2018_2019学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义学案新人教A版.docx

11.3导数的几何意义1.理解曲线的切线的含义2.理解导数的几何意义3.会求曲线在某点处的切线方程4理解导函数的定义，会用定义法求简单函数的导函数1导数的几何意义(1)切线的定义如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线(2)导数的几何意义当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率因此，函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即kf(x0)2导函数的概念(1)定义：当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)(2)记法：f(x)或y，即f(x)y.1此处切线定义与以前所学过的切线定义的比较(1)初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一的公共点时，称直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，直线叫做圆的切线但因为圆是一种特殊的曲线，所以圆的切线定义不适用于一般的曲线如图中的曲线C，直线l1与曲线C有唯一的公共点M，但l1不是曲线C的切线；l2虽然与曲线C有不止一个公共点，但l2是曲线C在点N处的切线(2)此处是通过逼近方法，将割线趋近于确定的位置的直线定义为切线，适用于各种曲线所以这种定义才真正反映了切线的本质2函数f(x)在xx0处的导数f(x0)、导函数f(x)之间的区别与联系区别：(1)f(x0)是在xx0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量(2)f(x)是函数f(x)的导数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a，b)，都对应着一个确定的导数f(x)，从而构成了一个新的函数导函数f(x)联系：函数f(x)在xx0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值这也是求函数在xx0处的导数的方法之一 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数在一点处的导数f(x0)是一个常数()(2)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点xx0处的函数值()(3)函数f(x)0没有导数()(4)直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点()答案：(1)(2)(3)(4) 如图，直线l是曲线yf(x)在x4处的切线，则f(4)()A. B3C4 D5解析：选A.根据导数的几何意义知f(4)是曲线yf(x)在x4处的切线的斜率k，注意到k，所以f(4). 已知yf(x)的图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB) Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB) D不能确定解析：选B.由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f(xA)0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f(x0)0说明在x0附近曲线是下降的(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢 1.已知函数f(x)的图象如图所示，f(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析：选B.从图象上可以看出f(x)在x2处的切线的斜率比在x3处的斜率大，且均为正数，所以有0f(3)f(2)，过此两点的割线的斜率比f(x)在x2处的切线的斜率小，比f(x)在x3处的斜率大，所以0f(3)f(3)f(2)0Bf(x0)0上升k0锐角f(x0)0下降k0钝角f(x0)0k0零角(切线与x轴平行)注意导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢. A基础达标1已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1，2)，则f(1)的值为()A1 B0C1 D2解析：选B.因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，所以f(1)0，选B.2曲线f(x)在点(3，3)处的切线的倾斜角等于()A45 B60C135 D120解析：选C.f(x)99，所以f(3)1.又切线的倾斜角的范围为0，180)，所以所求倾斜角为135.3设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 B. C D1解析：选A.因为y|x1(2aax)2a，所以2a2，所以a1.4若曲线f(x)x2的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为()A4xy40 Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析：选A.设切点为(x0，y0)，因为f(x) (2xx)2x.由题意可知，切线斜率k4，即f(x0)2x04，所以x02.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y44(x2)，即4xy40，故选A.5若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1解析：选A.因为点(0，b)在直线xy10上，所以b1.又y 2xa，所以过点(0，b)的切线的斜率为y|x0a1.6已知函数yf(x)在点(2，1)处的切线与直线3xy20平行，则y|x2_解析：因为直线3xy20的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y|x23.答案：37已知f(x)x2ax，f(1)4，曲线f(x)在x1处的切线在y轴上的截距为1，则实数a的值为_解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为kf(1)4.又切线在y轴上的截距为1，所以曲线f(x)在x1处的切线方程为y4x1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f(1)1a3，即a2.答案：28设f(x)存在导函数，且满足1，则曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为_解析： f(x)1.答案：19已知曲线yx3上一点P，求：(1)曲线在点P处的切线方程；(2)过点P的曲线的切线方程解：(1)因为函数yx3的导函数为y3x23xx(x)2x2，所以y224.所以曲线在点P处的切线的斜率等于4.故曲线在点P处的切线方程是y4(x2)，即12x3y160.(2)设切点为(x0，y0)，由(1)知yx2，则点(x0，y0)处的切线斜率kx，切线方程为yy0x(xx0)又切线过点P，且(x0，y0)在曲线yx3上，所以整理得x3x40，即(x02)2(x01)0，解得x02或x01.当x02时，y0，切线斜率k4，切线方程为12x3y160；当x01时，y0，切线斜率k1，切线方程为3x3y20.故过点P的切线方程为12x3y160或3x3y20.10已知曲线f(x)在x4处的切线方程为5x16yb0，求实数a与b的值解：因为直线5x16yb0的斜率k，所以f(4).而f(4)，所以，解得a1.所以f(x)，所以f(4)，即切点为(4，)因为(4，)在切线5x16yb0上，所以5416()b0，即b8，从而a1，b8.B能力提升11曲线yx上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是()A(，1) B(1，1)C(，1) D(1，)解析：选C.yx上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为ky|xx0 11.即k1.12若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为_解析：y2x1，在点P处切线的斜率为2(2)15.因为点P的横坐标是2，所以点P的纵坐标是6c，故直线OP的斜率为，根据题意有5，解得c4.答案：413已知直线l：y4xa与曲线C：yx32x23相切，求a的值及切点坐标解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为f(x)3x24x，由题意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，所以切点的坐标为(，)或(2，3)当切点为(，)时，有4()a，a.当切点为(2，3)时，有342a，a5.所以当a时，切点为(，)；当a5时，切点为(2，3)14(选做题)已知曲线yx21在xx0处的切线与曲线y1x3在xx0处的切线互相平行，试分别求出这两条平行的切线方程解：对于曲线yx21在xx0处，y|xx0 (2x0x)2x0.对于曲线y1x3在xx0处，y|xx03x3x0x(x)23x，又y1x3与yx21在xx0处的切线互相平行，所以2x03x，解得x00或x0.(1)当x00时，两条切线的斜率k0，曲线yx21