锦城下期期末《高等数学》第二套复习题评讲(2009.6.4)

高等数学复习题第 二 套评 讲June 4 2009,1. 设求 和 。,解,1. 设求 和 。,1. 设求 和 。,2. 设 ,其中 f 可导，求dz。,解,2. 设 ,其中 f 可导，求dz。,3. 设 ，求 du。,解,3. 设 ，求 du。,设 ，其中 f 具有二阶 连续偏导数，求 , 和 。,解,已经求得：,注意：,5. 设 求 和,解 隐函数求偏导数复习有关公式,隐函数存在定理 2,二元隐函数,隐函数的求导公式,p.33,5. 设 求 和,解,令,6. 设函数 （1）求梯度 gradu; (2) 求函数 u 在点(1,1,2)处沿 的方向导数。,解 (1),6. 设函数 （1）求梯度 gradu; (2) 求函数 u 在点(1,1,2)处沿 的方向导数。,解 (1),(2),7. 设有一半径为 R 的球面，求内接于该球面的长方体的长、宽、高，使之有最大体积。,解 设长方体的各面平行于坐标面，且它在第一卦限内的顶点为 P(x, y, z)。,第一卦限部分,长方体体积,由条件，点P(x, y, z) 在球面x2+y2+z2=R2 上。,解 设长方体的各面平行于坐标面，且它在第一卦限内的顶点为 P(x, y, z)。由条件，点P(x, y, z) 在球面x2+y2+z2=R2 上。,长方体体积,求V=8xyz在条件x2+y2+z2=R2 下的最大值。,作Lagrange函数：,作Lagrange函数：,所以长宽高都是 时，内接长方体的体积最大,8. 计算二次积分:,解,若先积分,则“积不出”,原函数不是初等函数,常见的“积不出”的积分：,在二重积分中不要先去碰这些积分,怎么办？,改变积分次序，避开这个“积不出”的积分,视为常数！,9. 交换二次积分的积分次序:,解,交点,9. 交换二次积分的积分次序:,交点,10. 计算二重积分：,解,11. 将三重积分化为三次积分，其中为三个坐标面和平面2x+y+z=1所围成的闭区域。,12. 计算三重积分其中,解 利用球面坐标,12. 计算三重积分其中,解 利用柱面坐标,积分比较困难,13. 计算曲线积分其中 L为半圆 从点A(3,0)到点B(-3,0)的一段弧。,解,曲线积分与路径有关,由于,很简单，宜用格林公式,直接计算又较难,解,添加一条边：,由格林公式,添加一条边：,由格林公式,14. 验证曲线积分与路径无关，并计算积分值。,解,曲线积分与路径无关,可沿折线积分：,15. 计算曲线积分 其中L是曲线,解（类似于教材131页，例3）,解（类似于教材131页，例3）,16. 计算曲面积分其中是区域 的整个边界曲面的外侧。,是区域 的整个边界曲面的外侧。,解 利用高斯公式,17. 判定级数 的敛散性。,解 宜用比值审敛法,由比值审敛法，原级数收敛。,18. 判定级数 的敛散性（若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？）,解 先讨论其绝对值级数：,因为,而级数,收敛,由比较审敛法的极限形式，级数收敛。故原级数绝对收敛。,或者，由于,而级数,收敛,所以绝对值级数收敛。故原级数绝对收敛,19. 求幂级数的收敛半径和收敛域,求收敛域,解,绝对收敛区间：,方法一,收敛半径,当,时，,级数发散,当,时，,级数收敛,收敛域：,绝对收敛区间：,方法二,直接对幂级数利用比值法,当,时，,级数发散,当,时，,级数收敛,收敛域：,20. 将函数 展开成 x-2 的幂级数。,解 利用展开式：,21. 求微分方程满足初始条件的特解：,解,可分离变量,分离变量：,解,分离变量：,积分：,通解：,通解：,将 x=0, y=0 代入通解：,特解：,22. 求微分方程的通解：,解 这是二阶常系数齐次线性方程,特征方程：,特征根：,方程的通解：,二重根,23. 若二阶可导函数 f(x) 满足方程且 f(0)=0，求 f(x).,解 方程两边求导：,二阶常系数非齐次线性方程,且,f(0)=0,特征方程：,对应齐次方程的通解：,因为= -1不是特征方程的根，设特解为,代入原方程，得,特解：,f(0)=0,对应齐次