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样本均值的抽样分布 2020 4 15 1 一 总体参数与样本统计量的对应关系 2 样本统计量的概念 设是从某总体X中抽取的容量为n的一个样本 如果由此样本构造一个函数 不依赖任何未知参数 则称函数是一个统计量如 3 6 1 2常用统计量 4 二 如何理解统计量的抽样分布 你认为会恰好等于总体均值吗 如果又抽取一个样本 它的均值会与第一个样本均值相等吗 它又会与总体均值相等吗 怎样才叫 接近 如何测量接近的程度 重复抽样得到的统计量是如何分布的 样本统计量的抽样分布是所有来自同一总体 容量完全相同的样本在某一个统计量上的取值的概率分布情况 5 样本均值的抽样分布 6 例 设一个总体 含有4个元素 个体 即总体单位数N 4 4个个体分别为X1 1 X2 2 X3 3 X4 4 总体的均值 方差及分布如下 三 构造均值的抽样分布 7 现从总体中抽取n 2的简单随机样本 在重复抽样条件下 共有42 16个样本 所有样本的结果如下表 8 计算出各样本的均值 如下表 并给出样本均值的抽样分布 9 抽样分布 2 5 2 1 25 总体分布 样本均值的分布与总体分布的比较 10 小结 计算总体的均值和标准差计算所有可能的样本均值构造样本均值的抽样分布计算抽样分布的均值 方差将样本和总体的均值 方差进行比较 发现了什么吗 11 四 样本均值的抽样分布 任意总体 对于任意分布总体 当总体期望值为 方差为 则样本均值的期望值为 方差为用公式表示为 12 样本均值的抽样分布 正态总体 当总体分布为正态分布时 可以得到下面的结果 的抽样分布仍为正态分布 数学期望为 方差为 则 从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从正态分布 那么从非正态总体中抽样得到的均值的分布呢 13 中心极限定理 设从均值为 方差为 有限 的任意一个总体中抽取样本量为n的样本 当n充分大时 样本均值的抽样分布近似服从均值为 方差为的正态分布 14 不同总体分布构造均值的抽样分布 15 思考 当样本量n逐渐增大时 样本均值的抽样分布到底发生了什么样的变化 当用样本均值估计总体均值时 平均来说没有偏差 无偏性 即n逐渐增大时 样本均值的期望值不发生变化 当n越来越大时 样本均值的标准差变小 即样本均值分布变窄 其分散程度越来越小 意味着样本均值对总体均值的估计越来越准确 16 五 样本均值抽样分布的应用与计算 计算样本均值的概率根据样本均值的概率计算其所在的区间 17 例1 设从一个均值为10 标准差为0 6的总体中随机选取容量为36的样本 假设该总体不是很偏 要求 1 计算样本均值小于9 9的近似概率 2 计算样本均值超过9 9的近似概率 3 计算样本均值在总体均值附近0 1范围内的近似概率 18 根据中心极限定理 不论总体分布是什么形状 当n充分大时 样本均值的分布近似服从正态分布 19 例2a 某国际幼儿园孩子身高近似服从正态分布 均值为39英寸 标准差为2英寸 抽取由25个孩子构成的随机样本 那么样本均值落在38 5到40 0之间的概率是多少 例2b