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此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 第一章实数集与函数第一章实数集与函数 1 1 实数实数 授课章节 授课章节 第一章实数集与函数 1 实数 教学目的教学目的 使学生掌握实数的基本性质 教学重点教学重点 1 理解并熟练运用实数的有序性 稠密性和封闭性 2 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等 式 它们是分析论证的重要工具 教学难点教学难点 实数集的概念及其应用 教学方法教学方法 讲授 部分内容自学 教学程序教学程序 引引 言言 上节课中 我们与大家共同探讨了 数学分析 这门课程的研 究对象 主要内容等话题 从本节课开始 我们就基本按照教材顺 序给大家介绍这门课程的主要内容 首先 从大家都较为熟悉的实 数和函数开始 问题问题 为什么从 实数 开始 答 数学分析 研究的基本对象是函数 但这里的 函数 是定义在 实数集 上的 后继课 复变函数 研究的是定义在复 数集上的函数 为此 我们要先了解一下实数的有关性质 一 实数及其性质一 实数及其性质 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 1 1 实数 实数 q p q p 有理数 任何有理数都可以用分数形式为整数且q0 表示 也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示 无理数 用无限十进不循环小数表示 Rx x 一一一 一一一一一一一 问题问题 有理数与无理数的表示不统一 这对统一讨论实数是不利 的 为以下讨论的需要 我们把 有限小数 包括整数 也表 示为 无限小数 为此作如下规定 对于正有限小数其中 012 n xa a aa 记 0 09 1 2 0 in ain aa 为非负整数 011 1 9999 nn xa aaa 对于正整数则记 对于负有限小数 包括 0 xa 0 1 9999xa 负整数 则先将表示为无限小数 现在所得的小数之前加yy 负号 0 表示为 0 0 0000 例 2 0012 0009999 利用上述规定 任何实数都可用一个确定的无限小数来表 示 在此规定下 如何比较实数的大小 2 2 两实数大小的比较 两实数大小的比较 1 定义定义 1 1 给定两个非负实数 其 01 n xa aa 01 n yb bb 中为非负整数 为整数 若有 00 a b kk a b 1 2 k 09 09 kk ab 32 9999 2 0012 009999 32 9999 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 则称 与相等 记为 若或存在非负 0 1 2 kk abk xyxy 00 ab 整数 使得 而 则称 大于或小于l 0 1 2 kk abkl 11ll ab xyy 分别记为或 对于负实数 若按上述规定分别有xxy yx xy 或 则分别称为与 或 xy xy xy xy yx 规定规定 任何非负实数大于任何负实数 2 实数比较大小的等价条件 通过有限小数来比较 定义定义 2 2 不足近似与过剩近似不足近似与过剩近似 为非负实数 称 01 n xa aa 有理数为实数 的 位不足近似位不足近似 称为实数 01 nn xa aa xn 1 10 nn n xx 的 位过剩近似位过剩近似 xn0 1 2 n 对于负实数 其 位不足近似 01 n xa aa n 01 1 10 nn n xa aa 位过剩近似 n 01 nn xa aa 注 实数 的不足近似当 增大时不减 即有 x n xn 012 xxx 过剩近似当 n 增大时不增 即有 n x 012 xxx 命题命题 记 为两个实数 则的等 01 n xa aa 01 n yb bb xy 价条件是 存在非负整数 n 使 其中为 的 位不足近似 nn xy n xxn 为的 位过剩近似 n yyn 命题应用命题应用 例例 1 1 设为实数 证明存在有理数 满 x yxy r 足 xry 证明 由 知 存在非负整数 n 使得 令xy nn xy 则 r 为有理数 且 1 2 nn rxy 即 nn xxryy xry 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 3 3 实数常用性质 实数常用性质 详见附录 289302 PP 1 1 封闭性 封闭性 实数集对 四则运算是封闭的 即任意两R 个实数的和 差 积 商 除数不为 0 仍是实数 2 2 有序性 有序性 关系 三者必居其一 也 a bR ab ab ab 只居其一 3 3 传递性 传递性 abcR ab bcac 若 则 4 4 阿基米德性 阿基米德性 使得 0a bR banN nab 5 5 稠密性 稠密性 两个不等的实数之间总有另一个实数 6 6 一一对应关系 一一对应关系 实数集与数轴上的点有着一一对应关系 R 例例 2 2 设 证明 若对任何正数 有 a bR ab 则 ab 提示 反证法 利用 有序性 取 ab 二 绝对值与不等式二 绝对值与不等式 1 1 绝对值的定义 绝对值的定义 实数 的绝对值的定义为 a 0 0 aa a aa 2 2 几何意义 几何意义 从数轴看 数 的绝对值就是点 到原点的距离 表示a aa xa 就是数轴上点 与 之间的距离 xa 3 3 性质 性质 1 非负性 0 00aaaa 2 aaa 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 3 ahhah 0 ahhah h 4 对任何有 三角不等式 a bR ababab 5 abab 6 aa bb 0b 三 几个重要不等式三 几个重要不等式 1 1 2 22 abba 1 sin x sin xx 2 2 均值不等式 对记 21 R n aaa 算术平均值 1 1 21 n i i n i a nn aaa aM 几何平均值 1 1 21 n n i i n ni aaaaaG 调和平均值 111 1 111 1121 n i i n i i n i a n anaaa n aH 有平均值不等式 即 iii aMaGaH 12 12 12 111 n n n n aaan a aa n aaa 等号当且仅当时成立 n aaa 21 3 3 Bernoulli 不等式 在中学已用数学归纳法证明过 有不等式 1 x 1 1 n xnxn N 当且 且时 有严格不等式1 x0 xN n2 n 1 1 nxx n 证 由且01 x 111 1 1 1 01 nn xnxx 1 1 xnxn n n 1 1 nxx n 4 4 利用二项展开式得到的不等式 对由二项展开式 0 h 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 3 2 1 2 1 1 1 32nn hh nnn h nn nhh 有 上式右端任何一项 n h 1 练习练习 P4 5 课堂小结课堂小结 实数 一 实数及其性质 二 绝对值与不等式 作业作业 P4 1 1 2 2 3 3 2 2 数集和确界原理数集和确界原理 授课章节 授课章节 第一章实数集与函数 2 数集和确界原理 教学目的教学目的 使学生掌握确界原理 建立起实数确界的清晰概念 教学要求 教学要求 1 掌握邻域的概念 2 理解实数确界的定义及确界原理 并在有关命题的证明中正 确地加以运用 教学重点教学重点 确界的概念及其有关性质 确界原理 教学难点教学难点 确界的定义及其应用 教学方法教学方法 讲授为主 教学程序教学程序 先通过练习形式复习上节课的内容 以检验学习效果 此后导入新课 引引 言言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论 此后 又让大家自学了第一章 1 实数的相关内容 下面 我们先来检验一 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 下自学的效果如何 1 证明 对任何有 1 2 xR 1 2 1xx 1 2 3 2xxx 111 2 12 121xxxxx 2121 231 232 xxxxxx 三式相加化简即可 2 证明 xyxy 3 设 证明 若对任何正数 有 则 a bR ab ab 4 设 证明 存在有理数 满足 x yR xy ryrx 引申引申 由题 1 可联想到什么样的结论呢 这样思考是做科 研时的经常的思路之一 而不要做完就完了 而要多想想 能否具体 问题引出一般的结论 一般的方法 由上述几个小题可以体会出 大学数学 习题与中学的不同 理论性强 概念性强 推理有理 有据 而非凭空想象 课后未布置作业的习题要尽可能多做 以 加深理解 语言应用 提请注意这种差别 尽快掌握本门课程的术语 和工具 本节主要内容本节主要内容 1 先定义实数集 R 中的两类主要的数集 区间与邻域 2 讨论有界集与无界集 3 由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理 确界原理 一一 区间与邻域 区间与邻域 1 区间 用来表示变量的变化范围 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 设且 其中 a bR ab 有限区间 区间 无限区间 xR axba b xR axba b xR axba b xR axba b 开区间 闭区间 有限区间 闭开区间 半开半闭区间 开闭区间 xR xaa xR xaa xR xaa xR xaa xRxR 无限区间 2 邻域 联想 邻居 字面意思 邻近的区域 与 邻近的 区a 域 很多 到底哪一类是我们所要讲的 邻域 呢 就是 关于 的对称区间 如何用数学语言来表达呢 a 1 的的邻域邻域 设 满足不等式的全体实a 0aR xa 数 的集合称为点 的邻域 记作 或简记为 即xa U a U a U ax xaaa 其中a 称为该邻域的中心 称为该邻域的半径 2 点点 的空心的空心邻域邻域a 0 oo Uaxxaaaa aUa 3 的的右邻域和点右邻域和点 的空心的空心右邻域右邻域a a 00 Uaa aUax axa Uaa aUax axa 4 点点 的的左邻域和点左邻域和点 的空心的空心左邻域左邻域a a 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 00 UaaaUax axa UaaaUax axa 5 邻域 邻域 邻域 邻域 邻域邻域 其中 M 为充分大的正数 Ux xM Ux xM Ux xM 二二 有界集与无界集 有界集与无界集 1 1 定义定义 1 1 上 下界上 下界 设为中的一个数集 若存在数SR 使得一切都有 则称 S 为有上 下 界 M LxS xM xL 的数集 数称为 S 的上界 下界 若数集 S 既有上界 又 M L 有下界 则称 S 为有界集 闭区间 开区间为有限数 邻域等都是有界数集 a bbaba 集合 也是有界数集 sin xxyyE 若数集 S 不是有界集 则称 S 为无界集 等都是无界数集 0 0 集合 也是无界数集 1 0 1 x x yyE 注注 1 上 下 界若存在 不唯一 2 上 下 界与 S 的关系如何 看下例 例例 1 1 讨论数集的有界性 Nn n 为正整数 解 任取 显然有 所以有下界 1 0 nN 0 1n N 但无上界 因为假设有上界 M 则 M 0 按定义 对任意N N 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 都有 这是不可能的 如取 0 nN 0 nM 则 且 0 1nMMM 符号表示不超过的最大整数 0 nN 0 nM 综上所述知 是有下界无上界的数集 因而是无界集 N 例例 2 2 证明 1 任何有限区间都是有界集 2 无限区间都 是无界集 3 由有限个数组成的数集是有界集 问题问题 若数集 S 有上界 上界是唯一的吗 对下界呢 答 不唯一 有无穷多个 三三 确界与确界原理 确界与确界原理 1 定义 定义定义 2 2 上确界 上确界 设 S 是 R 中的一个数集 若数 满足 1 对一切有 即 是 S 的上界 2 对任何 存在 xS x 使得 即 是 S 的上界中最小的一个 则称数 为数集 0 xS 0 x S 的上确界上确界 记作sup S 从定义中可以得出 上确界就是上界中的最小者上确界就是上界中的最小者 命题命题 1 1 充要条件supME 1 xE xM 2 00 oxSxM 使得 证明 证明 必要性 用反证法 设 2 不成立 则 与M是上界中最小的一个矛盾 0 0 o xExM 使得均有 充分性 用反证法 设M不是E的上确界 即是上界 但 0 M 令 由 2 使得 与 0 MM 0 0MM 0 xE 00 xMM 是E的上界矛盾 0 M 定义定义 3 3 下确界 下确界 设 S 是 R 中的一个数集 若数 满足 1 对一切有 即 是 S 的下界 2 对任何 存在 xS x 使得 即 是 S 的下界中最大的一个 则称数 为数集 0 xS 0 x 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 S 的下确界下确界 记作 inf S 从定义中可以得出 下确界就是下界中的最大者下确界就是下界中的最大者 命题命题 2 2 的充要条件 inf S 1 xE x 2 0 00 xSx 有 上确界与下确界统称为确界确界 例例 3 3 1 则 1 0 1 1 n S n supS inf S 2 则 1 0 0 sin xxyyEsupS inf S 注 注 非空有界数集的上 或下 确界是唯一的 命题命题 3 3 设数集设数集有上 下 确界 则这上 下 确界必是唯一有上 下 确界 则这上 下 确界必是唯一A 的的 证明 证明 设 且 则不妨设sup A sup A Asup Ax 有 x 对 使 矛盾 sup A 0 xA 0 x 例 例 sup0R sup1 1 n Z n n 1 inf 12 n Z n n 则有 5 0 3 9 11E inf5E 开区间与闭区间有相同的上确界 与下确界 a b a bba 例例 4 4 设和是非空数集 且有则有SA AS infinf supsupASAS 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 例例 5 5 设和是非空数集 若对和都有则有ABAx By yx infsupBA 证明 证明 是的上界 是的下界 By yA sup yA Asup B infsup BA 例例 6 6和为非空数集 试证明 AB BAS inf inf mininfBAS 证明 证明 有或由和分别是和的下界 Sx Ax Bx AinfBinfAB 有 或Axinf inf inf min infBAxBx 即是数集的下界 inf inf minBAS 又的下界就是的下界 inf inf mininf BAS SAS A 是的下界 是的下界 同理有SinfSSinf A infinf AS infinfBS 于是有 inf inf mininfBAS 综上 有 inf inf mininfBAS 1 1 数集与确界的关系数集与确界的关系 确界不一定属于原集合 以例 3 为例做 解释 2 2 确界与最值的关系确界与最值的关系 设 为数集 E 1 的最值必属于 但确界未必 确界是一种临界点 EE 2 非空有界数集必有确界 见下面的确界原理 但未必有最 值 3 若存在 必有对下确界有类似的结论 Emax supmaxEE 4 4 确界原理确界原理 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 Th1 1Th1 1 确界原理 设非空的数集 若有上界 则必有上确SSS 界 若有下界 则必有下确界 SS 这里我们给一个可以接受的说明 非空 Ex 我们可 ER E 以找到一个整数 使得p不是E上界 而是E的上界 然后我 p 1p 们遍查 9 2 1 ppp 和 1 p 我们可以找到一个 0 q 90 0 q 使 得 0 qp 不是E上界 1 0 qp 是E上界 如果再找第二位小数1 q 如此下去 最后得到 210 qqqp 它是一个实数 即为E的上确界 证明 证明 书上对上确界的情况给出证明 下面讲对下确界的证明 不妨设S中的元素都为非负数 则存在非负整数n 使得 1 Sx 有nx 2 存在 Sx 1 有1 nx 把区间 1 nn 10 等分 分点为n 1 2 9 存在1 n 使 得 1 S 有 1 nnx 2 存在 Sx 2 使得10 1 12 nnx 再对开区间10 等分 同理存在2 n 使得 11 1 10 nn nn 1 对任何Sx 有21 nnnx 2 存在2 x 使 2 10 1 212 nnnx 继续重复此步骤 知对任何 2 1 k 存在 k n 使得 1 对任何Sx k k nnnnx 10 1 21 2 存在 Sxk kk nnnnx 21 因此得到 k nnnn 21 以下证明 Sinf 对任意Sx x 对任何 存在Sx 使 x 作业 作业 P9 1 1 2 2 4 2 4 3 3 函数概念函数概念 授课章节授课章节 第一章实数集与函数 3 函数概念 教学目的教学目的 使学生深刻理解函数概念 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 教学要求教学要求 深刻理解函数的定义以及复合函数 反函数和初等函数 的定义 熟悉函数的各种表示法 牢记基本初等函数的定义 性质及其图象 会求初等函数 的存在域 会分析初等函数的复合关系 教学重点教学重点 函数的概念 教学难点教学难点 初等函数复合关系的分析 教学方法教学方法 课堂讲授 辅以提问 练习 部分内容可自学 教学程序教学程序 引引 言言 关于函数概念 在中学数学中已有了初步的了解 为便于今后的 学习 本节将对此作进一步讨论 一 函数的定义一 函数的定义 定义 定义 设 如果存在对应法则 使对 D MR fxD 存在唯一的一个数与之对应 则称是定义在数集上的函数 yM fD 记作 fDM xy 数集称为函数的定义域 所对应的 称为在点 的函Dfxyfx 数值 记为 全体函数值的集合称为函数的值域 记作 f xf f D 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 即 f Dy yf x xD 几点说明几点说明 1 函数定义的记号中 表示按法则建立到 fDM fD 的函数关系 表示这两个数集中元素之间的对应关系 也记M xy 作 习惯上称 自变量 为因变量 xf x xy 2 函数有三个要素 即定义域 对应法则和值域 当对应法 则和定义域确定后 值域便自然确定下来 因此 函数的基本要素为 两个 定义域和对应法则 所以函数也常表示为 yf x xD 由此 我们说两个函数相同 是指它们有相同的定义域和对应 法则 例如 1 不相同 对应法则相 1 f xxR 1 0 g xxR 同 定义域不同 2 相同 只是对应法则 xxxR 2 xxxR 的表达形式不同 3 函数用公式法 解析法 表示时 函数的定义域常取使该 运算式子有意义的自变量的全体 通常称为存在域 自然定义域 此时 函数的记号中的定义域可省略不写 而只用对应法则来表f 示一个函数 即 函数 或 函数 yf x f 4 映射 的观点来看 函数本质上是映射 对于 faD 称为映射下 的象 称为的原象 f afaa f a 5 函数定义中 只能有唯一的一个值与它对应 xD y 这样定义的函数称为 单值函数 若对同一个 值 可以对应多于x 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 一个值 则称这种函数为多值函数 本书中只讨论单值函数 简称y 函数 二二 函数的表示方法 函数的表示方法 1 主要方法 解析法 公式法 列表法 表格法 和图象法 图示法 2 可用 特殊方法 来表示的函数 1 1 分段函数 分段函数 在定义域的不同部分用不同的公式来表示 例如 符号函数 1 0 sgn0 0 1 0 x xx x 借助于 sgnx 可表示即 f xx sgnf xxxx 2 2 用语言叙述的函数 用语言叙述的函数 注意 以下函数不是分 段函数 例 取整函数 yx 比如 3 5 3 3 3 3 5 4 常有 即 1xxx 01xx 与此有关一个的函数 非负小数函 yxxx 数 图形是一条大锯 画出图看一看 狄利克雷 Dirichlet 函数 1 0 x D x x 当为有理数 当为无理数 这是一个病态函数 很有用处 却无法画出它的图形 它是周期 函数 但却没有最小周期 事实上任一有理数都是它的周期 黎曼 Riemman 函数 1 0 0 1 0 1 pp xp qN qqqR x x 当为既约分数 当和内的无理数 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 三三 函数的四则运算函数的四则运算 给定两个函数 记 并设 定义 12 f xD g xD 12 DDD D 与在上的和 差 积运算如下 fgD F xf xg x xD G xf xg x xD H xf x g x xD 若在中除去使的值 即令 D 0g x 2 0 DDx g xxD 可在上定义与的商运算如下 D fg f x L xxD g x 注 若 则与不能进行四则运算 12 DDD fg 为叙述方便 函数与的和 差 积 商常分别写为 fg f fgfgfg g 四 复合运算四 复合运算 引言 引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才 建立起它们之间的对应关系 例 质量为 m 的物体自由下落 速度为 v 则功率为E 2 2 2 1 1 2 2 Emv Emg t vgt 抽去该问题的实际意义 我们得到两个函数 2 1 2 f vmv vgt 把代入 即得 v tf 2 2 1 2 f v tmg t 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 这样得到函数的过程称为 函数复合 所得到的函数称为 复合函 数 问题问题 任给两个函数都可以复合吗 考虑下例 2 arcsin 1 1 2 yf uu uDug xxxER 就不能复合 结合上例可见 复合的前提条件是 内函数 的值域 与 外函数 的定义域的交集不空 从而引出下面定义 2 2 定义 复合函数 定义 复合函数 设有两个函数 若 则对每一 yf u uD ug x xE Ex f xDE E 个 通过对应内唯一一个值 而 又通过对应唯一一个xE gDuuf 值 这就确定了一个定义在上的函数 它以 为自变量 因变yE xy 量 记作或 简记为 称为函数 yf g xxE yfgx xE fg 和的复合函数 并称为外函数 为内函数 为中间变量 fgfgu 3 3 例子例子 例例 求 并求定 1 2 xxguuufy xgfxgf 义域 例例 1 1 2 xfxxxf 则 11 2 2 x x x xf xf A A B B C C D D 2 x 1 2 x 2 2 x 2 2 x 例 讨论函数与函数 0 yf uu u 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 能否进行复合 求复合函数 2 1 ug xxxR 4 4 说明说明 复合函数可由多个函数相继复合而成 每次复合 都要验证 能否进行 在哪个数集上进行 复合函数的最终定义域是什么 例如 复合成 2 sin 1yu uv vx 2 sin 1 1 1 yxx 不仅要会复合 更要会分解 把一个函数分解成若干个简单 函数 在分解时也要注意定义域的变化 22 log1 0 1 log 1 aa yxxyu uz zx 22 arcsin1arcsin 1 yxyu uv vx 2 sin2 22 sin xu yyuv vx 五 反函数五 反函数 引言引言 在函数中把 叫做自变量 叫做因变量 但需要指出的 yf x xy 是 自变量与因变量的地位并不是绝对的 而是相对的 例如 那么 对于来讲是自变量 但对 来讲 是因变 2 1 f uu ut uftu 量 习惯上说函数中 是自变量 是因变量 是基于随 yf x xyy 的变化现时变化 但有时我们不仅要研究随 的变化状况 也要研xyx 究 随的变化的状况 对此 我们引入反函数的概念 xy 反函数概念反函数概念 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 定义定义设 Xf R R 是一函数 如果 1 x Xx 2 由 2121 xfxfxx 或由2121 xxxfxf 则称 f 在X上是 1 1 的 若 YXf XfY 称 f 为满的 若 YXf 是满的 1 1 的 则称 f 为 1 1 对应 Xf R R 是 1 1 的意味着 xfy 对固定y至多有 一个解x YXf 是 1 1 的意味着对 Yy xfy 有且仅有一个解x 定义定义 设 YXf 是 1 1 对应 Yy 由 xfy 唯一确定一个Xx 由这种对应法则所确定的 函数称为 xfy 的反函数 记为 1 yfx 反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 YXf XYf 1 显然有 XXIff 1 恒等变换 YYIff 1 恒等变换 YXff 11 从方程角度看 函数和反函数没什么区别 作为函 数 习惯上我们还是把反函数记为 1 xfy 这样它 的图形与 xfy 的图形是关于对角线 xy 对称的 严格单调函数是 1 1 对应的 所以严格单调函数有反函数 但 1 1 对应的函数 有反函数 不一定是严格单调的 看下 面例子 21 3 10 xx xx xf 它的反函数即为它自己 实际求反函数问题可分为二步进行 实际求反函数问题可分为二步进行 1 1 确定 YXf 的定义域X和值域Y 考虑 1 1 对应条件 固 定 Yy 解方程 yxf 得出 1 yfx 2 2 按习惯 自变量x 因变量y互换 得 1 xfy 0 x y 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 例例 求 2 xx ee xshy R R R R 的反函数 解解 固定y 为解 2 xx ee y 令 zex 方程变为 12 2 zzy 012 2 zyz 1 2 yyz 舍去 1 2 yy 得 1ln 2 yyx 即 1ln 12 xshxxy 称为反双曲正弦反双曲正弦 定理定理 给定函数 xfy 其定义域和值域分别记为X和Y 若在Y上存在函数 yg 使得 xxfg 则有 1 yfyg 分析分析 要证两层结论 一是 xfy 的反函数存在 我们只要证 它是 1 1 对应就行了 二是要证 1 g yfy 证证 要证 xfy 的反函数存在 只要证 xf 是X到Y的 1 1 对应 1 x Xx 2 若 21 xfxf 则由定理条件 我们有 11 xxfg 22 xxfg 21 xx 即 YXf 是 1 1 对应 再证 Yy Xx 使得 xfy 1 g yfy 由反函数定义 1 yfx 再由定理条件 g yg f xx 1 g yfy 例例 若 xff 存在唯一 不动点 则 xf 也 不动 fRR 点 证证 存在性 设 xffx xfffxf 即 xf 是 ff 的不动点 由唯一性 xxf 即存在 xf 的不动点 x 唯一性 设 xfx xffxfx 说明 x是 ff 的不动点 由唯一性 x x 从映射的观点看函数 设函数 满足 对于值域中的每一个值 yf x xD f Dy 中有且只有一个值 使得 则按此对应法则得到一x f xy 个定 义在 f D 上的 0 y f x y f 1 x 0 y f x 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 函数 称这个函数为的反函数 记作f 或 1 ff DDyx 1 xfyyf D 注释 注释 a 并不是任何函数都有反函数 从映射的观点看 函数有f 反函数 意味着是 与之间的一个一一映射 称为映f f D 1 f 射的逆映射 它把 f f DD b 函数与互为反函数 并有 f 1 f 1 ff xx xD 1 f fxy yf D c 在反函数的表示中 是以为自变量 为 1 xfyyf D yx 因变量 若按习惯做法用 做为自变量的记号 作为因变量的xy 记号 则函数的反函数可以改写为f 1 f 1 yfx xf D 应该注意 尽管这样做了 但它们的表示同一个函数 因为其 定义域和对应法则相同 仅是所用变量的记号不同而已 但它们的图 形在同一坐标系中画出时有所差别 六六 初等函数 初等函数 1 基本初等函数 类 常量函数 为常数 yC 幂函数 yxR 指数函数 0 1 x yaaa 对数函数 log 0 1 a yx aa 三角函数 sin cos cyx yx ytgx ytgx 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 反三角函数 arcsin arccos yx yx yarctgx yarcctgx 注注 幂函数和指数函数都涉及乘幂 yxR 0 1 x yaaa 而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义 下面我们借助 于确界来定义无理指数幂 便它与有理指数幂一起构成实指数乘 幂 并保持有理批数幂的基本性质 定义 定义 给定实数 设 为无理数 我们规定 0 1aa x sup 1 01 r xr x r ara a ara r0 Xx 有 fXR f xM 即 取Mm MM 即可 Mf xM 反之如果 M m使得 令 xX mf xM 0 max1 MMm 则 即 使得对有 即 0 f xM 0 0M xX 0 f xM 有界 fXR 例例 2 2 证明 为上的无上界函数 1 f x x 0 1 例例 3 3 设为 D 上的有界函数 证明 1 f g inf inf inf x Dx Dx D f xg xf xg x 2 sup sup sup x Dx Dx D f xg xf xg x 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 例例 4 4 验证函数 在内有界 32 5 2 x x xfR 解法一解法一 由当时 有 62322 3 2 32 222 xxxx 0 x 3 62 5 62 5 32 5 32 5 22 x x x x x x xf 30 0 f 对 总有 即在内有界 R x 3 xf xfR 解法二解法二 令 关于 的二次方程 32 5 2 x x yx 有实数根 0352 2 yxyx 22 245 y 2 4 24 25 0 2 yy 解法三解法三 令 对应 于是 2 2 2 3 ttgtx x tt t ttg tgt tgt tgt x x xf 2222 sec 1 cos sin 6 5 12 3 3 5 3 2 3 2 2 3 5 32 5 62 5 2sin 62 5 2sin 62 5 txft 二 单调函数单调函数 定义定义 3 3 设为定义在 D 上的函数 1 若f 1212 x xD xx 则称为 D 上的增函数 若 则称为 D 上 12 f xf x f 12 f xf x f 的严格增函数 2 若 则称为 D 上的减函数 若 12 f xf x f 则称为 D 上的严格减函数 12 f xf x f 例例 5 5 证明 在上是严格增函数 3 yx 证明 证明 设 21 xx 2 221 2 121 3 2 3 1 xxxxxxxx 如 0 21 xx 则 3 2 3 112 0 xxxx 如 12 0 x x 则 2233 112212 0 xx xxxx 故 0 3 2 3 1 xx 即得证 例例 6 6 讨论函数在上的单调性 yx R 当时 有 但此函数在上的不是严 12 x xR 12 xx 12 xx R 格增函数 注注 1 单调性与所讨论的区间有关 在定义域的某些部分 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 可能单调 也可能不单调 所以要会求出给定函数的单调区间 f 2 严格单调函数的几何意义 其图象无自交点或无平行于 轴的部分 更准确地讲 严格单调函数的图象与任一平行于 轴的xx 直线至多有一个交点 这一特征保证了它必有反函数 总结得下面的结论 定理定理 1 1 设为严格增 减 函数 则必有反函数 yf x xD f 且在其定义域上也是严格增 减 函数 1 f 1 f f D 证明 设在上严格增函数 对 下fD yf DxDf xy 一一 面证明这样的 只有一个 事实上 对于内任一由于在上xD 1 xx fD 严格增函数 当时 当时 总之 1 xx 1 f xy 1 xx 1 f xy 1 f xy 即 从而 yf DxDf xy 一一一一一一一一一一 例例 7 7 讨论函数在上反函数的存在性 如果 2 yx 在上不存在反函数 在的子区间上存在反函数 2 yx 否 结论结论 函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关 例例 8 8 证明 当时在 上严格增 当时在上严 x ya 1a 01a R 格递减 三 奇函数和偶函数三 奇函数和偶函数 定义定义 4 4 设 D 为对称于原点的数集 为定义在 D 上的函数 若f 对每一个有 1 则称为 D 上的奇函数 2 xD fxf x f 则称为 D 上的偶函数 fxf x f 注注 1 从函数图形上看 奇函数的图象关于原点对称 中心 对称 偶函数的图象关于轴对称 y 2 奇偶性的前提是定义域对称 因此没有必 0 1 f xx x 要讨论奇偶性 3 从奇偶性角度对函数分类 奇函数 y si nx 偶函数 y sgnx 非奇非偶函数 y si nx cosx 既奇又偶函数 y0 4 由于奇偶函数对称性的特点 研究奇偶函数性质时 只须 讨论原点的左边或右边即可四 周期函数四 周期函数 1 定义 设为定义在数集 D 上的函数 若存在 使得对一切f0 有 则称为周期函数 称为的一个周期 xD f xf x f f 2 几点说明 1 若是的周期 则也是的周期 所以周期若 f nnN f 存在 则不唯一 如 因此有如下 基本周期 的sin 2 4 yx 说法 即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期 则称此f 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 最小周期为的 基本周期 简称 周期 如 周期为 fsinyx 2 2 任给一个函数不一定存在周期 既使存在周期也不一定有 基本周期 如 1 不是周期函数 2 为常数 1yx yC 任何正数都是它的周期 第二章数列极限第二章数列极限 引引 言言 为了掌握变量的变化规律 往往需要从它的变化过程来判断它 的变化趋势 例如有这么一个变量 它开始是 1 然后为 如此 一直无尽地变下去 虽然无尽止 但它的变化 1 1 11 2 3 4n 有一个趋势 这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零 我们 就说 这个变量的极限为 0 在高等数学中 有很多重要的概念和方法都和极限有关 如导数 微分 积分 级数等 并且在实际问题中极限也占有重要的地位 例如求圆的面积和圆周长 已知 但这两个公式从 2 2Srlr 何而来 要知道 获得这些结果并不容易 人们最初只知道求多边形的面 积和求直线段的长度 然而 要定义这种从多边形到圆的过渡就要求 人们在观念上 在思考方法上来一个突破 问题的困难何在 多边形的面积其所以为好求 是因为它的周界 是一些直线段 我们可以把它分解为许多三角形 而圆呢 周界处处 是弯曲的 困难就在这个 曲 字上面 在这里我们面临着 曲 与 直 这样一对矛盾 辩证唯物主义认为 在一定条件下 曲与直的矛盾可以相互转化 整 个圆周是曲的 每一小段圆弧却可以近似看成是直的 就是说 在 很小的一段上可以近似地 以直代曲 即以弦代替圆弧 按照这种辩证思想 我们把圆周分成许多的小段 比方说 分成 个等长的小段 代替圆而先考虑其内接正 边形 易知 正 边形周nnn 长为 2sin n lnR n 显然 这个不会等于 然而 从几何直观上可以看出 只要正 n ll 边形的边数不断增加 这些正多边形的周长将随着边数的增加而不n 断地接近于圆周长 越大 近似程度越高 n 但是 不论 多么大 这样算出来的总还只是多边形的周长 无n 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 论如何它只是周长的近似值 而不是精确值 问题并没有最后解决 为了从近似值过渡到精确值 我们自然让 无限地增大 记为n 直观上很明显 当时 记成 极限思n n n ll lim n n ll 想 即圆周长是其内接正多边形周长的极限 这种方法是我国刘微 张晋 早在第 3 世纪就提出来了 称为 割圆术 其方法就是 无限分割 以直代曲 其思想在于 极限 除之以外 象曲边梯形面积的计算均源于 极限 思想 所以 我们有必要对极限作深入研究 1 1 数列极限的概念数列极限的概念 教学目的教学目的 使学生建立起数列极限的准确概念 会用数列极限的定 义证明数列极限等有关命题 教学要求教学要求 使学生逐步建立起数列极限的定义的清晰概念 深N 刻理解数列发散 单调 有界和无穷小数列等有关概念 会应用数列极限的定义证明数列的有关命题 并能N 运用语言正确表述数列不以某实数为极限等相应陈N 述 教学重点教学重点 数列极限的概念 教学难点教学难点 数列极限的定义及其应用 N 教学方法教学方法 讲授为主 教学程序教学程序 一 什么是数列一 什么是数列 1 数列的定义数列的定义 数列就是 一列数 但这 一列数 并不是任意的一列数 而 是有一定的规律 有一定次序性 具体讲数列可定义如下 若函数的定义域为全体正整数集合 则称为数列 fN fNR 注 1 根据函数的记号 数列也可记为 f n nN 2 记 则数列就可写作为 简记 n f na f n 12 n a aa 为 即 n a n f nnNa 3 不严格的说法 说是一个数列 f n 2 数列的例子数列的例子 1 2 1 11 1 1 23 4 n n 1111 1 2 1 1 1 435n 3 4 2 1 4 9 16 25 n 1 1 1 2 0 2 0 2 n 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 二 什么是数列极限二 什么是数列极限 1 引言 对于这个问题 先看一个例子 古代哲学家庄周所著的 庄子 天下篇 引用过一句话 一尺之棰 日取其半 万世不竭 把每 天截下的部分的长度列出如下 单位为尺 第 1 天截下 1 2 第 2 天截下 2 1 11 2 22 第 3 天截下 23 111 2 22 第 天截下 n 1 111 2 22 nn 得到一个数列 23 1111 2 222n 不难看出 数列的通项随着 的无限增大而无限地接近 1 2n 1 2n n 于零 一般地说 对于数列 若当 无限增大时 能无限地接近 n an n a 某一个常数 则称此数列为收敛数列 常数 称为它的极限 不具aa 有这种特性的数列就不是收敛的数列 或称为发散数列 据此可以说 数列是收敛数列 0 是它的极限 1 2n 数列都是发散的数列 21 1 1 nn 需要提出的是 上面关于 收敛数列 的说法 并不是严格的定 义 而仅是一种 描述性 的说法 如何用数学语言把它精确地定 义下来 还有待进一步分析 以为例 可观察出该数列具以下特性 1 1 n 随着 的无限增大 无限地接近于 1随着 的无限增大 n 1 1 n a n n 与 1 的距离无限减少随着 的无限增大 无限减少 1 1 n n 1 11 n 会任意小 只要 充分大 1 11 n n 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 如 要使 只要即可 1 11 0 1 n 10n 要使 只要即可 1 11 0 01 n 100n 任给无论多么小的正数 都会存在数列的一项 从该项之 N a 后 即 当时 nN 1 11 n 0 N nN 1 11 n 如何找 如何找 或存在吗 解上面的数学式子即得 N 1 n 取即可 这样当时 1 1N 0 nN 111 11 nnN 综上所述 数列的通项随 的无限增大 无限接 1 1 n 1 1 n n 1 1 n 近于 1 即是对任意给定正数 总存在正整数 当时 有 NnN 此即以 1 为极限的精确定义 记作 1 11 n 1 1 n 或 1 lim 11 n n 1 11n n 2 数列极限的定义 定义定义 1 1 设为数列 为实数 若对任给的正数 总存在正整 n aa 数 使得当时有 则称数列收敛于 实数 称为NnN n aa n aaa 数列的极限 并记作或 n alim n n aa n aa n 读作 当 趋于无穷大时 的极限等于 或趋于 由于 限n n aa n aan 于取正整数 所以在数列极限的记号中把写成 即n n 或 lim n n aa n aa n 若数列没有极限 则称不收敛 或称为发散数列 n a n a n a 问题问题 如何表述没有极限 n a 3 举例说明如何用定义来验证数列极限N 例例 1 1 证明 1 lim0 0 p n p n 证明证明 不妨设 要使 0 N 时 有 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 0 1 p n 1 p n p P 1 2 1 1 1 例例 2 2 求证 10 0lim qq n n 证明证明 0 不妨设1 要使 nn qq0 只要 lglg qn 注意这里 0lg 0lg q 只要 q n lg lg 取 q N lg lg 则当 Nn 时 就有 0 n q 即 0lim n n q 例例 3 3 求证 0 1lim aa n n 证法证法 1 1 先设1 a 0 要使 11 nn aa 只要 1 n a 只要 1 lglg 1 a n 只要 1lg lg a n 取 1lg lg a N 当 Nn 时 就有 1 n a 即 1lim n n a 对10 a 令 a b 1 则 1 lim 1 lim n n n n b a 证法证法 2 2 令 n n ha 1 则 n n nn n n hnhhnha 1 1 n a hn 0 0 要使 n n ha1 只要 n a 取 a N 只要Nn 就有 1 n a 即 1lim n n a 例例 4 4 证 1 0 lim a n a n n 证明证明 因为 1 21 a a c n a c n a a a n a a a a aaa n a aan 0 要使 0 n a n a nn 只要 n ac 取 ac N 则只要 Nn 就有 0 n a n 即 0 lim n an n 例例 5 5 0 4 lim 2 n n n 证明证明 nnn nnnnn n33 3 2 1 3 2 1 31 31 4 32 此文档收集于网络 仅供学习与交流 如有侵权请联系网站删除 学习资料 3 3 3 2 1 3 n nnn 注意到对任何正整数时有 就有knk2 2 n kn 2 1 27 6 2 1 27 6 4 0 4 22 n n nn n nnn nn 11 27 24 27 46 2 nnn n 于是 对 取 0 1 4 max N 例例 6 6 1 1lim aa n n 证法一证法一 令 有 用 Bernoulli 不等式 有 1 n n a 0 n 或 1 11 1 1 n n n n anna 1 10 1 n a n a a n 证法二证法二 用均值不等式 n n n aa 个1 1110 1 1 1 1 n a n a n na 例例 7 7 1 lim n n n 证一 证一 时 2 n 222 1 2