初中数学辅助线秘籍.doc

第一章 中点模型的构造当已知条件中出现一个中点时，你首先想到的辅助线的解题方法是什么？如果已知两个中点呢？介绍以下方法：1) 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形；2) 三角形中位线定理；3) 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线；4) 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。例1 在ABC中，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，求BC的长.例2 已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF，求证：AC=BE.变式：如图，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF/AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若AD为ABC的角平分线，求证：BG=CF.例3 在RtABC中，BAC=90，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD. 以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三角形？例4 已知在ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DMEF于点M.求证：FM=EM.例5 已知：ABD和ACE都是直角三角形，且ABD=ACE=90. 如图，连接DE，设M为DE的中点，连接MB、MC.求证：MB=MC.例6 问题一：如图（1），在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：BME=CNE.问题二：如图（2），在四边形ABCD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断OMN的形状，请直接写出结论.问题三：如图（3），在ABC中，ACAB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若EFC=60，连接GD，判断AGD的形状并证明. （1） （2） （3）例7 问题一：如图（1），ABC中，点D是AB的中点，AEBC，BFAC，垂足分别为点E、F，AE、BF交于点M，连接DE、DF. 若DE=kDF，则k的值为_. 问题二：如图（2），ABC中，CB=CA，点D是AB的中点，点M在ABC的内部，且MAC=MBC. 过点M分别作MEBC，MFAC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF. 求证：DE=DF. 问题三：如图（3），若将上面的问题（二）中的条件“CB=CA”变为“CBCA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论. （1） （2） （3）36例8 （2012广州）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由第2章 角平分线模型的构造已知，P是MON平分线上一点，角平分线的四大基本模型：（1） 若PAOM于点A，可过点P作PBON于B，则PB=PA;（2） 若点A是射线OM上任意一点，可在ON上截取OB=OA，连接PB，则构造了OPBOPA；（3） 若APOP于点P，可延长AP交ON于点B，则构造了AOB是等腰三角形,且P是AB中点；（4） 若过点P作PQ/ON交OM于点Q，则构造了POQ是等腰三角形。 （1） （2） （3） （4）例1 （1）如图，在ABC中，C=90，CAB的平分线AD交BC于点D，BC=8，BD=5，那么点D到AB的距离是（） A3 B4 C5 D6 （2） 已知1=2，3=4，求证：AP平分BAC例2 (1)在ABC中，AD是A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，请比较PB+PC与AB+AC的大小并说明理由 (2)如图，AD是ABC中BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且ABAC，请比较PB-PC与 AB-AC的大小并说明理由 例3 已知BAD=CAD，ABAC，CDAD于点D，H是BC的中点. 求证：.例4 如图1，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC相交于M、N（1）试说明：（2）如图2，若BD、CE分别是ABC的内角平分线，则线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况说明理由；（3）如图3，若BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线，则线段FG与ABC三边的数量关系是_ 例5 如图，在ABC中，AB=3AC，BAC的平分线交BC于点D，过点B作BEAD，垂足为E，求证：AD=DE.例6 在ABCD中，BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F（1）在图1中证明CE=CF；（2）若ABC=90，G是EF的中点（如图2），直接写出BDG的度数；（3）若ABC=120，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求BDG的度数 例7 （1）如图1，在ABC中，ABC与ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE/BC，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为_;（2） 如图2，在ABC中，BD、CD分别平分ABC和ACB，DE/AB，FD/AC，如果BC=6，求DEF的周长. 图1 图2例8 如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，连接AP、CP，若BPC=40，求CAP的度数.第3章 弦图的构造及应用如以下图是弦图及其衍生图： 例1 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股弦方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为_.例2 如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为_例3 如图，四边形ABCD是正方形，直线l1，l2，l3分别通过A，B，C三点，且l1l2l3，若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则正方形ABCD的面积为_.例4 如图1，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论（2）若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？（3）图2中的ABC与AEF的面积相等吗？（不用证明）例5 已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，-4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由例6 已知：在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=3，设BCD=a，以D为旋转中心，将腰DC逆时针旋转90至DE，连接AE、CE（1）当a=45时，求EAD的面积；（2）当a=30时，求EAD的面积；（3）当0a90时，猜想EAD的面积与大小有何关系？若有关，写出EAD的面积S与a的关系式；若无关，请证明结论 例7 如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD1AB、EE1AB，垂足分别为D1、E1当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，（1）如图（1），当ACB=90，AC=4，BC=3时，求DD1+EE1的值；（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点例8 如图，已知直线与轴交于点A，与轴交于点D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。 求该抛物线的解析式； 动点P在x轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。第4章 三角形的中位线三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边中线中位线相关问题(涉及中点的问题)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见例1 如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E，F分别是AD，BC的中点求证：.例2 如图所示在四边形ABCD中，CDAB，AB与CD不平行，E，F分别是AC，BD的中点求证：.例3 已知：如图，E为ABCD中DC边的延长线上的一点，且CEDC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF求证：AB2OF例4 如图，已知ABC中，E是AB的中点，CD平分ACB，ADCD与点D，求证：（1）DE/BC； （2）.例5 是的中线，是的中点，的延长线交于求证：例6 如图所示，在中，延长到，使，为的中点，连接、，求证：例7 已知：ABCD是凸四边形，且ACGNM 例8 在中，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且例9 如图，在五边形中，为的中点求证： 例10 已知，如图四边形中，、分别是和的中点，、的延长线分别交于、两点 求证： 例11 如右下图，在中，若，为边的中点求证： 例12 (2009年大兴安岭地区初中毕业学业考试)已知：在中，动点绕 的顶点逆时针旋转，且，连结过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、 如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明) 当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明第5章 图形变换之轴对称最短路径问题，需考虑轴对称。几何最值问题的几种中考题型及解题作图方法如下图所示：问题作图方法备注（1）在直线l上求点P，使|PA-PB|最大.（2）在直线l上求点P，使|PA-PB|最大.（3）在直线l上求点P，使PA+PB最小.（4）在直线l上求点P，使PA+PB最小.（5）在直线l上求两点M、N（M在左），使得MN=a,并使AM+MN+NB最小.（6）在射线l1、l2上分别求点M、N，使PMN周长最小.（7）在射线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PMNQ周长最小.（8）在射线l2上求作一点D，在射线l1上求作一点C，使得PD+CD最小.（9） 在直线l上求点P，使PA=PB.例1 （1） 如图(a)，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处，则AE、AB、BF之间的关系是 _ (a) (b) （2）如图(b)，在矩形ABCD中，将矩形ABCD折叠使点D和点B重合，折痕为EF，如果AB=4，AD=8，则EF=_ （3）如图(c)，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，则CF=_cm，EC=_cm. (c) (d)（4）如图(d)，在矩形ABCD中，将BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C. 如果AB=6cm，AD=8cm，则AE=_cm.例2 如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB=（）A40 B30 C20 D10 例3 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则AN=_；若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n2，且n为整数），则AN=_（用含有n的式子表示）例4 在四边形ABCD中，AB=30，AD=48，BC=14，CD=40,ABD+BDC=90，求四边形ABCD的面积.例5 （1）如图(a)，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，P是对角线BD上一个动点，则PE+PC的最小值是_.（2） 如图(b)，若将（1）中的正方形改成菱形且ABC=60，其他条件均不变，则PE+PC的最小值是_. (a) (b)例6 （2012广东）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8把BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于点G；E、F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H，把FDE沿EF折叠，使点D落在D处，点D恰好与点A重合 （1）求证：ABGCDG； （2）求tanABG的值； （3）求EF的长例7 （2012德州）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由第6章 图形变换之旋转旋转是中考压轴题中的常见题型，什么时候需要构造旋转？怎么构造旋转图形呢？构造旋转的条件：等线段，共顶点。构造旋转图形的解题方法：遇中点，旋180，构造中心对称； 遇90，旋90，造垂直；遇60，旋60，造等边；遇等腰，旋顶角.例1 如图，设P为等边三角形ABC内一点，且PA=5，PB=4，PC=3，求BPC的度数.例2 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且EAF45 求证：BEDFEF例3 如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120. 以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，AC于点N，连接MN. （1）证明：MN=BM+CN; （2）求AMN的周长.例4 如图，在ABC中，M是BC的中点，E、F分别在AC、AB上，且MEMF，试说明EFAC，D、E分别为AB、AC上两点且BD=CE. 求证：DEBC.例2 （1）如图（a），在正方形ABCD中，AB、BC、CD三边上分别有点E、G、F，且EFDG. 求证：EF=DG.（2） 如图（b），在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EGFH. 求证：EG=FH. (a) (b)例3 在ABC中，点P为BC的中点. (a) (b) (c)（1） 如图（a），求证：;（2） 延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到点E，使得CE=AB，连接DE.1 如图（b），连接BE，若BAC=60，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系。写出你的结论，并加以证明。2 请在图（c）中证明：例4 在RtABC中，C=90，D、E分别为CB、CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.（1） 如图a，若BD=AC，AE=CD，求APE的度数；（2） 如图b，若，求APE的度数. (a) (b)例5 已知：如图（a），ABC为边长为2的等边三角形，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、EF. 将BDF向右平移，使点B与点C重合；将ADE向下平移，使点A与点C重合，如图（b）.（1） 设ADE、BDF、EFC的面积分别为S1、S2、S3，则（用“”填空）（2） 已知：如图（c），AOB=COD=EOF=60，AD=CF=BE=2，设ABO、CDO、EFO的面积分别为S1、S2、S3；问：上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 （a） （b） （c）第8章 梯形中的辅助线问题转化分割、拼接梯形问题三角