大学课程近世代数-阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构学习讲义

5 5阿贝尔群和循环群 一 阿贝尔群 定义如果群中的运算 是可交换的 则称该群为阿贝尔群 或称交换群 例设是有限的可交换独异点 且对任意的a b c S 等式a b a c蕴含着b c 证明是阿贝尔群 分析只要证明S中的每个元素都存在逆元 那么就是阿贝尔群 设任意的b S 存在正整数i j 使得bi bj i j 即 bi e bi bj i由题意知bj i就是幺元 则b的逆元为 定理1 设是一个群 是阿贝尔群的充要条件是对任意的a b G 有 a b a b a a b b 证明1 充分性设对任意的a b G 有 a b a b a a b b 因为a a b b a a b b a b a b a b a b所以a 1 a a b b b 1 a 1 a b a b b 1即 a 1 a a b b b 1 a 1 a b a b b 1 即得a b b a 因此是阿贝尔群 2 必要性 设是阿贝尔群 则对任意的a b G 有a b b a因此 a a b b a a b b a b a b a b a b 循环群 定义设是群 若在G中存在一个元素a 使得G中的任意元素都由a的幂组成 则称该群为循环群 元素a称为循环群的生成元 a a ba a a e b b ab b b e 定理2任何一个循环群必定是阿贝尔群 证明设是一个循环群 生成元为a 那么对于任意的x y G 必有r s I 使得x ar和y as且x y ar as ar s as r as ar y x因此是一个阿贝尔群 定理3 设是一个由元素a G生成的有限循环群 如果G的阶数是n 即 G n 则an e 且G a a2 a3 an 1 an e 其中e是中的幺元 n是使an e的最小正整数 证明假设对于某个正整数m m是一个循环群 所以G中的任何元素都能写为ak k I 设k mq r 其中 q是某个整数 0 r m 这就有ak amq r am q ar ar这就导致G中的每一个元素都可以表示成ar 0 r m 这样 G中最多有m个不同的元素 与 G n矛盾 所以am e m n 是不可能的 称 为元素 的阶 进一步证明a a2 a3 an 1 an都不相同 反证 假设ai aj 其中1 i j n 就有a a aj i a e 即aj i为幺元 而且1 j i n 这已经由上面证明是不可能的 所以 a a2 a3 an 1 an都不相同 因此G a a2 a3 an 1 an e 作业P200 1 5 5 7陪集与拉格朗日定理 一 A B的积 A的逆 定义设是一个群 A B P G 且A B 记AB a b a A b B 和A 1 a 1 a A 分别称为A B的积和A的逆 二 陪集 定义设是群的一个子群 a G 则集合 a H H a 称为由a所确定的H在G中的左陪集 右陪集 简称为H关于a的左陪集 右陪集 记为aH Ha 元素a称为陪集aH Ha 的代表元素 拉格朗日定理 设是群的一个子群 那么R a G b G且a 1 b H 是G中的一个等价关系 对于a G 若记 a R x x G且 R 则 a R aH2 如果G是有限集 G n H m 则m n 即 整除 证明1 对于任一a G 必有a 1 G 使a 1 a e H 所以 R 即 是自反的 II 对于任意a G 若 R 则a 1 b H 因为H是G的子群 故 a 1 b 1 b 1 a H 所以 R 即 是对称的 III 对于任意a c G 若 R R 则a 1 b H b 1 c H 所以a 1 b b 1 c a 1 c H 故 R 即 是传递的 对于a G 我们有 b a R R a 1 b H b aH 因此 a R aH 2 由于R是G中的一个等价关系 所以必定将G划分成不同的等价类 a1 R a2 R ak R 使得 又因为 H中任意两个不同的元素h1 h2 必有a h1 a h2 a G 所以 aiH H m i 1 2 k 因此n G mk 推论1 任何质数阶的群不可能有非平凡子群 推论2设是n阶有限群 那末对于任意的a G a的阶必是n的因子且必有an e 这里e是群中的幺元 如果n为质数 则必是循环群 证明见书 210 例 见书 210例题 作业P211 5 8同态与同构 1同态映射同态象定义设和是两个代数系统 和 分别是 和 上的二元 n元 运算 设 是从 到 的映射 使得对任意a a2 A 有 a a2 a a2 则称 为由到的一个同态映射 称同态于 记作 把称为的一个同态象 其中 A 例1 A I B 1 0 1 f是A到B的映射 f x sign x 则sign是从到的一个同态映射 例2 和 x y 则 是从到的一个同态映射 例3 到上定义则 是从到上的同态映射 上例1 例2都是满同态 例3是同构 例4 和两个代数系统 f x ax f 到的一个同态映射1 a I f I I 因此f是到的同态映射 自同态2 a 1 1 f I I 因此f是到的同构映射 自同构3 a I a 0 f是到单一同态 定理1 f是从代数系统到的同态映射 若是群 也是群 证明 1 f A B f是从到的同态映射 2 封闭 b1 b2 f A b1 b2 f A 3 可结合4 f e 是的幺元5 中每个元素有逆元 定理2 G是代数系统的集合 则G中代数系统中的同构关系是等价关系 证明见书 216 3同余关系同余类 定义是代数系统 R是A上的一个等价关系 1 如果当 R R 就有 R 则称R是A上关于 的同余关系 2 由这个同余关系R将A划分