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1 第五节 线性方程组解的结构 2 在有解的情况下 回顾 当线性方程组有无穷多解的情况下 希望用有限个解表示出来 3 一 齐次线性方程组解的结构 由解的判别定理知 只有零解当且仅当 有零解 即无穷多解 当且仅当 4 齐次线性方程组解的性质 证明 证明 5 定义 如果满足 1 线性无关 若只有零解 则基础解系不存在 基础解系即为全体解向量组的极大无关组 定理 证略 下面举例说明基础解系的求法 6 求下面齐次线性方程组的一个基础解系 并用基础解系表示出全部解 例1 解 7 自由未知量取为 8 基础解系 9 例2 解 求下面齐次线性方程组的一个基础解系 10 自由未知量取为 11 自由未知量取为 基础解系 12 二 非齐次线性方程组解的结构 13 非齐次线性方程组解的性质 证明 证明 则是的解 14 定理 可表为 其中是导出组的解 因此 当取遍导出组的全部解时 就给出 的全部解 证明 则 15 设非齐次线性方程组 全部解的求法 导出组 1 求出导出组的基础解系 2 求出原方程组的一个特解 16 例3 解 所以有无穷多解 17 导出组的基础解系 特解 所以全部解为 任意 18 例4 方程组的增广矩阵为 导出组的基础解系 19 特解 所以全部解为 任意 20 例5 解 方程组 1 为何值时 无解 有唯一解 有无穷多解 2 无穷多解时 求出全部解 用向量表示 无解 21 有无穷多解 全部解为 k为任意
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