函数列一致收敛性三

第十三章函数列与函数项级数 一 点态收敛的概念二 一致收敛性及其判别法三 一致收敛的函数列与函数项级数的性质 1一致收敛性 一 函数列与函数项级数二 函数列一致收敛性三 函数项级数一致收敛性 一 函数列与函数项级数的的概念 1 函数列的定义 收敛数列 数项级数 可表示 定义一个数 试用函数列 函数项级数来表示 定义一个函数 1 定义1 2 定义2 3 定义3 4 定义4 例1试求下列函数列的收敛域与极限函数 解 显然 解 显然 问题 是不是所有的连续函数列的极限函数在其收敛域上也连续 结论是 不一定 因此 保持连续性只有收敛的条件是不够的 1 定义5 称为E上的函数项无穷级数或简称为级数 部分和实际是一个函数列 同时称 2 函数项级数的概念 对其各项依次用 连接起来的表达式 记为 部分和 特别地 2 定义6 3 定义7 4 定义8 余项 可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数 例2试求下列级数的收敛域与和函数 解 解 收敛域 问题 1 函数项级数的收敛域与和函数 2 和函数的分析性质 对有限个连续 可积 可导函数的和仍相应是连续 可积 可导 有很好的运算法则 对无限个连续 可积 可导函数的和仍相应是连续 可积 可导 由上例 2 知 进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够 结论 即使和函数可积 求和函数的积分时也不能先对每个函数积分后 再和 为此引进一致收敛的概念 二 函数列的一致收敛 回顾 1定义9 命题 则 由定义显然可得 2 反之不真 例3判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性 解 解 2 几何意义 x o y x0 f x0 的几何意义呢 3 函数列一致收敛的判别法 1 Cauchy准则 定理1 证 3 函数列一致收敛的判别法 1 Cauchy准则 定理1 虽然Cauchy准则 较用定义判别改进一步 应用时往往也需要较复杂的技巧 操作上不理想的弱点 2 上确界判别法 定理2 证 2 上确界判别法 定理2 证 此判别法涉及上确界的求法 当然也可以适当放大 如下所述 例3求下列函数列的收敛域 并讨论一致收敛性 解 进一步考察一致收敛 也可以利用一致收敛的定义验证 解 进一步考察一致收敛 内闭一致收敛 完全与一致连续性质相似 例4证明 证 三 函数项级数的一致收敛 函数列一致收敛是函数在区间上的整体性质 收敛仅仅是局部性质 下面介绍函数项级数的一致收敛性 1定义10 函数项级数的一致收敛归结为部分和函数列的一致收敛 由前讨论可得 以上方法只有在级数的部分和函数列能求得时可用 然而有时求部分和函数列非常困难 2函数项级数一致收敛的判别方法 1 必要条件 定理3 事实上 2 优级数法 Weierstrass法 定理4 此法类似于正项级数的比较法 将一致收敛转化为寻找一个收敛的正项级数 称为M 审敛法 证 由柯西收敛准则即得 例5讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性 解 解 一致收敛 例5讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性 一致收敛 一致收敛 类似于数项级数 有方法可以判别形如 定理5 3 阿贝尔判别法 定理6 4 狄利克雷判别法