九年级数学下册 第二章二次函数 7最大面积是多少习题课件 北师大版

7最大面积是多少 1 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系 并能够运用二次函数的知识解决实际问题 重点 2 从几何背景或实际情景中抽象出函数模型 难点 如图 用一条长为30m的绳子围成一个矩形abcd 思考 1 如果设边ab的长为xm 则ad的长是多少 提示 2 设矩形abcd的面积为s 则s与x的关系是什么 提示 s x 15 x x2 15x 3 求出s的最值 提示 当时 s的最大值为 4 综上所述 当ab的长为 m时 围成矩形的面积最大 最大面积为 m2 总结 利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法 1 引入自变量 2 用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量 3 根据几何图形的特征 列出其面积的计算公式 并且用函数表示这个面积 4 根据函数关系式 求出最大值及取得最大值时自变量的值 打 或 1 与最大面积有关的问题只能用二次函数解决 2 用二次函数只能解决最大面积问题 而不能解决最小面积问题 3 周长一定的矩形 当其为正方形时面积最大 知识点最大面积问题 例 小磊要制作一个三角形的钢架模型 在这个三角形中 长度为x 单位 cm 的边与这条边上的高之和为40cm 这个三角形的面积s 单位 cm2 随x的变化而变化 1 请直接写出s与x之间的函数关系式 不要求写出自变量x的取值范围 2 当x是多少时 这个三角形面积s最大 最大面积是多少 思路点拨 1 求出边上的高 代入面积公式即可确定s与x的关系 2 由 1 得到的关系式 求出函数的最值即可 自主解答 1 2 s有最大值 当时 s有最大值为 cm2 当x为20cm时 三角形最大面积是200cm2 总结提升 应用二次函数解决面积最大问题的步骤1 分析题中的变量与常量 几何图形的基本性质 2 找出等量关系 建立函数模型 3 结合函数图象及性质 考虑实际问题中自变量的取值范围 常采用配方法求出 或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值 题组 最大面积问题1 在矩形abcd的各边ab bc cd和da上分别选取点e f g h 使得ae ah cf cg 如果ab 60 bc 40 四边形efgh的最大面积是 a 1350b 1300c 1250d 1200 解析 选c 设ae ah cf cg x 四边形efgh的面积是s 由题意 be dg 60 x bf dh 40 x 则所以四边形efgh的面积为 s 60 40 x2 60 x 40 x 2x2 60 40 x 2 x 25 2 1250 0 x 40 当x 25时 s最大值 1250 2 如图 在正方形abcd中 ab 3cm 动点m自a点出发沿ab方向以每秒1cm的速度运动 同时动点n自a点出发沿折线ad dc cb以每秒3cm的速度运动 到达b点时运动同时停止 设 amn的面积为y cm2 运动时间为x 秒 则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是 解析 选b 分三种情况讨论 当0 x 1时 当1 x 2时 当2 x 3时 故选b 3 如图 在 abc中 b 90 ab 12cm bc 24cm 动点p从点a开始沿ab向b以2cm s的速度移动 不与点b重合 动点q从点b开始沿边bc向c以4cm s的速度移动 不与点c重合 如果p q分别从a b同时出发 那么经过s bpq的面积最大 解析 设运动的时间为xs bpq的面积为ycm2 根据题意得 4 x 3 2 36 当经过3s时 bpq的面积最大 答案 3 4 如图 在梯形abcd中 ad bc 对角线ac bd 若ad 3 bc 7 则梯形abcd面积的最大值为 解析 如图 过d作de ac交bc的延长线于点e 则 bde 90 de ac ce ad 3 在rt bde中 be 7 3 10 设bd x 则当x2 50时 s的最大值为答案 25 5 将一根长为16 厘米的细铁丝剪成两段 并把每段铁丝围成圆 设所得两圆半径分别为r1和r2 1 求r1与r2的关系式 并写出r1的取值范围 2 将两圆的面积和s表示成r1的函数关系式 求s的最小值 解析 1 依题意得2 r1 2 r2 16 化简得 r1 r2 8 0 r1 8 2 两圆面积和即s 2 r1 4 2 32 当r1 4时 s有最小值32 6 如图 矩形abcd的两边长ab 18cm ad 4cm 点p q分别从a b同时出发 p在边ab上沿ab方向以每秒2cm的速度匀速运动 q在边bc上沿bc方向以每秒1cm的速度匀速运动 设运动时间为x秒 pbq的面积为y cm2 1 求y关于x的函数关系式 并写出x的取值范围 2 求 pbq的面积的最大值 解析 1 pb ab ap 18 2x bq x 即y x2 9x 0 x 4 2 由 1 知 y x2 9x 当时 y随x的增大而增大 而0 x 4 当x 4时 y最大值 20 即 pbq的最大面积是20cm2 7 如图 抛物线y ax2 bx c a b c是常数 a 0 与x轴交于a b两点 与y轴交于点c 三个交点坐标分别为a 1 0 b 3 0 c 0 3 1 求抛物线的表达式及顶点d的坐标 2 若点p为线段bd上的一个动点 过点p作pm x轴于点m 求四边形pmac的面积的最大值和此时点p的坐标 解析 1 抛物线y ax2 bx c过点a 1 0 b 3 0 c 0 3 y x2 2x 3 又 y x2 2x 3 x 1 2 4 顶点d的坐标是 1 4 2 设直线bd的表达式为y kx n k 0 直线y kx n过点b 3 0 d 1 4 直线bd的表达式为 y 2x 6 p点在线段bd上 因此 设p点的坐标为 m 2m 6 又 pm x轴于点m pm 2m 6 om m 又 a 1 0 c 0 3 oa 1 oc 3 设四边形pmac的面积为s 则 当时 四边形pmac的最大面积为此时 p点的坐标是 想一想错在哪 正方形