高考数学大一轮复习第四章三角函数、解三角形4.7解三角形的综合应用课件.ppt

4 7解三角形的综合应用 第四章三角函数 解三角形 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 实际测量中的常见问题 知识梳理 实际问题中的常用术语1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线叫仰角 目标视线在水平视线叫俯角 如图 知识拓展 上方 下方 2 方向角相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 等 3 方位角指从方向顺时针转到目标方向线的水平角 如B点的方位角为 如图 正北 4 坡度 又称坡比 坡面的垂直高度与水平长度之比 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 从A处望B处的仰角为 从B处望A处的俯角为 则 的关系为 180 2 俯角是铅垂线与视线所成的角 其范围为 3 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察点与目标点之间的位置关系 4 方位角大小的范围是 0 2 方向角大小的范围一般是 基础自测 1 2 3 4 5 6 题组二教材改编2 P11例1 如图所示 设A B两点在河的两岸 一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C 测出AC的距离为50m ACB 45 CAB 105 后 就可以计算出A B两点的距离为 m 答案 解析 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 3 P13例3 如图 在山脚A测得山顶P的仰角为30 沿倾斜角为15 的斜坡向上走a米到B 在B处测得山顶P的仰角为60 则山高h 米 解析 答案 1 2 3 4 5 6 解析由题图可得 PAQ 30 BAQ 15 PAB中 PAB 15 又 PBC 60 1 2 3 4 5 6 BPA 90 90 30 题组三易错自纠4 在某次测量中 在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60 C点的俯角是70 则 BAC等于A 10 B 50 C 120 D 130 答案 1 2 3 4 5 6 5 如图所示 D C B三点在地面的同一条直线上 DC a 从C D两点测得A点的仰角分别为60 30 则A点离地面的高度AB 解析 答案 解析由已知得 DAC 30 ADC为等腰三角形 AD a 所以在Rt ADB中 1 2 3 4 5 6 6 在一次抗洪抢险中 某救生艇发动机突然发生故障停止转动 失去动力的救生艇在洪水中漂行 此时 风向是北偏东30 风速是20km h 水的流向是正东 流速是20km h 若不考虑其他因素 救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东 速度的大小为 km h 解析 答案 解析如图 AOB 60 由余弦定理知OC2 202 202 800cos120 1200 故OC COy 30 30 60 1 2 3 4 5 6 60 题型分类深度剖析 1 2018 吉林长春检测 江岸边有一炮台高30m 江中有两条船 船与炮台底部在同一水平面上 由炮台顶部测得俯角分别为45 和60 而且两条船与炮台底部连线成30 角 则两条船相距 m 解析 答案 题型一求距离 高度问题 自主演练 解析如图 OM AOtan45 30 m 在 MON中 由余弦定理得 2 2017 郑州一中月考 如图所示 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为 在塔底C处测得A处的俯角为 已知铁塔BC部分的高为h 则山高CD 解析 答案 解析由已知得 BCA 90 ABC 90 BAC CAD 3 2018 日照模拟 一船以每小时15km的速度向东航行 船在A处看到一个灯塔B在北偏东60 的方向上 行驶4h后 船到达C处 看到这个灯塔在北偏东15 的方向上 这时船与灯塔的距离为 km 解析 答案 解析如图 由题意知 BAC 30 ACB 105 求距离 高度问题的注意事项 1 选定或确定要创建的三角形 要首先确定所求量所在的三角形 若其他量已知则直接解 若有未知量 则把未知量放在另一确定三角形中求解 2 确定用正弦定理还是余弦定理 如果都可用 就选择更便于计算的定理 典例如图所示 位于A处的信息中心获悉 在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20海里的C处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向沿直线CB前往B处救援 则cos 的值为 题型二求角度问题 师生共研 答案 解析 解析在 ABC中 AB 40 AC 20 BAC 120 由余弦定理得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos120 2800 解决测量角度问题的注意事项 1 首先应明确方位角或方向角的含义 2 分析题意 分清已知与所求 再根据题意画出正确的示意图 这是最关键 最重要的一步 3 将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后 注意正弦 余弦定理的 联袂 使用 跟踪训练如图所示 已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等 灯塔A在观察站C的北偏东40 的方向上 灯塔B在观察站C的南偏东60 的方向上 则灯塔A在灯塔B的 的方向上 答案 解析 北偏西10 解析由已知 ACB 180 40 60 80 又AC BC A ABC 50 60 50 10 灯塔A位于灯塔B的北偏西10 的方向上 典例 2018 石家庄模拟 在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 2a c cosB bcosC 0 1 求角B的大小 解答 题型三三角形与三角函数的综合问题 师生共研 解因为 2a c cosB bcosC 0 所以2acosB ccosB bcosC 0 由正弦定理得2sinAcosB sinCcosB cosCsinB 0 即2sinAcosB sin C B 0 又C B A 所以sin C B sinA 所以sinA 2cosB 1 0 在 ABC中 sinA 0 2 设函数f x 2sinxcosxcosB cos2x 求函数f x 的最大值及当f x 取得最大值时x的值 解答 三角形与三角函数的综合问题 要借助三角函数性质的整体代换思想 数形结合思想 还要结合三角形中角的范围 充分利用正弦定理 余弦定理解题 跟踪训练设f x sinxcosx cos2 1 求f x 的单调区间 解答 2 在锐角 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若 0 a 1 求 ABC面积的最大值 解答 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 典例 12分 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口O北偏西30 且与该港口相距20海里的A处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 函数思想在解三角形中的应用 思想方法 思想方法指导 规范解答 思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时 可以设出第三边 利用余弦定理列方程求解 对于三角形中的最值问题 可建立函数模型 转化为函数最值问题解决 规范解答 解 1 设相遇时小艇航行的距离为S海里 则 1分 2 设小艇与轮船在B处相遇 则v2t2 400 900t2 2 20 30t cos 90 30 8分 此时 在 OAB中 有OA OB AB 20 11分 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东30 航行速度为30海里 小时 12分 课时作业 1 2018 武汉调研 已知A B两地间的距离为10km B C两地间的距离为20km 现测得 ABC 120 则A C两地间的距离为 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图所示 由余弦定理可得 AC2 100 400 2 10 20 cos120 700 AC 解析 答案 2 2018 襄阳模拟 如图 两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等 灯塔A在观察站南偏西40 灯塔B在观察站南偏东60 则灯塔A在灯塔B的 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 北偏东10 B 北偏西10 C 南偏东80 D 南偏西80 解析由条件及图可知 A CBA 40 又 BCD 60 所以 CBD 30 所以 DBA 10 因此灯塔A在灯塔B的南偏西80 3 一艘海轮从A处出发 以每小时40海里的速度沿南偏东40 的方向直线航行 30分钟后到达B处 在C处有一座灯塔 海轮在A处观察灯塔 其方向是南偏东70 在B处观察灯塔 其方向是北偏东65 那么B C两点间的距离是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图所示 易知 在 ABC中 AB 20 CAB 30 ACB 45 根据正弦定理得 4 2018 广州模拟 如图 从气球A上测得正前方的河流的两岸B C的俯角分别为75 30 此时气球的高是60m 则河流的宽度BC等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图 ACD 30 ABD 75 AD 60m 在Rt ACD中 5 如图 两座相距60m的建筑物AB CD的高度分别为20m 50m BD为水平面 则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 30 B 45 C 60 D 75 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又0 CAD 180 所以 CAD 45 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45 6 2018 郑州质检 如图所示 测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D 测得 BCD 15 BDC 30 CD 30 并在点C测得塔顶A的仰角为60 则塔高AB等于 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析在 BCD中 CBD 180 15 30 135 7 轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C 两船航行方向的夹角为120 两船的航行速度分别为25nmile h 15nmile h 则下午2时两船之间的距离是 nmile 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 解析设两船之间的距离为d 则d2 502 302 2 50 30 cos120 4900 d 70 即两船相距70nmile 8 2018 哈尔滨模拟 如图 某工程中要将一长为100m 倾斜角为75 的斜坡改造成倾斜角为30 的斜坡 并保持坡高不变 则坡底需加长 m 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设坡底需加长xm 9 2018 青岛模拟 一船向正北航行 看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西60 另一灯塔在船的南偏西75 则这艘船的速度是每小时 海里 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析如图所示 依题意有 BAC 60 BAD 75 所以 CAD CDA 15 从而CD CA 10 在Rt ABC中 得AB 5 10 如图 在山底A点处测得山顶仰角 CAB 45 沿倾斜角为30 的斜坡走1000米至S点 又测得山顶仰角 DSB 75 则山高BC为 米 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1000 解析由题图知 BAS 45 30 15 ABS 45 90 DSB 30 ASB 135 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 2018 泉州质检 如图 某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形AOB C是该小区的一个出入口 且小区里有一条平行于AO的小路CD 已知某人从O沿OD走到D用了2分钟 从D沿DC走到C用了3分钟 若此人步行的速度为每分钟50米 则该扇形的半径为 米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析如图 连接OC 在 OCD中 OD 100 CD 150 CDO 60 由余弦定理得OC2 1002 1502 2 100 150 cos60 17500 解得OC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 如图 渔船甲位于岛屿A的南偏西60 方向的B处 且与岛屿A相距12海里 渔船乙以10海里 小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从B处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用2小时追上 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解依题意知 BAC 120 AB 12 AC 10 2 20 BCA 在 ABC中 由余弦定理 得BC2 AB2 AC2 2AB AC cos BAC 122 202 2 12 20 cos120 784 解得BC 28 1 求渔船甲的速度 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 求sin 的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解在 ABC中 因为AB 12 BAC 120 BC 28 BCA 13 2018 德阳模拟 如图 在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1 已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角 则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为 塔BB1的高为 m 技能提升练 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为 则AA1 60tan BB1 60tan2 从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角 AA1 BB1 900 3600tan tan2 900 则BB1 60tan2 45 14 如图 据气象部门预报 在距离某码头南偏东45 方向600km处的热带风暴中心正以20km h的速度向正北方向移动 距风暴中心450km以内的地区都将受到影响 则该码头将受到热带风暴影响的时间为 h 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析记现在热带风暴中心的位置为点A t小时后热带风暴中心到达B点位置 在 OAB中 OA 600 AB 20t OAB 45 根据余弦定理得OB2 6002 400t2 2 600 20t 令OB2 4502 即 所以该码头将受到热带风暴影响的时间为 15 如图所示 经过村庄A有两条夹角为60 的公路AB AC 根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P 分别在两条公路边上建两个仓库M N 异于村庄