高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征课件新人教A版必修

2 2 2用样本的数字特征估计总体的数字特征 自主预习 主题1 众数 中位数 平均数1 众数是一组数据中出现次数最多的数 在频率分布直方图中 众数应出现在哪个位置 是多少 提示 在频率分布直方图中 众数应该出现在最大的那一组中 它是最高的矩形的中点 2 在频率分布直方图中 中位数应出现在哪个位置 提示 在频率分布直方图中 中位数左边和右边直方图的面积应该相等 3 在频率分布直方图中 平均数是如何估计的 提示 在频率分布直方图中 平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 结合以上探究 试着写出众数 中位数和平均数的定义 众数 在一组数据中 出现次数 的数据叫做这一组数据的众数 中位数 将一组数据按 依次排列 把处在 位置的一个数据 或两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 最多 大小 最中间 平均数 假设样本数据是x1 x2 xn 表示这组数据的平均数 则 主题2 标准差1 如何考查样本数据的分散程度 提示 最常用的统计量是样本数据的标准差 2 样本数据的分散程度是计算样本数据的什么值 提示 样本数据的分散程度是样本数据到平均数的平均距离 3 一般意义下的平均距离是什么 提示 S 通过以上探究 试着写出方差与标准差公式 假设样本数据是x1 x2 x3 xn 是平均数 则方差 s2 标准差 s 深度思考 结合教材P76例1你认为应如何计算一组数据的标准差 第一步 第二步 第三步 算出方差的算术平方根 即为样本标准差 计算样本数据的平均数 计算方差s2 x1 2 xn 2 预习小测 1 下列刻画一组数据离散程度的是 A 平均数B 方差C 中位数D 众数 解析 选B 由方差 标准差的概念可知 方差 标准差反映了一组数据的离散程度 2 样本101 98 102 100 99的标准差为 A B 0C 1D 2 解析 选A 样本平均数为 100 样本方差s2 101 100 2 98 100 2 102 100 2 100 100 2 99 100 2 2 所以标准差为s 3 下列判断正确的是 A 样本平均数一定小于总体平均数B 样本平均数一定大于总体平均数C 样本平均数一定等于总体平均数D 样本容量越大 样本平均数越接近总体平均数 解析 选D 因为样本平均数只是估计总体的平均数 它与总体平均数的关系不确定 因此只有选项D正确 4 已知M个数的平均数为X N个数的平均数为Y 则这M N个数的平均数为 解析 这M N个数的和为MX NY 所以其平均数为答案 补偿训练 1 某学员在一次射击测试中射靶10次 命中环数如下 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4则 1 平均命中环数为 2 命中环数的标准差为 解析 1 2 因为s2 7 7 2 8 7 2 7 7 2 9 7 2 5 7 2 4 7 2 9 7 2 10 7 2 7 7 2 4 7 2 4 所以s 2 答案 1 7 2 2 2 如图是甲 乙两人在一次射击比赛中中靶的情况 击中靶中心的圆面为10环 靶中各数字表示该数字所在圆环被击中所得的环数 每人射击了6次 1 请用列表法将甲 乙两人的射击成绩统计出来 2 请你用学过的统计知识 对甲 乙两人这次的射击情况进行比较 解析 1 2 因为所以甲与乙的平均成绩相同 但甲发挥比乙稳定 互动探究 1 一组数据中的众数只有一个吗 提示 可能不止一个 如果两个数据出现的次数相同 并且比其他数据出现的次数都多 那么这两个数据都是这组数据的众数 2 由频率分布直方图得出的中位数 一定在样本数据中出现吗 提示 不一定 因为频率分布直方图 不能体现样本数据 因此由频率分布直方图得到的中位数不一定在样本数据中出现 3 标准差 方差的取值范围是什么 提示 由标准差与方差的公式可知 标准差 方差的取值范围为 0 4 标准差 方差为0的样本数据有什么特点 提示 标准差 方差为0时 样本数据全相等 都等于样本的平均数 表明数据没有波动幅度 数据没有离散性 探究总结 知识归纳 注意事项 方差与标准差的关注点 1 标准差 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小 标准差 方差越大 数据的离散程度越大 标准差 方差越小 数据的离散程度越小 2 标准差 方差的取值范围是 0 3 因为方差与原始数据的单位相同 且平方后可能夸大了偏差的程度 所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度上是一样的 但在解决实际问题时 一般多采用标准差 题型探究 类型一 众数 中位数 平均数的应用 典例1 1 2016 聊城高一检测 某学习小组在一次数学测验中 得100分的有1人 95分的有1人 90分的有2人 85分的有4人 80分和75分的各有1人 则该小组成绩的平均数 众数 中位数分别是 A 85 85 85B 87 85 86C 87 85 85D 87 85 90 2 据报道 某公司的33名职工的月工资 以元为单位 如下 求该公司的职工月工资的平均数 中位数 众数 假设副董事长的工资从5000元提升到20000元 董事长的工资从5500元提升到30000元 那么新的平均数 中位数 众数又是什么 精确到1元 你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平 结合此问题谈一谈你的看法 解题指南 1 将数值从小到大依次排列 即可观察众数 中位数 2 根据众数 中位数 平均数的定义及意义解决问题 解析 1 选C 从小到大列出所有数学成绩 75 80 85 85 85 85 90 90 95 100 观察知众数和中位数均为85 计算得平均数为87 2 平均数是 1500 591 2091 元 中位数是1500元 众数是1500元 平均数是 1500 1788 3288 元 中位数是1500元 众数是1500元 在这个问题中 中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平 因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大 这样导致平均数偏差较大 所以平均数不能反映这个公司职工的工资水平 规律总结 1 中位数的求法 1 当数据个数为奇数时 中位数是按大小顺序排列的中间那个数 2 当数据个数为偶数时 中位数为按大小顺序排列的最中间的两个数的平均数 2 数据特征的分析如果样本平均数大于样本中位数 说明数据中存在许多较大的极端值 反之说明数据中存在许多较小的极端值 在实际应用中 如果同时知道样本中位数和样本平均数 可以使我们了解样本数据中极端数据的信息 所以 应当深刻理解和把握平均数 中位数 众数在反映样本数据上的特点 并结合实际情况 灵活应用 巩固训练 2016 长沙高二检测 某小区广场上有甲 乙两群市民正在进行晨练 两群市民的年龄如下 单位 岁 甲群13 13 14 15 15 15 15 16 17 17 乙群54 3 4 4 5 5 6 6 6 57 1 甲群市民年龄的平均数 中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映甲群市民的年龄特征 2 乙群市民年龄的平均数 中位数和众数各是多少岁 其中哪个统计量能较好反映乙群市民的年龄特征 解析 1 甲群市民年龄的平均数为中位数为15岁 众数为15岁 平均数 中位数和众数相等 因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征 2 乙群市民年龄的平均数为中位数为5 5岁 众数为6岁 由于乙群市民大多数是儿童 所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征 而平均数的可靠性较差 类型二 标准差 方差的应用 典例2 甲 乙两机床同时加工直径为100cm的零件 为检验质量 各从中抽取6件测量 数据为 甲 9910098100100103乙 9910010299100100 1 分别计算两组数据的平均数及方差 2 根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定 解题指南 1 由平均数和方差的定义直接求解 2 利用 1 的结果 方差较小的质量较稳定 解析 1 99 100 98 100 100 103 100 99 100 102 99 100 100 100 99 100 2 100 100 2 98 100 2 100 100 2 100 100 2 103 100 2 99 100 2 100 100 2 102 100 2 99 100 2 100 100 2 100 100 2 1 2 两台机床所加工零件的直径的平均值相同 又 所以乙机床加工零件的质量更稳定 规律总结 计算标准差的五个步骤第一步 算出样本数据的平均数 第二步 算出每个样本数据与样本平均数的差xi i 1 2 n 第三步 算出 xi 2 i 1 2 n 第四步 算出 xi 2 i 1 2 n 这n个数的平均数 即为样本方差s2 第五步 算出方差的算术平方根 即为样本标准差s 拓展延伸 方差的两种化简形式方差描述一组数据围绕平均数波动的幅度 在应用时注意其公式s2 的两个简化形式 s2 s2 其中x 1 x1 a x 2 x2 a x n xn a a是接近原数据平均数的一个常数 巩固训练 从甲 乙两种玉米的苗中各抽10株 分别测它们的株高如下 单位 cm 甲 25414037221419392142乙 27164427441640401640问 1 哪种玉米的苗长得高 2 哪种玉米的苗长得齐 解析 1 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 300 30 cm 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 310 31 cm 所以乙种玉米的苗长得高 2 25 30 2 41 30 2 40 30 2 37 30 2 22 30 2 14 30 2 19 30 2 39 30 2 21 30 2 42 30 2 25 121 100 49 64 256 121 81 81 144 1042 104 2 cm2 2 272 3 162 3 402 2 442 10 312 1288 128 8 cm2 所以甲种玉米的苗长得齐 类型三 由频率分布表或直方图求数字特征 典例3 从某企业生产的某种产品中抽取100件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量结果得如下频数分布表 1 在下图中作出这些数据的频率分布直方图 2 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 3 根据以上抽样调查数据 能否认为该企业生产的这种产品符合 质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80 的规定 解题指南 1 可由频率分布表 直接画出频率分布直方图 2 由频率分布直方图计算样本的平均数与方差 3 可利用样本来估计总体 解析 1 由频率分布表直接画出频率分布直方图 2 质量指标值的样本平均数为 80 0 06 90 0 26 100 0 38 110 0 22 120 0 08 100 质量指标值的样本方差为 s2 20 2 0 06 10 2 0 26 0 0 38 102 0 22 202 0 08 104 3 质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0 38 0 22 0 08 0 68 由于该估计值小于0 8 故不能认为该企业生产的这种产品符合 质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80 的规定 延伸探究 1 改变问法 若本例中的条件不变 估计产品质量指标值的众数出现在哪一组中 其值为多少 解析 由频率分布直方图可知 产品质量指标值的众数应该出现在长方形最高的一组中 即出现在 95 105 这一组中 其值应该是100 2 改变条件 在本例 3 中的 不低于95 改为 不高于115 结果如何 解析 质量指标值不高于115的产品所占比例的估计值为1 0 08 0 92 由于该估计值大于0 8 故能认为该企业生产的这种产品符合 质量指标值不高于115的产品至少要占全部产品80 的规定 规律总结 利用频率分布直方图求数字特征的方法 1 众数是最高的矩形的底边的中点的横坐标 2 中位数左右两侧直方图的面积相等 3 平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 4 利用直方图求众数 中位数 平均数均为近似值 往往与实际数据得出的不一致 但它们能粗略估计其众数 中位数和平均数 巩固训练 某地区100位居民的人均月用水量 单位 t 的分组及各组的频数如下 0 0 5 4 0 5 1 8 1 1 5 15 1 5 2 22 2 2 5 25 2 5 3 1