上海高中数学暑假补习班--数列前n项和求法.doc

东南数理化 高中数学教研组数列前n项和求法【知识精要】一、前n项和公式的定义：二、数列求和的常用方法（共7种）1、公式法：1）、等差数列求和公式；2）、等比数列求和公式；3）、可转化为等差、等比的数列；4）、常用公式：（1）；（2）；（3）；（4）2、分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。3、裂项相消法：把数列的每一项都拆成两项之差，使得相邻的项正负相抵消，剩下的项是易于求和的形式。常见的拆项公式有：（1）、若是公差为的等差数列，则；（2）、；（3）、；（4）、； （5）、；（5）、。4、倒序相加法：如果一个数列an，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n项和即是用此法推导的。5、错位相减法：适用于，其中、分别是等差、等比数列，即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。如：等比数列的前n项和就是用此法推导的。（亦称“”法）6、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求。7、其他方法：累加（乘）法及归纳、猜想、证明；周期数列的求和等 【热身练习】1、已知等差数列，（1）、求 的通项公式；（2）、令，求数列的前n项和。答案：（1）、； （2）、。2、已知递增的等比数列满足,且是的等差中项。(1)、求数列的通项公式；（2)、若,是数列的前项和,求使成立的的最小值。答案：（1）、。 （2）、的最小值为13。【精解名题】 题型1 公式法：例1、1、等比数列的前n项和，求的值。答案：。点拔：等比数列的性质：若为等比数列，则数列及也为等比数列，首项分别为，公比分别为。2、数列的通项公式为，则(1)、求数列的前n项和的公式； （2）、设，其中试比较的大小，并证明你的结论。答案：（1）、； （2）、当；当；当。 题型2 分组求和法：例2、求数列的前n项和:1、 2、 。3、答案： 当； 当点拔：关键是先求出数列的通项公式，再求和。变式训练：数列中，且点在函数上，(1)、求数列的通项公式；（2）、在数列中，依次抽取第3,4,6，项，组成新数列的通项及前n项和。答案：（1）、 （2）、； 。题型3 裂项相消法：例3、求下列各式：1、 2、 3、 变式训练： 1、已知数列的前n项和为，设。（1）、证明数列是等比数列； （2）、数列满足，求。答案：（2）、。2、已知数列的前n项和满足：，求数列的前n项和。答案：。点拔：裂项相消法适用于，其中是各项不为0的等差数列，为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。题型4 倒序相加法：例4、求的值。 。例5、已知函数满足，求（1）、及；（2）、数列满足，求，并判断该数列是否是等差数列。答案：（1）、；。 （2）、；是等差数列。变式训练：已知，其中，求S。答案：题型5 错位相减法：例6、求值：1、 2、 变式训练：设数列满足（1）、求数列的通项公式； （2）、设，求数列的前n项和。答案：（1）、 （2）、。题型6 并项求和法例7、求的和。 5050练习：在各项均为正数的等比数列中，若，求的值。 10题型7 其他方法：累加（乘）法及归纳、猜想、证明；周期数列的求和等例8、（1）、 答案：（2）、已知数列：，求的值。 （3）、已知数列：，求。 5 （4）、已知数列的通项，求其前n项和。当n为偶数时，；当n为奇数时，【备选例题】设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（1）、求的通项； （2）、求的前n项和。答案： ； 【巩固练习】一、填空题：1、等差数列的前n项和为，若,则= 24 。2、设，则= 。3、数列的前n项和= 。4、函数，若，则= ，又若，则= 5、已知数列的通项公式是，若，则n= 100 。6、数列中，设数列的前n项的和为，则= 67 。7、数列中，若其前n项的和，则n= 6 。8、数列中，则前n项和= 。9、数列中，若，则= -10 。二、选择题：10、设是等差数列的前n项和，若则n为（D）A、15 B、16 C、17 D、1811、已知数列的前n项和为，则等于（ A ）A、68 B、66 C、65 D、6112已知等差数列的公差为，且，则可化简为（B ）A、 B、C、 D、13、数列的前2008项的和为（ D ）A、-2008 B、-1004 C、2008 D、1004【自我测试】 1、在数列中，已知。（1）设，求数列的通项公式;（2）设数列的前n项和为，求。答案：（1）、 （2）、2、设数列的前n项和，为等比数列，且，（1）、求数列、的通项公式； （2）、设，求数列的前n项和。答案： ； 3