高斯积分法讲义PPT课件.ppt

1 4 5高斯求积公式 2 4 5 1一般理论 求积公式 含有个待定参数 当为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为次 如果适当选取有可能使求积公式具有次代数精度 这类求积公式称为高斯 Gauss 求积公式 3 为具有一般性 研究带权积分 这里为权函数 类似 1 3 求积公式为 5 1 为不依赖于的求积系数 使 5 1 具有次代数精度 为求积节点 可适当选取 定义4 如果求积公式 5 1 具有次代数精度 则称其节点为高斯点 相应公式 5 1 称为高斯求积公式 4 根据定义要使 5 1 具有次代数精度 只要对 5 2 当给定权函数 求出右端积分 则可由 5 2 解得 令 5 1 精确成立 即 5 例5 5 3 解 令公式 5 3 对于准确成立 试构造下列积分的高斯求积公式 得 5 4 6 由于 利用 5 4 的第1式 可将第2式化为 同样地 利用第2式化第3式 利用第3式化第4式 分别得 从上面三个式子消去有 7 进一步整理得 由此解出 从而 8 这样 形如 5 3 的高斯公式是 由于非线性方程组 5 2 较复杂 通常就很难求解 故一般不通过解方程 5 2 求 而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式 9 定理5 是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式 与任何次数不超过的多项式带权正交 5 5 证明 即 插值型求积公式 5 1 的节点 必要性 设 则 10 精确成立 因 即有 故 5 5 成立 则求积公式 5 1 对于 充分性 用除 记商为 余式为 即 其中 对于 由 5 5 可得 5 6 11 由于求积公式 5 1 是插值型的 它对于是精确的 即 再注意到 知 从而由 5 6 有 12 可见求积公式 5 1 对一切次数不超过的多项式均精确成立 因此 为高斯点 定理表明在上带权的次正交多项式的零点就是求积公式 5 1 的高斯点 有了求积节点 再利用 对成立 的线性方程 解此方程则得 则得到一组关于求积系数 13 下面讨论高斯求积公式 5 1 的余项 利用在节点的埃尔米特插值 于是 也可直接由的插值多项式求出求积系数 即 14 两端乘 并由到积分 则得 5 7 其中右端第一项积分对次多项式精确成立 故 由于 5 8 由积分中值定理得 5 1 的余项为 关于高斯求积公式的稳定性与收敛性 有 15 定理6 证明 它是次多项式 因而是次多项式 注意到 高斯求积公式 5 1 的求积系数 全是正的 考察 故高斯求积 公式 5 1 对于它能准确成立 即有 上式右端实际上即等于 从而有 16 由本定理及定理2 则得 推论 定理7 定理得证 高斯求积公式 5 1 是稳定的 设 即 则高斯求积公式 5 1 收敛 17 4 5 2高斯 勒让德求积公式 在高斯求积公式 5 1 中 由于勒让德多项式是区间上的正交多项式 因此 勒让德多项式的零点就是求积公式 5 9 的高斯点 形如 5 9 的高斯公式称为高斯 勒让德求积公式 区间为 则得公式 若取权函数 5 9 18 令它对准确成立 即可定出 这样构造出的一点高斯 勒让德求积公式为 是中矩形公式 若取的零点做节点构造求积公式 再取的两个零点构造求积公式 19 令它对都准确成立 有 由此解出 三点高斯 勒让德公式的形式是 表4 7列出高斯 勒让德求积公式 5 9 的节点和系数 从而得到两点高斯 勒让德求积公式 20 21 由 5 8 式 这里是最高项系数为1的勒让德多项式 由第3章 2 6 及 2 7 公式 5 9 的余项 22 得 5 10 当时 有 它比区间上辛普森公式的余项 还小 且比辛普森公式少算一个函数值 当积分区间不是 而是一般的区间时 只要做变换 23 可将化为 5 10 对等式右端的积分即可使用高斯 勒让德求积公式 这时 24 例6 用4点 的高斯 勒让德求积公式计算 解 先将区间化为 根据表4 7中的节点及系数值可求得 由 5 11 有 25 4 5 3高斯 切比雪夫求积公式 若且取权函数 则所建立的高斯公式为 5 12 称为高斯 切比雪夫求积公式 26 由于区间上关于权函数的正交多项式是 切比雪夫多项式 因此求积公式 5 12 的高斯点是次 切比雪夫多项式的零点 即为 5 12 的系数使用时将个节点公式改为 个节点 5 13 于是高斯 切比雪夫求积公式写成 27 由 5 9 余项 带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分 5 14 28 例7 用5点 的高斯 切比雪夫求积公式计算积分 解 当时由公式 5 13 由 5 14 式 误差 这里 可得 29 4 6数值微分 数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值 30 4 6 1中点方法与误差分析 按导数定义可以简单地用差商近似导数 这样立即得到几种数值微分公式 其中为一增量 称为步长 6 1 31 后一种数值微分方法称为中点方法 它其实是前两种方法的算术平均 但它的误差阶却由提高到 较为常用的是中点公式 为利用中点公式 计算导数的近似值 首先必须选取合适的步长 为此需要进行误差分析 分别将在处做泰勒展开有 32 代入中点公式得 从截断误差的角度看 步长越小 计算结果越准确 其中 且 6 2 33 再考察舍入误差 按中点公式 当很小时 因与很接近 直接相减会造成有效数字的严重损失 因此 从舍入误差的角度来看 步长是不宜太小的 例如 用中点公式求在处的一阶导数 取4位数字计算 结果见表4 8 导数的准确值 34 从表4 8中看到的逼近效果最好 如果进一步缩小步长 则逼近效果反而越差 则计算的舍入误差上界为 这是因为当及分别有差入误差及 若令 35 它表明越小 舍入误差越大 故它是病态的 用中点公式 6 1 计算的误差上界为 要使误差最小 步长不宜太大 也不宜太小 其最优步长应为 36 4 6 2插值型的求导公式 对于列表函数 运用插值原理 可以建立插值多项式作为它的近似 由于多项式的求导比较容易 我们取的值作为的近似值 这样建立的数值公式 6 3 统称插值型的求导公式 37 即使与的值相差不多 与导数的真值仍然可能差别很大 导数的近似值 因而在使用求导公式 6 3 时应特别注意误差的分析 依据插值余项定理 求导公式 6 3 的余项为 式中 38 但如果限定求某个节点上的导数值 那么第二项中 由于是的未知函数 所以对随意给出的点 误差是无法预估的 因式变为零 这时余项公式为 6 4 下面仅考察节点处的导数值并假定所给节点是等距的 39 1 两点公式 设已给出两个节点上的函数值 对上式两端求导 记 有 做线性插值 于是有下列求导公式 40 利用余项公式 6 4 知 带余项的两点公式是 41 2 三点公式 设已给出三个节点上的函数值 做二次插值 令上式可表示为 42 两端对求导 有 6 5 式中撇号 表示对变量求导数 43 分别取得到三种三点公式 带余项的三点求导公式为 6 6 44 其中的公式 6 6 是中点公式 它比其余两个三点公式少用了一个函数值 用插值多项式作为的近似函数 还可以建立高阶数值微分公式 例如 将式 6 5 再对求导一次 有 45 于是有 而带余项的二阶三点公式如下 6 7 46 4 6 3利用数值积分求导 微分是积分的逆运算 因此可利用数值积分的方法来计算数值微分 设是一个充分光滑的函数 6 8 对上式右边积分采用不同的求积公式就可得到不同的数值微分公式 则有 47 例如 用中矩形公式 1 2 则得 从而得到中点微分公式 若对 6 8 右端积分用辛普森求积公式 则有 48 略去上式余项 并记的近似值为则得到辛普森数值微分公式 这是关于的个方程组 已知 6 9 若 则可得 49 这是关于的三对角方程组 且系数矩阵为严格对角占优的 可用追赶法求解 见第5章5 4节 如果端点导数值不知道 那么对 6 9 中第1个和第个方程可分别用及的中点微分公式近似 然后求 即为的近似值 即取 50 例8 给定的一张数据表 表4 9左部 并给定及的值 见表4 9 解 解之得 结果见表4 9 根据 6 9 有 51 52 4 6 4三次样条求导 三次样条函数与 不但函数值很接近 而且导数值也很接近 并有 6 10 因此利用三次样条函数接得到 根据第2章 7 8 7 9 可求得 53 这里为一阶均差 其误差由 6 10 可得 54 4 6 5数值微分的外推算法 利用中点公式计算导数值时 对在点做泰勒级数展开有 其中与无关 利用理查森外推对逐次分半 则有 若记