中考数学真题分类汇编第三期专题39开放性问题试题含解析.docVIP

开放性问题解答题1. （xx湖北十堰12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，0），B（0、4）与x轴交于另一点C，连接BC（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且SPBO=SPBC，求证：APBC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作POB和PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明OEGCFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与ABE有可能相似，即ABC和BCE，当ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角BAE=BAC，可得ABEACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；当ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论【解答】解：（1）把点A（2，0），B（0、4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，抛物线的解析式为：y=x2x4；（2）当y=0时，x2x4=0，解得：x=2或4，C（4，0），如图1，过O作OEBP于E，过C作CFBP于F，设PB交x轴于G，SPBO=SPBC，OE=CF，易得OEGCFG，OG=CG=2，设P（x，x2x4），过P作PMy轴于M，tanPBM=，BM=2PM，4+x2x4=2x，x26x=0，x1=0（舍），x2=6，P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x4，APBC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有ABC.ABE.ACE.BCE，四种，其中ABE重合，不符合条件，ACE不能构成三角形，当ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：ABC和BCE，当ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，BAE=BAC，ABEABC，ABE=ACB=45，ABEACB，AE=，E（，0），B（0，4），易得BE：y=，则x2x4=x4，x1=0（舍），x2=，D（，）；当ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，BEA=BEC，当ABE=BCE时，ABEBCE，=，设BE=2m，CE=4m，RtBOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，3m28m+8=0，（m2）（3m2）=0，m1=2，m2=，OE=4m4=12或，OE=2，AEB是钝角，此时ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，E（12，0）；同理得BE的解析式为：y=x4，x4=x2x4，x=或0（舍）D（，）；综上，点D的坐标为（，）或（，）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与ABE相似并画出图形是关键2. （xx湖北江汉12分）抛物线y=x2+x1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D将抛物线位于直线l：y=t（t）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象（1）点A，B，D的坐标分别为（，0），（3，0），（，）；（2）如图，抛物线翻折后，点D落在点E处当点E在ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m或m3及m3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解【解答】解：（1）当y=0时，有x2+x1=0，解得：x1=，x2=3，点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）y=x2+x1=（x2x）1=（x）2+，点D的坐标为（，）故答案为：（，0）；（3，0）；（，）（2）点E.点D关于直线y=t对称，点E的坐标为（，2t）当x=0时，y=x2+x1=1，点C的坐标为（0，1）设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，1）代入y=kx+b，解得：，线段BC所在直线的解析式为y=x1点E在ABC内（含边界），解得：t（3）当x或x3时，y=x2+x1；当x3时，y=x2x+1假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m当m或m3时，点Q的坐标为（m，x2+x1）（如图1），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ，CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2+m）2=m2+1+m2+（m2+m1）2，整理，得：m1=，m2=，点P的坐标为（，0）或（，0）；当m3时，点Q的坐标为（m，x2x+1）（如图2），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ，CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2m+2）2=m2+1+m2+（m2m+1）2，整理，得：11m228m+12=0，解得：m3=，m4=2，点P的坐标为（，0）或（1，0）综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）3（xx辽宁省盘锦市）如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90，此时点E.G恰好分别落在线段AD.CD上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由【解答】解：（1）如图1，结论：CM=EM，CMEM理由：ADEF，ADBC，BCEF，EFM=HBM在FME和BMH中，FMEBMH，HM=EM，EF=BHCD=BC，CE=CH1HCE=90，HM=EM，CM=ME，CMEM（2如图2，连接AE，四边形ABCD和四边形EDGF是正方形，FDE=45，CBD=45，点B.E.D在同一条直线上BCF=90，BEF=90，M为AF的中点，CM=AF，EM=AF，CM=MEEFD=45，EFC=135CM=FM=ME，MCF=MFC，MFE=MEF，MCF+MEF=135，CME=360135135=90，CMME（3）如图3，连接CF，MG，作MNCD于N，在EDM和GDM中，EDMGDM，ME=MG，MED=MGDM为BF的中点，FGMNBC，GN=NC，又MNCD，MC=MG，MD=ME，MCG=MGCMGC+MGD=180，MCG+MED=180，CME+CDE=180CDE=90，CME=90，（1）中的结论成立4. （xx乐山12分）已知RtABC中，ACB=90，点D.E分别在BC.AC边上，连结BE.AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究APE的度数：（1）如图1，若k=1，则APE的度数为 ；（2）如图2，若k=，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出APE的度数（3）如图3，若k=，且D.E分别在CB.CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由解：（1）如图1，过点A作AFCB，过点B作BFAD相交于F，连接EF，FBE=APE，FAC=C=90，四边形ADBF是平行四边形，BD=AF，BF=ADAC=BD，CD=AE，AF=ACFAC=C=90，FAEACD，EF=AD=BF，FEA=ADCADC+CAD=90，FEA+CAD=90=EHDADBF，EFB=90EF=BF，FBE=45，APE=45 故答案为：45（2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A作AFCB，过点B作BFAD相交于F，连接EF，FBE=APE，FAC=C=90，四边形ADBF是平行四边形，BD=AF，BF=ADAC=BD，CD=AE，BD=AF，FAC=C=90，FAEACD， =，FEA=ADCADC+CAD=90，FEA+CAD=90=EMDADBF，EFB=90在RtEFB中，tanFBE=，FBE=30，APE=30，（3）（2）中结论成立，如图3，作EHCD，DHBE，EH，DH相交于H，连接AH，APE=ADH，HEC=C=90，四边形EBDH是平行四边形，BE=DH，EH=BDAC=BD，CD=AE，HEA=C=90，ACDHEA，ADC=HAECAD+ADC=90，HAE+CAD=90，HAD=90在RtDAH中，tanADH=，ADH=30，APE=305. （xx莱芜12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DEBC于E（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得CDE中有一个角与CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据正切函数，可得CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案【解答】解：（1）由题意，得，解得，抛物线的函数表达式为y=x2+x+3；（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，解得y=x+3，设D（a，a2+a+3），（0a4），过点D作DMx轴交BC于M点，如图1，M（a，a+3），DM=（a2+a+3）（a+3）=a2+3a，DME=OCB，DEM=BOC，DEMBOC，=，OB=4，OC=3，BC=5，DE=DMDE=a2+a=（a2）2+，当a=2时，DE取最大值，最大值是，（3）假设存在这样的点D，CDE使得中有一个角与CFO相等，点F为AB的中点，OF=，tanCFO=2，过点B作BGBC，交CD的延长线于G点，过点G作GHx轴，垂足为H，如图2，若DCE=CFO，tanDCE=2，BG=10，GBHBCO，=，GH=8，BH=6，G（10，8），设直线CG的解析式为y=kx+b，解得直