高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的奇偶性.doc

奇偶性【知识梳理】奇偶性偶函数奇函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数定义域关于原点对称图象特征【常考题型】题型一、判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x1；(2)f(x)x33x，x4,4)；(3)f(x)|x2|x2|；(4)f(x)解(1)函数f(x)x1的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，即f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函数f(x)x1既不是奇函数又不是偶函数(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存在44,4)，而4 4,4)，所以函数f(x)x33x，x4,4)既不是奇函数又不是偶函数(3)函数f(x)|x2|x2|的定义域为实数集R，关于原点对称因为f(x)|x2|x2|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，所以函数f(x)|x2|x2|是奇函数(4)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，f(x)(x)21(x21)f(x)；当x0，f(x)(x)21x21(x21)f(x)综上可知，函数f(x)是奇函数【类题通法】判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断步骤如下：判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称若不对称，则函数f(x)为非奇非偶函数，若对称，则进行下一步验证f(x)f(x)或f(x)f(x)下结论若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数；若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，且f(x)f(x)，则f(x)为非奇非偶函数(2)图象法：f(x)是奇(偶)函数的充要条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数【对点训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|x2|x2|；(2)f(x)解：(1)函数f(x)|x2|x2|的定义域为R.因为对于任意的xR，都有f(x)|x2|x2|x2|x2|f(x)，所以函数f(x)|x2|x2|是偶函数(2)函数的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)f(x)；当x0，则f(x)f(x)综上可知，函数f(x)是偶函数.题型二、利用函数奇偶性的定义求参数【例2】(1)若函数f(x)ax2bx3ab是偶函数，定义域为a1,2a，则a_，b_；(2)已知函数f(x)ax22x是奇函数，则实数a_.解析(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a12a，解得a.又函数f(x)x2bxb1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b0.(2)由奇函数定义有f(x)f(x)0，得a(x)22(x)ax22x2ax20，故a0.答案(1)0(2)0【类题通法】由函数的奇偶性求参数应关注两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数【对点训练】已知函数f(x)是奇函数，则a_.解析：当x0，f(x)(x)2(x)x2x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)x2x，即ax2xx2x，a1.答案：1题型三、利用函数的奇偶性求解析式【例3】f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)2x23x1，求f(x)的解析式解当x0，则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数，故f(x)f(x)，所以f(x)2x23x1.即当x0时，f(x)2x23x1.因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)【类题通法】利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可【对点训练】已知f(x)是R上的偶函数，当x(0，)时，f(x)x2x1，求x(，0)时，f(x)的解析式解：设x0.f(x)(x)2(x)1.f(x)x2x1.函数f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(x)x2x1.当x(，0)时，f(x)x2x1.【练习反馈】1下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()解析：选B选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数故选B.2定义在R上的偶函数f(x)在(0，)上是增函数，则()Af(3)f(4)f()Bf()f(4)f(3)Cf(3)f()f(4) Df(4)f()f(3)解析：选Cf(x)在R上是偶函数，f()f()，f(4)f(4)而34，且f(x)在(0，)上是增函数，f(3)f()f(4)，即f(3)f()f(4)3若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：函数f(x)x2|xa|为偶函数，f(x)f(x)，即(x)2|xa|x2|xa|，|xa|xa|，a0.答案：04.设偶函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集是_解析：因为偶函数的图象关于y