， b内的值域是 b， a 那么称函数 f（ x）为 “W 函数 ” 已知函数 f（ x） = k 为 “W 函数 ”实数 k 的取值范围是 三、解答题（共 6 个题，共 75 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 16已知函数 f（ x） = ，（ x R） （ 1）当 x ， 时，求函数 f（ x）的最小 值和最大值； （ 2）设 内角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c，且 c= ， f（ C） =0，若向量 =（ 1， 向量 =（ 2， 线，求 a， b 的值 17 等腰直角三角形， C=4， 0， D、 E 分别是边 中点，现将 起，使面 面 H、 F 分别是边 中点，平 面 E、 别交于 I、 G 两点 （ ）求证： （ ）求二面角 A C 的余弦值 18已知数列 前 n 项和为 量 =（ 1）， =（ 2n 1， ），满足条件 ， （ 1）求数列 通项公式， （ 2）设函数 f（ x） =（ ） x，数列 足条件 ， f（ ） = 求数列 通项公式， 设 ，求数列 前 n 项和 19某高校在上学期依次举行了 “法律、环保、交通 ”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动该高校 2014 级某班 50 名学生在上 学期参加该项活动的次数统计如图所示 （ 1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率 （ 2）从该班中任意选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 第 4 页（共 21 页） （ 3）从该班中任意选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之和，记 “函数 f（ x） =x 1 在区间（ 3， 5）上有且只有一个零点 ”为事件 A，求事件 A 发生的概率 20在平面直角坐标系 ， F 是抛物线 C： p 0）的焦点，圆 Q 过 O 点与 圆心 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）已知抛物线上一点 M（ t， 4），过点 M 作抛物线的两条弦 断直线 否过定点？并说明理由 21已知 f（ x） = （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）令 g（ x） =2 g（ x） =1 时有两个不同的根，求 a 的取值范围； （ 3）存在 （ 1， +）且 |f（ f（ | k|立，求 第 5 页（共 21 页） 2016 年山东省青岛市平度市高考数学三模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：（本题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1已知集合 M=x|1 0， N=x|x+2） x Z，则 MN=（ ） A 1， 0 B 1 C 1， 0， 1 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出集合 A、 B，然后求解交集即可 【解答】 解： M=x| 1 x 1， N=x| 2 x 1， x Z= 1， 0， MN=0， 1， 故选： A 2复数 z 满足（ 1+i） z=| i|，则 =（ ） A 1+i B 1 i C 1 i D 1+i 【考点】 复数求模 【分析】 设出 z=a+到关于 a， b 的方程组，求出 z 的共轭复数即可 【解答】 解：设 z=a+ 则（ 1+i） z=（ 1+i）（ a+=（ a b） +（ a+b） i， ，解得： a=1， b= 1， 故 =1+i， 故选： A 3使函数 是奇函数，且在 上是减函数的 的一个值是（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性 【分析】 利用两角和正弦公式化简函数的解析式为 22x+ ），由于它是奇函数，故+ =k z，当 k 为奇数时， f（ x） = 2足在 上是减函数，此时，=2， n z，当 k 为偶数时，经检验不满足条件 【解答】 解： 函数 =22x+ ） 是奇函数，故 + =k Z， = 第 6 页（共 21 页） 当 k 为奇数时，令 k=2n 1， f（ x） = 2足在 上是减函数，此时， =2， n Z， 选项 B 满足条件 当 k 为偶数时，令 k=2n， f（ x） =2满足在 上是减函数 综上，只有选项 B 满足条件 故选 B 4在边长为 1 的正方形 ， M 为 点，点 E 在线段 运动，则 的取值范围是（ ） A ， 2 B 0， C ， D 0， 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 建立坐标系可得 C、 M、 E 的坐标，可得 =2x+ ，由二次函数的知识可得 【解答】 解：（如图）以 别为 x、 y 轴建立坐标系， 进而可得 C（ 1， 1）， M（ 1， ），设 E（ x， 0）（ 0 x 1） =（ 1 x， 1）， =（ 1 x， ） =（ 1 x）（ 1 x） +1 =2x+ 0 x 1， 当 x=1 时， 有最小值为 ； 当 x=0 时， 有最大值为 ， 由此可得的取值范围是 ， 故选： C 5设 ，则多项式 的常数项是（ ） A 332 B 332 C 166 D 166 第 7 页（共 21 页） 【考点】 二项式系数的性质；定积分 【分析】 求定积分求得 a 的值，二项式展开式的通项公式，再利用二项式系数的性质，求得展开式的常数项 【解答】 解： = =（ 1（ 1） =2， 则多项式 = （ ） =（ 6419240x160+60 12 + ）（ ）， 故它的常数项为 12+（ 160） 2= 332， 故选： A 6执行如图所示的程序框图，如果输入的 N 是 10，那么输出的 S 是（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 1 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求， S= + + + 的值，用裂项法即可得解 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 N=10， S=0， k=1 S= ， 满足条件 k 10， k=2， S= + ， 第 8 页（共 21 页） 满足条件 k 10， k=3， S= + + ， 满足条件 k 10， k=10， S= + + + += + = 1， 不满足条件 k 10，退出循环，输出 S 的值为 1 故选： C 7已知 M=（ x， y） |， N=（ x， y） |y=mx+b若对于所有的 m R，均有 MN ，则 b 的取值范围是（ ） A B CD 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 MN ，可得 y=mx+b 与 有 交点，联立方程，利用判别式，即可求得 b 的取值范围 【解答】 解：由题意， MN ， y=mx+b 与 有交点 直线方程代入椭圆方程，整理可得（ 1+23=0 =164（ 1+2 23） 0 23+6 对所有 m R，均有 MN ， 23 b 故选： C 8已知一个几何体的三视图及有关数据如图所 示，则该几何体的体积为（ ） A 2 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 第 9 页（共 21 页） 【分析】 几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算 【解答】 解：由 三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图： 四棱锥的一个侧面 底面 直，过 S 作 足为 O， 底面 ， 底面为边长为 2 的正方形， 几何体的体积 V= 2 2 = 故选： B 9 已知函数 f（ x） =| a b 0， f（ a） =f（ b），则 的最小值等于（ ） A 2 B C 2+ D 2 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用 【分析】 根据对数的运算性质，可得 （ a b 0），进而可将 =（ a b） + ，进而根据基本不等式，可得答案 【解答】 解： f（ x） =| a b 0， f（ a） =f（ b）， 则 a= ，即 （ a b 0） = =（ a b） + 2 故 的最小值等于 2 故选 A 10如图，已知 双曲线 的下，上焦点，过 作以圆心， |半径的圆的切线， P 为切点，若切线段 一条渐近线平分，则双曲线的离心率为（ ） 第 10 页（共 21 页） A 3 B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由已知 0， c），直线 y c= ，过 作以 圆心， |半径的圆的方程为 y+c） 2=立 ，求出 P，从而求出 M，由此能求出双曲线的离心率 【解答】 解： 双曲线 的下，上焦点，过 作以圆心， |半径的圆的切线， P 为切点，若切线段 一条渐近线平分， 0， c）， |2c， |c， 直线 斜率 k= ， 直线 y c= ，过 作以 圆心， |半径的圆的方程为 y+c）2= 联立 ，得 P（ ， c）， M（ ， ）， 切线段 一条渐近线平分， M（ ， ）在渐近线 y= 上， ， b= ， c2=a2+c=2a， 双曲线的离心率为 e= 故选： B 二、填空题：（本题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分 11已知实数 x， y 满足 ，则 z=|x|+|y 3|的取值范围是 1， 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函 数的几何意义进行求解即可 第 11 页（共 21 页） 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则 x 0， y 3， 则 z=|x|+|y 3|=x y+3， 即 y=x+3 z， 平移直线 y=x+3 z， 由图象知当直线经过点 B（ 4， 0）时，直线截距最小，此时 z 最大，最大为 z=4+3=7， 当直线经过点 C 时，直线截距最大，此时 z 最小， 由 ，解得 ， 即 C（ 1， 3），最小值为 z=1 3+3=1， 即 1 z 7， 故答案为： 1， 7 12已知 a， b） = ，设 f（ x） = ，则由函数 f（ x）的图象与x 轴、 x=e 直线所围成的封闭图形的面积为 【考点】 定积分在求面积中的应用 【分析】 根据题目给出的函数定义，写出分段函数 f（ x） = ，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积 【解答】 解：由 ，得： x=1， 又当 x 0 时， ， 所以，根据新定义有 f（ x） = = ， 图象如图， 第 12 页（共 21 页） 所以，由函数 f（ x）的图象与 x 轴、 x=e 直线所围成的封闭图形为图中阴影部分， 其面积为 S= = 故答案为 13设函数 f（ x） =g（ 3x 2） +数 y=g（ x）在（ 1， g（ 1）处的切线方程是 y=2x+3，则 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 8x y 2=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 欲求曲线 y=f（ x）在点 （ 1， f（ 1）处切线的方程，先求出斜率，即求 f（ 1），先求出 f（ x），然后根据曲线 y=g（ x）在点（ 1， g（ 1）处的切线方程为 y=2x+3 求出 g（ 1），从而得到 f（ x）的解析式，即可求出所求 【解答】 解： f（ x） =g（ 3x 2） + f（ x） =3g（ x） +2x y=g（ x）在点（ 1， g（ 1）处的切线方程为 y=2x+3， g（ 1） =2， f（ 1） =3g（ 1） +2 1=6+2=8， y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处切线斜率为 8， f（ 1） =g（ 1） +1=6， 切线 方程为 8x y 2=0 故答案为： 8x y 2=0 14在某项测量中，测量结果 服从正态分布 N（ 1， 2）（ 0），若 在（ 0， 1）内的概率为 在（ 0， 2）内取值的概率为 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的基本性质 【分析】 根据变量符合正态分布和 在（ 0， 1）内的概率为 正态分布的对称性可知 在（ 1， 2）内的取值概率也为 据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率 【解答】 解： 服从正态分布 N（ 1， 2）， 在（ 0， 1）内的概率为 由正态分布的对称性可知 在（ 1， 2）内的取值概率也为 P（ 0 2） =P（ 0 1） +P（ 1 2） =答案为： 5已知函数 f（ x）的定义域为 D，若同时满足以下两个条件： 函数 f（ x）在 D 内是单调递减函数； 第 13 页（共 21 页） 存在区间 a， b D，使函数 f（ x）在 a， b内的值域是 b， a 那么称函数 f（ x）为 “W 函数 ” 已知函数 f（ x） = k 为 “W 函数 ”实数 k 的取值范围是 （ ， 0 【考点】 函数的值域 【分析】 可令 =t，（ t 0），从而得到方程 t k= 一元二次方程 t k=0 在 0，+）上有两个不同实数根，从而可得到关于 k 的不等式组，解该不等式组即可得出实数 【解答】 解：令 =t（ t 0），由方程 k= x 得， t k= t k=0 在 0， +）上有两个不同实数根； 设 g（ t） =t k，则： ； 解得 k 0； 实数 k 的取值范围为（ ， 0 故答案为：（ ， 0 三、解答题（共 6 个题，共 75 分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 16已知函数 f（ x） = ，（ x R） （ 1）当 x ， 时，求函数 f（ x）的最小值和最大值； （ 2）设 内角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c，且 c= ， f（ C） =0，若向量 =（ 1， 向量 =（ 2， 线，求 a， b 的值 【考点】 余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦 【分析】 （ 1）利用三角函数的恒等变换化简函数 f（ x）的解析式，根据变量 x 的取值范围可求出最小值和最大值； （ 2）根据 C 的范围和 f（ C） =0 可求出角 C 的值，再根据两个向量共线的性质可得 ，再由正弦定理可得 b=2a，最后再由余弦定理得到 a 与 b 的等式，解方程组可求出a， b 的值 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x） = = 1=2x ） 1， x ， 2x ， 则 2x ） ， 1 函数 f（ x）的最小值为 1 和最大值 0； （ 2） f（ C） =2C ） 1=0，即 2C ） =1， 第 14 页（共 21 页） 又 0 C ， 2C ， 2C = ， C= 向量 =（ 1， 与 =（ 2， 线， 2 由正弦定理 ，得 b=2a， c= ，由余弦定理得 3=a2+2 解方程组 ，得 a=1， b=2 17 等腰直角三角形， C=4， 0， D、 E 分别是边 中点，现将 起，使面 面 H、 F 分别是边 中点，平面 E、 别交于 I、 G 两点 （ ）求证： （ ）求二面角 A C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 （ ）推导出 而 平面 而 此能证明 （ ） 以 D 为原点为， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 A C 的余弦值 【解答】 证明：（ ）因为 D、 E 分别是边 中点，所以 因为 平面 面 所以 平面 因为 面 平面 面 面 I， 所以 又因为 以 解：（ ） 如图，以 D 为原点为， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 由题意得 D（ 0， 0， 0）， E（ 2， 0， 0）， A（ 0， 0， 2）， F（ 3， 1， 0）， E（ 0， 2， 0）， H（ 0，0， 1）， ， ， ， ， 设平面 一个法向量为 ， 第 15 页（共 21 页） 则 ，故 ，令 ，解得 ， ，则设， 平面 一个法向量为 ， 则 ，故 ，令 ，解得 ，则 ， ， 所以二面角 A C 的余弦值为 18已知数列 前 n 项和为 量 =（ 1）， =（ 2n 1， ），满足条件 ， （ 1）求数列 通项公式， （ 2）设函数 f（ x） =（ ） x，数列 足条件 ， f（ ） = 求数列 通项公式， 设 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 （ 1）运用向量共线的坐标 表示，可得 n+1 2，再由当 n 1 时， n 1，n=1 时， 1，即可得到所求通项公式； （ 2） 运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式； 求得 = ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和 【解答】 解：（ 1）由向量 =（ 1）， =（ 2n 1， ）， ， 第 16 页（共 21 页） 可得 n 1，即 n+1 2， 当 n 1 时， n 1=（ 2n+1 2）（ 2n 2） =2n， 当 n=1 时， 1=2，满足上式 则有数列 通项公式为 n， n N*； （ 2） f（ x） =（ ） x， ， f（ ） = 可得（ ） = =（ ） ， 即有 =，可得 首项和公差均为 1 的等差数列， 即有 bn=n； = ，前 n 项和 +2（ ） 2+（ n 1） （ ） n 1+n（ ） n， （ ） 2+2（ ） 3+（ n 1） （ ） n+n（ ） n+1， 相减可得， +（ ） 2+（ ） n 1+（ ） n n（ ） n+1 = n（ ） n+1， 化简可得，前 n 项和 19某高校在上学期依次举行了 “法律、环保、交通 ”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动该高校 2014 级 某班 50 名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示 （ 1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率 （ 2）从该班中任意选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列及数学期望 （ 3）从该班中任意选两名学生，用 表示这两人参加活动次数之和，记 “函数 f（ x） =x 1 在区间（ 3， 5）上有且只有一个零点 ”为事件 A，求事件 A 发生的概率 第 17 页（共 21 页） 【考点】 古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散 型随机变量的期望与方差 【分析】 （ 1）由图可知，参加活动 1 次、 2 次和 3 次的学生人数分别为 5、 25 和 20由此能求出从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率，继而求出不等的概率； （ 2）从该班中任选两名学生，用 表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则 的可能取值分别为： 0， 1， 2 由此能求出 的分布列和 的数学期望； （ 3）根据函数零点定理，可得 f（ 3） f（ 5） 0，求出 的值，再根据古典概率求出事件A 发生的概率 【解答】 解：（ 1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率： P= = ，故 P=1 = （ 2）从该班中任选两名学生，用 表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则 的可能取值分别为： 0， 1， 2， 于是 P（ =0） = ， P（ =1） = = ， P（ =2） = = ，从而 的分布列为： 0 1 2 P +1 +2 = （ 3）因为函数 f（ x） =x 1 在区间（ 3， 5）上有且只有一个零点，则 f（ 3） f（ 5） 0，即：（ 8 3）（ 24 5） 0， ， 又由于 的取值分别为： 2， 3， 4， 5， 6，故 =3 或 4， 故所求的概率为： P（ A） = = 20在平面直角坐标系 ， F 是抛物线 C： p 0）的焦点，圆 Q 过 O 点与 圆心 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 （ 1）求抛物线 C 的方程； （ 2）已知抛物线上一点 M（ t， 4），过点 M 作抛物线的两条弦 断直线 否过定点？并说明理由 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）求出 抛物线的焦点坐标，结合题意列关于 p 的等式求 p，则抛物线方程可求； 第 18 页（共 21 页） （ 2）由（ 1）求出 M 的坐标，设出直线 方程 x=my+t，联立直线方程和抛物线方程，化为关于 y 的一元二次方程后 D， E 两点纵坐标的和与积，利用 得到 t 与 m 的关系，进一步得到 程，由直线系方程可得直线 过定点 【解答】 解：（ 1） ， 圆心 Q 在线段 垂直平分线 上， 又 准线方程为： ， ，得 p=2， 抛物线 C： x； （ 2）由（ 1）可得点 M（ 4， 4），可得直线 斜率不为 0，