（湖南专用）2013年高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第五章第3课时等比数列及其前n项和课件 理

第3课时等比数列及其前n项和 基础梳理1 等比数列的基本问题 1 定义一般地 如果一个数列从 起 每一项与它的 的比等于 常数那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 公比通常用字母q q 0 表示 第2项 前一项 公比 2 通项公式设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 3 等比中项如果三个数a G b成 则G叫做a和b的等比中项 那么即G2 a1qn 1 等比数列 ab 思考探究b2 ac是a b c成等比数列的什么条件 提示 b2 ac是a b c成等比数列的必要不充分条件 当b 0 a c至少有一个为零时 b2 ac成立 但a b c不成等比数列 反之 若a b c成等比数列 则必有b2 ac na1 2 等比数列的性质已知数列 an 是等比数列 Sn是其前n项和 1 若m n p q 2r 则am an 2 数列am am k am 2k am 3k 仍是等比数列 3 数列Sm S2m Sm S3m S2m 仍是等比数列 此时 an 的公比q 1 ap aq 课前热身1 在等比数列 an 中 a2012 8a2009 则公比q的值为 A 2B 3C 4D 8答案 A 3 等比数列 an 中 a2 9 a5 243 则数列 an 的前4项和为 答案 120 4 已知各项不为0的等差数列 an 满足2a3 a 2a11 0 数列 bn 是等比数列 且b7 a7 则b6b8等于 答案 16 已知数列 an 的前n项和为Sn 且对任意的n N 有an Sn n 1 设bn an 1 求证 数列 bn 是等比数列 2 设c1 a1且cn an an 1 n 2 求 cn 的通项公式 备选例题 教师用书独具 在数列 an 中 a1 0 且对任意k N a2k 1 a2k a2k 1成等差数列 其公差为dk 若dk 2k 求证a2k a2k 1 a2k 2成等比数列 k N 证明 由题设知 a2k 1 a2k 1 4k k N 所以a2k 1 a1 a2k 1 a2k 1 a2k 1 a2k 3 a3 a1 4k 4 k 1 4 1 2k k 1 由a1 0 得a2k 1 2k k 1 从而a2k a2k 1 2k 2k2 a2k 2 2 k 1 2 变式训练1 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 设bn an 1 2an 求证数列 bn 是等比数列 证明 由a1 1 Sn 1 4an 2 得a1 a2 4a1 2 a2 3a1 2 5 b1 a2 2a1 3 Sn 1 4an 2 当n 2时 有Sn 4an 1 2 得an 1 4an 4an 1 an 1 2an 2 an 2an 1 又 bn an 1 2an b1 a2 2a1 3 bn 2bn 1 数列 bn 是首项为3 公比为2的等比数列 2011 高考大纲全国卷 设等比数列 an 的前n项和为Sn 已知a2 6 6a1 a3 30 求an和Sn 题后感悟 解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式 并灵活运用 在运算过程中 还应善于运用整体代换思想简化运算的过程 备选例题 教师用书独具 已知等差数列 an 满足a2 2 a5 8 1 求 an 的通项公式 2 各项均为正数的等比数列 bn 中 b1 1 b2 b3 a4 求 bn 的前n项和Tn 变式训练2 设等比数列 an 的公比q 1 前n项和为Sn 已知a3 2 S4 5S2 求 an 的通项公式 在等比数列 an 中 若a1a2a3a4 1 a13a14a15a16 8 求a41a42a43a44 题后感悟 等比数列的性质可以分为三类 1 通项公式的变形 2 等比中项的变形 3 前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 备选例题 教师用书独具 已知等比数列前n项和为2 其后2n项和为12 求再往后3n项和 解 由已知a1 a2 an 2 an 1 an 2 a2n a2n 1 a2n 2 a3n 12 注意到 a1 a2 an an 1 an 2 a2n a2n 1 a2n 2 a3n a3n 1 a3n 2 a4n 也成等比数列 其公比为qn 于是 问题转化为已知 方法技巧几种思想方法在等比数列中的体现 1 方程思想 等比数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 失误防范1 由an 1 qan q 0 并不能立即断言 an 为等比数列 还要验证a1 0 2 在运用等比数列的前n项和公式时 必须注意对q 1与q 1分类讨论 防止因忽略q 1这一特殊情形而导致解题失误 3 在求解与等比数列有关的问题时 除了要灵活地运用定义和公式外 还要注意性质的应用 以减少运算量而提高解题速度 命题预测从近几年的高考试题来看 等比数列的定义 性质 通项公式及前n项和公式是高考的热点 题型既有选择题 填空题 又有解答题 难度中等偏高 客观题突出 小而巧 考查学生对基础 知识的掌握程度 主观题考查较为全面 在考查基本运算 基本概念的基础上 又注重考查函数与方程 等价转化 分类讨论等思想方法 预测2013年高考 等比数列的定义 性质 通项公式及前n项和公式仍将是考查的重点 特别是等比数列的性质更要引起重视 规范解答 解 1 设成等差数列的三个正数分别为a d a a d 依题意 得a d a a d 15 解得a 5 1分所以 bn 中的b3 b4 b5