充分条件与必要条件4

充分条件与必要条件 条件p与结论q的四种关系 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 归纳 充分条件与必要条件 从命题角度看 引申 若把命题中的条件与结论分别记作p与q 则原命题与逆命题同p与q之间有如下关系 若原命题是真命题 逆命题是假命题 若原命题是假命题 逆命题是真命题 若原命题和逆命题都是真命题 若原命题和逆命题是假命题 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 即 即 即 即 那么p是q的充分不必要条件 那么p是q的必要不充分条件 那么p和q互为充要条件 那么p是q的既不充分也不必要条件 1 已知p是q的必要而不充分条件 那么 p是 q的 2 若A是B的必要而不充分条件 C是B的充要条件 D是C的充分而不必要条件 那么D是A的 充分不必要条件 充分不必要条件 基础练习 3 p a2 b2q a b则p是q的 既不充分也不必要条件 5 已知P 2x 3 1 q 1 x2 x 6 0 则 p是 q的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 A 4 p a与b都是奇数 q a b是偶数则p是q的 充分不必要条件 6 关于x的不等式 x x 1 m的解集为R的充要条件是 A m 0 B m 0 C m 1 D m 1 C 例题分析 1 已知关于x的方程 1 a x2 a 2 x 4 0 a R 求 1 方程有两个正根的充要条件 设此时方程两正根为x1 x2 方程有两个正实根的充要条件是 解 方程有两个正根的充要条件是 110 拓展题 求关于x的方程ax2 2x 1 0至少有一个负的实根的充要条件 解题回顾 本题解答时 一是容易漏掉讨论方程二次项系数是否为零 二是只求必要条件忽略验证充分条件 即以所求的必要条件代替充要条件 解题回顾 充要条件的证明一般分两步 证充分性即证A B 证必要性即证B A一定要使题目与证明中的叙述一致 2 求证 关于x的方程ax2 bx c 0有一个根为 1的充要条件是a b c 0 证明 必要性 若方程ax2 bx c 0有一个根 1 则a b c 0 充分性 若a b c 0 则方程ax2 bx c 0有一个根 1 例3 在下列电路图中 闭合开关A是灯泡B亮的什么条件 如图 1 所示 开关A闭合是灯泡B亮的条件 如图 2 所示 开关A闭合是灯泡B亮的条件 如图 3 所示 开关A闭合是灯泡B亮的条件 如图 4 所示 开关A闭合是灯泡B亮的条件 充分不必要 必要不充分 充分必要 既不充分也不必要 练习2 1 设集合M x x 2 N x x 3 那么 x M或x N 是 x M N 的 A 充要条件B必要不充分条件C充分不必要D不充分不必要 B 注 集合法 2 a R a 3成立的一个必要不充分条件是 A a 3B a 2C a2 9D 0 a 2 A 充分不必要条件 注 等价法 转化为逆否命题 2 若 A是 B的充要条件 C是 B的充要条件 则A为C的 条件A 充要B必要不充分C充分不必要D不充分不必要 集合法与转化法 1 已知P 2x 3 1 q 1 x2 x 6 0 则 p是 q的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 已知p x 1 2 q x2 5x 6 则非p是非q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 练习4 A A 例 用集合的方法来判断下列各题中的p是q的什么条件 p 菱形q 正方形2 p x 4q x 1解 由图 可知p是q的 由图 可知p是q的 必要不充分条件 充分不必要条件 练习 设甲 乙 丙是三个命题 如果甲是乙的必要条件 丙是乙的充分不必要条件 那么 A 丙是甲的充分条件 但不是甲的必要条件B 丙是甲的必要条件 但不是甲的充分条件C 丙是甲的充要条件D 丙不