台州2016学年第一学期高三年级期末质量试题.DOC

台州市2016学年第一学期高三年级期末质量评估试题 第卷（共40分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，,则( )A B C D2.已知复数的虚部1，则 ( ) A B C D3.已知随机变量，则( ) A B C D 4.已知，则 ( ) A B C. D5.已知实数满足，则的取值范围为( )A B C. D6.已知，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件7.已知函数，下列选项中不可能是函数图象的是（ ）AB C. D8.袋子里装有编号分别为“”的个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的个球编号之和大于的概率为（ ）A B C. D9.已知函数，则方程的实根个数为（ ）A B C. D10.如图，在矩形中，四边形为边长为的正方形，现将矩形沿过点的动直线 翻折，使翻折后的点在平面上的射影落在直线上,若点在折痕上射影为，则的最小值为（ ）A B C. D第卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，将答案填在答题纸上）11.已知函数，则 ， 12.以坐标原点为圆心，且与直线相切的圆方程是 ，圆与圆的位置关系是 13.已知公差不为的等差数列，若 且成等比数列，则 14.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是 ，表面积是 15.已知在中，内角的对边分别为且，则的面积为 16.已知不共线的平面向量满足若向量,且,，则 17.已知函数,当时，设的最大值为，则的最小值为 三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.已知函数的最小正周期为，且为图像的一条对称轴.()求和的值；()设函数,求的单调递减区间.19.如图,在边长为的菱形中,为的中点,点为平面外一点,且平面平面()求证:平面;()求直线与平面所成角的正弦值. 20已知函数.() 当时,求在处的切线方程;() 当时,求在区间上的最小值(用表示).21.已知椭圆.() 若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为的正三角形,求椭圆的标准方程;() 过右焦点的直线与椭圆交于两点,过点作的垂线,交直线于点,若的最小值为,试求椭圆离心率的取值范围. 22.已知数列满足：.() 求证：；（）求证：；（）若求正整数的最小值.试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 二、填空题11. 12.相交 13. 14. 15. 16. 17.三、解答题18.解: ()因为的最小正周期为,由所以 由,所以的图像的对称轴为,由，得 ()函数. 所以的单调递减区间. 19.() 证明:在边长的菱形中,又因为,所以,所以. 因为平面平面.平面平面,又因为平面所以平面. （）解：以为原点，分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系，由已知得 设平面的法向量， 因为由，得 设,所以,所以 . 又因为 ,所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 20.解: () 当时,所以,所以在处的切线方程. () 当时,由已知得 当时,由,知在是上单调递增. 当时,由(1)当时,在上递增,在上递减,在上递增,所以. (2)当时,在上递增,在上递增,在上递增, 所以 综上所述, 21.() 依条件知即而故所求椭圆的标准方程为 () 设焦点,则直线且 联立得22.()证明:由得 因为所以,因此所以. ()证明:由已知得 所以由 累加可得 当时,由()得所以所以 () 解:由()得所以 所以又因为所以的最小值为. 2016-2017学年浙江省台州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1已知全集U=1，2，3，4，5，6，集合P=1，3，5，Q=1，2，4，则（UP）Q=（）A1B2，4C2，4，6D1，2，4，6【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据补集与交集的定义写出运算结果即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，6，集合P=1，3，5，Q=1，2，4，则UP=2，4，6，所以（UP）Q=2，4故选：B2已知复数z=（aR）的虚部为1，则a=（）A1B1C2D2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数z=+i（aR）的虚部为1，=1，解得a=1故选：A3已知随机变量B（3，），则E（）=（）A3B2CD【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】利用二项分布列的性质即可得出【解答】解：随机变量B（3，），则E（）=3=故选：C4已知cos=1，则sin（）=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin，进而利用两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：cos=1，可得：sin=0，sin（）=sincoscossin=1=故选：C5已知实数x，y满足，则x+y的取值范围为（）A2，5B2，C，5D5，+）【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y过点A或B点时，z的最值即可【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由图知，当直线z=x+y过点A（1，1）时，z最小值为：2当直线z=x+y过点B（1，4）时，z最大值为：5则x+y的取值范围为：2，5故选：A6已知m，nR，则“mn0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上0，即可判断出结论【解答】解：抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上0，即mn0，“mn0”是“抛物线mx2+ny=0的焦点在y轴正半轴上”的充要条件故选：C7已知函数f（x）=ax3+ax2+x（aR），下列选项中不可能是函数f（x）图象的是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出答案即可【解答】解：f（x）=ax3+ax2+x（aR），f（x）=ax2+ax+1，=a24a，当0a4时，f（x）无实数根，f（x）0，f（x）递增，故A可能，当a4或a0时，f（x）有2个实数根，f（x）先递减再递增或f（x）先递增再递减，故B、C可能，故选：D8袋子里装有编号分别为“1、2、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，若每个球被取到的机会均等，则取出的3个球编号之和大于7的概率为（）ABCD【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】基本事件总数n=20，利用列举法求出取出的3个球编号之和不大于7的基本事件个数，由此能求出取出的3个球编号之和大于7的概率【解答】解：袋子里装有编号分别为“1、2、3、4、5”的6个大小、质量相同的小球，某人从袋子中一次任取3个球，每个球被取到的机会均等，基本事件总数n=20，取出的3个球编号之和不大于7的基本事件有：122，123，123，124，124，223，共有6个，取出的3个球编号之和大于7的概率为：p=1=故选：B9已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）g（x）=2的实根个数为（）A1B2C3D4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】在同一个坐标系在画出两个函数的图象，观察有【解答】解：设F（x）=f（x）2，F（x）与g（x）在同一个坐标系在的图象如图：观察得到两个函数图象交点个数是1个，所以f（x）g（x）=2的实根个数为1；故选：A10如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，四边形AEFG为边长为2的正方形，现将矩形ABCD沿过点的动直线l翻折的点C在平面AEFG上的射影C1落在直线AB上，若点C在抓痕l上的射影为C2，则的最小值为（）A613B2CD【考点】点、线、面间的距离计算【分析】由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，表示出，利用基本不等式求最小值【解答】解：由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，则直线l的方程：y=kx2k+2，CC2=直线CC2的方程为y=x+6，C1（4+6k，0），CC1=6，C1C2=CC2CC1=6=1令|k2|=t，k=t+2或2tk=t+2， =3（t+4）16+11，t=时，取等号；k=2t， =3（t+4）1613，t=时，取等号；综上所述，的最小值为613，故选A二、填空题（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分）11已知函数f（x）=，则f（0）=1，f（f（0）=0【考点】函数的值【分析】由01，得f（0）=20=1，从而f（f（0）=f（1），由此能求出结果【解答】解：函数f（x）=，f（0）=20=1，f（f（0）=f（1）=log31=0故答案为：1，012以坐标原点O为圆心，且与直线x+y+2=0相切的圆方程是x2+y2=2，圆O与圆x2+y22y3=0的位置关系是相交【考点】圆的切线方程【分析】由坐标原点为所求圆的圆心，且所求圆与已知直线垂直，利用点到直线的距离公式求出原点到已知直线的距离d，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到所求圆的半径r，根据圆心和半径写出所求圆的方程即可；由两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，可得两圆相交【解答】解：原点为所求圆的圆心，且所求圆与直线x+y+2=0相切，所求圆的半径r=d=，则所求圆的方程为x2+y2=2x2+y22y3=0的圆心为（0，1），半径为2，两圆的圆心距为1，介于半径差与和之间，两圆相交故答案为：x2+y2=2；相交13已知公差不为0的等差数列an，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则a1=1，an=2n1【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】设等差数列an的公差为d0，由a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，可得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1，d即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d0，a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比数列，则2a1+4d=10，a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1=1，d=2an=1+2（n1）=2n1故答案为：1，an=2n114某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是长方形，侧视图是一个等腰梯形，则该几何体的体积是6，表面积是15+4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由题意，直观图是以侧视图为底面，高为4的直棱柱，即可求出几何体的体积、表面积【解答】解：由题意，直观图是以侧视图为底面，高为4的直棱柱，该几何体的体积是=6，表面积是2+（1+2+2）4=15+4，故答案为6，15+415已知在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=a， cosB=cosA，c=+1，则ABC的面积为【考点】正弦定理；余弦定理【分析】由已知可求sinB=sinA，cosB=cosA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB，进而可求A，B，C的值，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，可得a，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：由b=a，可得：sinB=sinA，由cosB=cosA，可得：cosB=cosA，（sinA）2+（cosA）2=1，解得：sin2A+cos2A=，结合sin2A+cos2A=1，可得：cosA=，cosB=，A=，B=，可得：C=AB=，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，可得：（）2=a2+（）22acos，解得：a=，SABC=acsinB=（）=故答案为：16已知不共线的平面向量，满足|=3，|=2，若向量=+（，R）且+=1， =，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据题意，利用+=1得出=+=+（1），再由=，代入化简，得出关于的方程组，从而求出的值【解答】解：向量，满足|=3，|=2，+=1，=+=+（1），又=，=，即=，=，即+22=3+，解得=故答案为：17已知函数f（x）=|x+axb|（a，bR），当x，2时，设f（x）的最大值为M（a，b），则M（a，b）的最小值为【考点】函数的最值及其几何意义【分析】由题意可得a0，b0，f（x）可取得最大值，即有f（x）=x+axb，x，2，求出导数和极值点，计算端点处的函数值，比较可得最大值M（a，b），即可得到所求最小值【解答】解：由题意可得a0，b0，f（x）可取得最大值，即有f（x）=x+axb，x，2，f（x）=1a=，由f（x）=0可得x=（负的舍去），且为极小值点，则f（）=ab，f（2）=2ab，由f（）f（2）=a0，即有f（2）取得最大值，即有M（a，b）=2ab，则a0，b0时，M（a，b）可得最小值为故答案为：三、解答题（共5小题，满分74分）18已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为，且x=为f（x）图象的一条对称轴（1）求和的值；（2）设函数g（x）=f（x）+f（x），求g（x）的单调递减区间【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象【分析】（1）根据函数f（x）的最小正周期求出的值，再根据f（x）图象的对称轴求出的值；（2）根据f（x）的解析式写出g（x），利用三角恒等变换化g（x）为正弦型函数，再求出它的单调递减区间【解答】解：（1）函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为，T=，=2；又x=为f（x）图象的一条对称轴，2x+=k+，kZ，f（x）图象的对称轴是x=+，kZ；由=+，解得=k+，又|，=；（2）f（x）=sin（2x+），g（x）=f（x）+f（x）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+cos2x+sin2x=sin（2x+），令+2k2x+2k，kZ，解得+kx+k，kZ，g（x）的单调递减区间是+k， +k，kZ19如图，在边长为2的菱形ABCD中，BAD=60，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC平面ABCD，PO=1，PA=2（1）求证：PO平面ABCD；（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）推导出AOPO，由此能证明PO平面ABCD（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值【解答】证明：（1）在边长为2的菱形ABCD中，BAD=60，AO=，又PO=1，PA=2，PO2+AO2=PA2，AOPO，平面PAC平面ABCD，平面PAC平面ABCD=AC，PO平面PAC，PO平面ABCD解：（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0），B（1，0，0），C（0，0），P（0，0，1），=（1，0，1），=（1，0），=（0，1），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），设直线PA与平面PBC所成角为，则sin=直线PA与平面PBC所成角的正弦值为20已知函数f（x）=x3+|xa|（aR）（1）当a=1时，求f（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）当a（0，1）时，求f（x）在区间1，1上的最小值（用a表示）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f（0）的值，求出切线方程即可；（2）求出f（x）的分段函数的形式，根据a的范围，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可【解答】解：（1）a=1，x1时，f（x）=x3+1x，f（x）=3x21，故f（0）=1，f（0）=1，故切线方程是y=x+1；（2）a（0，1）时，由已知得f（x）=，ax1时，由f（x）0，得f（x）在（a，1）递增，1xa时，由f（x）=3x21，a（，1）时，f（x）在（1，）递增，在（，）递减，在（，1）递增，f（x）min=minf（1），f（）=mina，a=a，a（0，时，f（x）在（1，）递增，在（，a）递减，在（a，1）递增，f（x）min=minf（1），f（a）=mina，a3=a3；综上，f（x）min=21已知椭圆C： +=1（ab0）（1）若椭圆的两个焦点与一个短轴顶点构成边长为2的正三角形，求椭圆的标准方程；（2）过右焦点（c，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，过点F作l的垂线，交直线x=于P点，若的最小值为，试求椭圆C率心率e的取值范围【考点】直线与椭圆的位置关系；