广西钦州市2015-2016学年高一下期末数学试卷(b)含答案解析

2015年广西钦州市高一（下）期末数学试卷（ 、选择题： 1下列四个结论： （ 1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； （ 2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行； （ 3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行； （ 4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 其中正确的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 2等腰三角形一腰上的高是 ，这条高与底边的夹角为 60，则底边长 =（ ） A 2 B C 3 D 3过点（ 1， 3）且垂直于直线 x 2y+3=0 的直线方程为（ ） A 2x+y 1=0 B 2x+y 5=0 C x+2y 5=0 D x 2y+7=0 4设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ，且 ，则 a， b 满足（ ） A a+b=1 B a b=1 C a+b=0 D a b=0 5设 a 1 b 1，则下列不等式中恒成立的是（ ） A B C a 2b 6圆 x2+x 6y 3=0 的圆心和半径分别为（ ） A， 16 C， 16 7已知点 A（ m， n）在直线 x+2y=1 上，其中 0，则 + 的最 小值为（ ） A B 8 C 9 D 12 8如图在直三棱柱 ， 0， ， C=1 则异面直线 C 所成角的余弦值是（ ） A B C D 9如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（ ） A 8+ B 8+4 C 16+ D 16+4 10设 等差数列 前 n 项和，若 ，则 =（ ） A B C D 11在长方体 ，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 截面距离是（ ） A B C D 12已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为 q，则 q 的取值范围是（ ） A B CD 二、填空题：本大题共 4小题；每小题 5分，共 20分请将答案填写在答题卷中的横线上13若直线 y+1=0 与 直线 x+y 2=0 互相平行，那么 a 的值等于 14设变量 x， y 满足约束条件 则 z=3x 2y 的最大值为 15不等式 0 的解集为（ ， ），则 a+b 等于 16在半径为 2 的球面上有不同的四点 A， B， C， D，若 C=，则平面 球所截得图形的面积为 三、解答题：本大题共 6 小题；共 70 分 （ 2014 开福区校级模拟）解关于 x 的不等式 a+1） x+1 0 18如图，在 ，已知 0， 4， B= ， D 是 上的一点， （ ）求 值； （ ）求 值 19已知 顶点 A（ 5， 1）， 上的中线 在直线方程为 2x y 5=0， H 所在直线方程为 x 2y 5=0求： （ 1）顶点 C 的坐标； （ 2）直线 方程 20已知数列 等差数列，且 等比数列，数列 an+前三项依次为 3，7， 13求 （ 1）数列 通项公式； （ 2）数列 an+前 n 项和 21如图，已知四棱锥 P 底面为菱形， 20， C=2， P= （ I）求证： （ ）求二面角 B 一 D 的余弦值 22为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位： 足关系： C（ x） = （ 0 x 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元设 f（ x）为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和 （ ）求 k 的值及 f（ x）的表达式 （ ）隔热层修建多厚时，总费用 f（ x）达到最小，并求最小值 2015年广西钦州市高一（下）期末数学试卷（ 参考答案与试题解析 一、选择题： 1下列四个结论： （ 1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行； （ 2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行； （ 3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行； （ 4）一条直线和一个平面内无 数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 其中正确的个数为（ ） A 0 B 1 C 2 D 3 【分析】 根据线线平行、线面平行的判定和性质即可得出正确结论 【解答】 解：（ 1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面故（ 1）不正确 （ 2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面故（ 2）不正确 （ 3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面故（ 3）不正确（ 4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点 ，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内 故选 A 【点评】 此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解考查学生的空间想象能力 2等腰三角形一腰上的高是 ，这条高与底边的夹角为 60，则底边长 =（ ） A 2 B C 3 D 【分析】 设底边长为 x，则由题意以及直角三角形中的边角 关系可得 ，由此解得x 的值 【解答】 解：若三角形为锐角三角形，如图所示：设底边长为 x， 上的高 ， 则由题意以及直角三角形中的边角关系可得 ， 解得 x=2 ，但此时， C=30， B C，不满足条件 显然，三角形不能为直角三角 形 若三角形为钝角三角形，如图所示， C 为钝角，如图（ 2）所示， 则 0， 20，此时，由 ， x=2 ， 故选： D 【点评】 本题主要考查直角三角形中的边角关系的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档 题 3过点（ 1， 3）且垂直于直线 x 2y+3=0 的直线方程为（ ） A 2x+y 1=0 B 2x+y 5=0 C x+2y 5=0 D x 2y+7=0 【分析】 根据题意，易得直线 x 2y+3=0 的斜率为 ，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为 2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程 【解答】 解：根据题意，易得直线 x 2y+3=0 的斜率为 ， 由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为 2， 又知其过点（ 1， 3）， 由点斜式得所求直线方程为 2x+y 1=0 【点评】 本题考查直线垂直与斜率的相互关系，注意斜率不存在的特殊情况 4设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 ，且 ，则 a， b 满足（ ） A a+b=1 B a b=1 C a+b=0 D a b=0 【分析】 由 ，我们易得 1，即函数的斜率为 1，进而可以得到 a， b 的关系 【解答】 解： 1， k= 1， = 1， a=b， a b=0 故选 D 【点评】 本题考查的知识点是同角三角函数关系及直线的倾斜角，根据已知求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键 5设 a 1 b 1，则下列不等式中恒成立的是（ ） A B C a 2b 【分析】 通过举反例说明选项 A， B， D 错误，通过不等式的性质判断出 C 正确 【解答】 解：对于 A，例如 a=2， b= 此时满足 a 1 b 1 但 故 A 错 对于 B，例如 a=2， b= 此时满足 a 1 b 1 但 故 B 错 对于 C， 1 b 1 0 1 a 1 a C 正确 对于 D，例如 a= 此时满足 a 1 b 1， 2b 故 D 错 故选 C 【点评】 想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证 6圆 x2+x 6y 3=0 的圆心和半径分别为（ ） A， 16 C， 16 【分析】 将圆的方程配方成标准形式，结合圆心和半径的公式，即可得到本题答案 【解答】 解：将圆 x2+x 6y 3=0 的方程化 成标准形式，得（ x+2） 2+（ y 3） 2=16， 圆 x2+x 6y 3=0 的圆心为 C（ 2， 3），半径 r=4， 故选： A 【点评】 本题给出圆的一般式方程，求圆的圆心和半径，着重考查了圆的一般方程、标准方程及其互化等知识，属于基础题 7已知点 A（ m， n）在直线 x+2y=1 上，其中 0，则 + 的最小值为（ ） A B 8 C 9 D 12 【分析】 点 A（ m， n）在直线 x+2y=1 上，其中 0，可得 m+2n=1， m， n 0再利用 “乘1 法 ”与基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： 点 A（ m， n）在直线 x+2y=1 上，其中 0， m+2n=1， m， n 0 则 + =（ m+2n） =4+ =8当且仅当 m=2n= 时取等号 + 的最小值为 8 故选： B 【点评】 本题考查了 “乘 1 法 ”与基本不等式的性质，属于基础题 8如图在直三棱柱 ， 0， ， C=1 则异面直线 C 所成角的余弦值是（ ） A B C D 【分析】 由 异面直线 成角，由此利用余弦定理能求出异面直线 成角的余弦值 【解答 】 解：在直三棱柱 ， 异面直线 成角， 0， ， C=1， ， ， ， 异面直线 成角的余弦值是 故选： D 【点评】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用 9如图，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）（ ） A 8+ B 8+4 C 16+ D 16+4 【分析】 根据几何体的三视图，得出该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体，结合图中数据求出它的体积即可 【解 答】 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是下部为长方体，上部为圆柱体的组合体， 且下部长方体的长、宽、高分别为 4、 2、 2， 上部圆柱体的底面圆半径为 1，高为 1； 该几何体的体积（容积）为 V=V 长方体 +V 圆柱体 =4 2 2+ 12 1 =16+ 故选： C 【点评】 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目 10设 等差数列 前 n 项和，若 ，则 =（ ） A B C D 【分析】 根据等差数列的前 n 项和公式，用 d 分别表示出 入 中，整理得 d，再代入 中化简求值即可 【解答】 解：设等差数列 首项为 差为 d， 由等差数列的求和公式可得 且 d 0， ， 故选 A 【点评】 本题主要考查等比数列的求和公式，难度一般 11在长方体 ，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 截面距离是（ ） A B C D 【分析】 设 11，根据线面垂直的判定定理可知 平面 根据面面垂直的判定定理可知故平面 面 线为 面 过 H，则 长即是点 截面 距离，在 ，利用等面积法求出 可 【解答】 解：如图，设 11， 平面 平面 面 线为 面 过 H， 则易知 长即是点 截面 距离，在 ， ， ，由 得 ， 故选： C 【点评】 本题主要考查了点到平面的距离，同时考查空间想象能力、推理与论证的能力，属于基础题 12已知三角形的三边构成等比数列，且它们的公比为 q，则 q 的取值范围是（ ） A B CD 【分析】 设三边： a、 q 0 则由三边关系：两短边和大于第三边 a+b c，把 a、 qa、入，分 q 1 和 q 1 两种情况分别求得 q 的范围，最后综合可得答案 【解答】 解：设三边： a、 q 0 则由三边关系：两短边和大于第三边 a+b c，即 （ 1）当 q 1 时 a+价于解二次不等式： q 1 0，由于方程 q 1=0 两根为： 和 ， 故得解： q 且 q 1， 即 1 q （ 2）当 q 1 时， a 为最大边， qa+a 即得 q2+q 1 0，解之得 q 或 q 且 q 0 即 q 1， 综合（ 1）（ 2），得： q （ ， ） 故选 D 【点评】 本题主要考查了等比数列的性质，要注意分类讨论，属中档题 二、填空题：本大题共 4小题；每小题 5分，共 20分请将答案填写在答题卷中的横线上13若直线 y+1=0 与直线 x+y 2=0 互相平行，那么 a 的值等于 2 【分析】 根据它们的斜率相等，可得 = 1，解方程求 a 的值 【解答】 解： 直线 y+1=0 与直线 x+y 2=0 互相平行， 它们的斜率相等， = 1 a=2 故答案为： 2 【点评】 本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等 14设变量 x， y 满足约束条件 则 z=3x 2y 的最大值为 4 【分析】 先根 据约束条件画出可行域，设 z=3x 2y，再利用 z 的几何意义求最值，只需求出直线 z=3x 2y 过可行域内的点 A 时，从而得到 z=3x 2y 的最大值即可 【解答】 解：依题意，画出可行域（如图示）， 则对于目标函数 z=3x 2y， 当直线经过 A（ 0， 2）时， z 取到最大值， 故答案为： 4 【点评】 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题目标函数有唯一 最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解 15不等式 0 的解集为（ ， ），则 a+b 等于 14 【分析】 通过不等式解集转化为对应方程的根，然后根据韦达定理求出方程中的参数 a， b，即可求出 a+b 【解答】 解： 不等式 0 的解集为（ ， ） ， 为方程 =0 的两个根 根据韦达定理： + = = 由 解得： a+b= 14 故答案为 14 【点评】 本题考查一元二次不等式解集的定义，实际上是考查一元二次不等式解集与所对应一元二次方程根的关系，属于中档题 16在半径为 2 的球面上有不同的四点 A， B， C， D，若 C=，则平面 球所截得图形的面积为 3 【分析】 先在球面选取 A 点，在球面上有 B， C， D 三点到 A 距离相等，可知 B， C， D 在同一截面上，且 直于平面 【解答】 解：先在球面选取 A 点，在球面上有 B， C， D 三点到 A 距离相等， 可知 B， C， D 在同一截面上，且 直于平面 如图： 有 C=， C=A=2，所以 为等边三角形所以截面 在圆的半径为 r= ； 所以截面面积为： 3 故答案为 3 【点评】 确定 A， B， C， D 在圆周上的位置是本题解答的关键 三、解答题：本大题共 6 小题；共 70 分 （ 2014 开福区校级模拟）解关于 x 的不等式 a+1） x+1 0 【分析】 当 a=0 时，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a 0 时，把原不等式的左边分解因式，然后分 4 种情况考虑： a 小于 0， a 大于 0 小于 1， 和 a 等于 1 时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可 【解答】 解：当 a=0 时，不等式的解为 x|x 1； 当 a 0 时，分解因式 a（ x ）（ x 1） 0 当 a 0 时，原不等式整理得： x+ 0，即（ x ）（ x 1） 0， 不等式的解为 x|x 1 或 x ； 当 0 a 1 时， 1 ，不等式的解为 x|1 x ； 当 a 1 时， 1，不等式的解为 x| x 1； 当 a=1 时，不等式的解为 【点评】 此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题18如图，在 ，已知 0， 4， B= ， D 是 上的一点， （ ）求 值； （ ）求 值 【分析】 （ ）利用余弦定理，即可得出结论； （ ）直接利用余弦定理求解即可 【解答】 解：（ ）在 ，由余弦定理可得 6， 0 0， = = ， （ 3 分） 180 = ， （ 5 分） 0 （ 6 分） （ ） = = ， （ 9 分） 可得 = （ 12 分） 【点评】 本题考查余弦定理的应用，基本知识的考查 19已知 顶点 A（ 5， 1）， 上的中线 在直线方程为 2x y 5=0， H 所在直线方程为 x 2y 5=0求： （ 1）顶点 C 的坐标； （ 2）直线 方程 【分析】 （ 1）设 C（ m， n） ，利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出； （ 2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出 【解答】 解：（ 1）设 C（ m， n）， 上的中线 在直线方程为 2x y 5=0， 上的高 在直线方程为 x2y 5=0 ，解得 C（ 4， 3） （ 2）设 B（ a， b），则 ，解得 B（ 1， 3） = 直线 方程为 y 3= （ x 4），化为 6x 5y 9=0 【点评】 本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题 20已知数列 等 差数列，且 等比数列，数列 an+前三项依次为 3，7， 13求 （ 1）数列 通项公式； （ 2）数列 an+前 n 项和 【分析】 （ 1） 已知数列 等差数列，且 等比数列，数列 an+前三项依次为 3， 7， 13，所以我们易得到三个关于 公差 d 及公比 q 的方程，解方程后，易得数列 通项公式； （ 2）由（ 1）易得数列 an+通项公式，利用裂项法易得数列 an+前 n 项和 【解答】 解： 设公差为 d，公比为 q 数列 an+前三项依次为 3， 7， 13 又 n 1， n n 1， n an+ 2n 1） +2n a1+（ b1+ = =n+1 2 【点评】 方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差（或公比）列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用若一个数列的通项可以分解为一个等差数列加上一个等比数列的形式，可用裂项法，将数列的和分为等差和等比两部分，分别代入对应的公式，进行求解（如第二步） 21如图，已知四棱锥 P 底面为菱形， 20， C=2， P= （ I）求证： （ ）求二面角 B 一 D 的余弦值 【分析】 （ ）取 中点 O，连接 已知条件推导出 B，从而 平面 此能证明 （ ）由已知得 O 为原点， x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 B 一 D 的余弦值 【解答】 （ ）证明：取 中点 O，连接 等腰三角形， 2 分） 又 四边形 菱形， 20， 等边三角形， 4 分） 又 O=O， 平面 又 面 （ 6 分） （ ）解： 菱形， 20， C=2， P= ， ， ， 以 O 为原点 ， x 轴， y 轴， z 轴， 建立空间直角坐标系， 则 A（ 0， 1， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（ ， 0， 0）， P（ 0， 0， 1）， D（ ， 2， 0）， =（ ， 1， 0）， =（ ）， =（ 0， 2， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，令 x=1，得 =（ 1， 0， ）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， ，令 a=1，得 =（ 1， ）， = = ， 二面角 B 一 D 为钝角， 二面角 B 一 D 的余弦值为 【点评】 本