高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的最大小值.doc

函数的最大(小)值【知识梳理】1最大值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最大值2最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，我们称M是函数yf(x)的最小值【常考题型】题型一、图象法求函数的最值【例1】(1)函数f(x)在区间2,5上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A2，f(2)B2，f(2)C2，f(5)D2，f(5)(2)求函数f(x)的最值(1)解析由函数的图象知，当x2时，有最小值2；当x5时，有最大值f(5)答案C(2)解函数f(x)的图象如图由图象可知f(x)的最小值为f(1)1.无最大值【类题通法】用图象法求最值的一般步骤【对点训练】作出函数y|x2|(x1)的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值解：当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x2(x)2；当x2，即x20时，y(x2)(x1)x2x2(x)2.所以y画出该分段函数的图象，如图由图象可知，函数y|x2|(x1)在(，2，)上是增函数；在，2上是减函数观察函数图象，可知函数不存在最大值，也不存在最小值.题型二、利用单调性求函数的最值【例2】已知函数f(x)x.(1)证明：f(x)在(1，)内是增函数；(2)求f(x)在2,4上的最值解(1)证明：设任意两个x1，x2(1，)，并且x1x11，x1x21，x1x210，故(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)内是增函数(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函数，当x2,4时，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2,4上的最大值为，最小值为.【类题通法】函数的最值与单调性的关系(1)如果函数yf(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最大值f(b)(2)如果函数yf(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数yf(x)，x(a，c)在xb处有最小值f(b)(3)如果函数yf(x)在区间a，b上是增(减)函数，则在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值【对点训练】在题设条件不变的情况下，求f(x)在，2上的最值解：设x1x2，1，并且x1f(x2)，即f(x)在，1上是减函数结合例题可知，函数f(x)在，1上单调递减，在(1,2)上单调递增当x1时，f(x)取得最小值f(1)2；又f()3f(2)，f(x)在，2上的最大值为，最小值为2.题型三、函数最值的应用【例3】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，f(x)max25 000.当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)max25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元【类题通法】解决函数最值应用题的方法(1)解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决(2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键【对点训练】商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶在每月的进货当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？解：设销售价为x元/瓶(3x4)，则根据题意(销售量等于进货量)，正好当月销售完的进货量为40400(瓶)，即400(92x)瓶此时所得的利润为f(x)400(92x)(x3)400(2x215x27)(元)，根据函数性质，当x时，f(x)取得最大值450.这时进货量为400(92x)400(92)600(瓶)答：销售价定为每瓶元，并且从工厂购进600瓶时，才可获得最大利润450元【练习反馈】1.函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为()Af()，f()Bf(0)，f()Cf()，f(0)Df(0)，f(3)解析：选B观察函数图象，f(x)最大值、最小值分别为f(0)，f()，故选B.2函数f(x)x23x2在区间(5,5)上的最大值、最小值分别为()A42,12B42，C12， D无最大值，最小值解析：选Df(x)x23x2(x)2，50时，由题意得2a1(a1)2，即a2；a0时，a1(2a1)2，a2.综上，a2.答案：2.4函数f(x)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)为减函数，所以在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在x0处取得最大值，为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.答案：25已知函数f(x)，x3,5(1)判断函数f(x)的单调性；(2)求函数f(x)的最大值和最小值解：(1)任取x1，x23,5且x1x2，则f(x1)f(x2