《结构力学》第十四章 结构振动与稳定1

14 1概述 一 动荷载的定义 大小 方向和作用点随时间变化 在其作用下 结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载 自重 缓慢变化的荷载 其惯性力与外荷比很小 分析时仍视作静荷载 静荷只与作用位置有关 而动荷是坐标和时间的函数 二 动荷载的分类 一 自由度的定义 确定振动过程中结构中所有质点位置所需的独立参数的数目 称作结构的振动自由度 14 2结构振动的自由度 二 自由度的确定 W 2 W 2 弹性支座不减少振动自由度 为减少振动自由度 梁与刚架不计轴向变形 W 1 5 W 2 振动自由度与质点个数无关 但不大于质点个数的2倍 W 2 W 1 W 1 W 13 振动自由度为1的结构称作单自由度结构 振动自由度大于1的结构称作多自由度结构 振动自由度无限多的结构称为无限自由度结构 14 3单自由度结构的自由振动 一 不计阻尼的自由振动 自由振动 由初位移 初速度引起的 在振动中无动荷载作用的振动 分析自由振动的目的 确定体系的动力特性 频率 周期 1 振动微分方程及其解 阻尼 耗散能量的作用 令 二阶线性齐次常微分方程 2 振动分析 单自由度结构不计阻尼时的自由振动是简谐振动 自振周期 自振园频率 自振频率 3 自振频率和周期的计算 利用计算公式 算例 例一 求图示体系的自振频率和周期 解 例二 求图示体系的自振频率和周期 解 例三 质点重W 求体系的频率和周期 解 2 振动分析 周期延长 计算频率和周期可不计阻尼 例 对图示体系作自由振动试验 用钢丝绳将上端拉离平衡位置2cm 用力16 4kN 将绳突然切断 开始作自由振动 经4周期 用时2秒 振幅降为1cm 求 1 阻尼比2 刚度系数3 无阻尼周期4 重量5 阻尼系数 振动是衰减的 对数递减量 利用此式 通过实验可确定体系的阻尼比 上式也可写成 6 若质量增加800kg体系的周期和阻尼比为多少 解 1 阻尼比 2 刚度系数 3 无阻尼周期 4 重量 5 阻尼系数 6 若质量增加800kg 体系的周期和阻尼比为多少 1 振动微分方程及其解 二阶线性非齐次常微分方程 一 不考虑阻尼 F 荷载幅值 干扰力频率 振动微分方程 或 通解 其中 设 代入方程 可得 通解为 14 4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 1 1 单自由度结构的位移动力系数与内力动力系数相同 统称为动力系数 2 纯强迫振动分析 荷载幅值作为静荷载所引起的静力位移 位移动力系数 最大动力位移 振幅 频比 若要使振幅降低 应采取何种措施 通过改变频比可增加或减小振幅 应使频比减小 增加结构自频 增加刚度 减小质量 应使频比增大 减小结构自频 减小刚度 增大质量 例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图 已知 3 动位移 动内力幅值计算 计算步骤 1 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移 内力 2 计算动力系数 3 将得到的位移 内力乘以动力系数即得动位移幅值 动内力幅值 解 例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知 解 重力引起的弯矩 重力引起的位移 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 跨中最大位移 动荷载不作用于质点时的计算 m 令 仍是位移动力系数 是内力动力系数吗 振动微分方程 稳态解 振幅 列幅值方程求内力幅值 解 例 求图示体系振幅 动弯矩幅值图 已知 解 例 求图示体系右端的质点振幅 o 二 考虑阻尼 1 振动微分方程及其解 设 或 通解 初位移 初速度引起的自由振动分量 动荷载激起的按结构自振频率振动的分量 称为伴生自由振动 纯强迫振动 2 阻尼对振幅的影响 在平稳阶段 随增大而减小 阻尼在共振区内影响显著 在共振区外可不计阻尼 的最大值并不发生在 位移滞后于荷载 3 动内力 动位移计算 除动力系数计算式不同外 其它过程与无阻尼类似 例 图示为块式基础 机器与基础的质量为 地基竖向刚度为 竖向振动时的阻尼比为机器转速为N 800r min 其偏心质量引起的离心力为P 30kN 求竖向振动时的振幅 解 将荷载看成是连续作用的一系列瞬时冲量 求出每个瞬时冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移 一 瞬时冲量的反应 1 t 0时作用瞬时冲量 m 2 时刻作用瞬时冲量 14 5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 二 动荷载的位移反应 杜哈美积分 不计阻尼时 若t 0时结构有初位移 初速度 不计阻尼时 例 求突加荷载作用下的位移 开始时静止 不计阻尼 解 动力系数为2 14 6多自由度结构的自由振动 自由振动分析的目的是确定体系的动力特性 可不计阻尼 一 振动微分方程及其解 或 振动方程 设方程的特解为 代入方程 得 频率方程 解频率方程得的两个根 值小者记作 称作第一频率 也称作基本频率 值大者记作 称为第二频率或高阶频率 将频率代入振型方程 特解1 特解2 通解 二 频率与振型 结构按特解振动时有如下特点 1 各质点同频同步 2 任意时刻 各质点位移的比值保持不变 定义 结构上所有质量按相同频率作自由振动时的振动形状称作结构的主振型 几点说明 1 按振型作自由振动时 各质点的速度的比值也为常数 且与位移比值相同 2 发生按振型的自由振动是有条件的 3 振型与频率是结构本身固有的属性 与外界因素无关 5 若已知柔度矩阵时 6 求振型 频率可列幅值方程 振型方程 频率方程 按振型振动时 振