谈二次函数教学中引入“开放性”习题.doc

谈二次函数教学中引入“开放性”习题 “创新是民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。一个没有创新能力的民族难以屹立于世界民族之林”。笔者认为编拟一些开放性题目，是培养学生发散性思维的有效手段。在教学过程中，适当地进行一些“开放性试题”的训练，是培养学生创新意识和创新能力的有效途经。“开放性”直接决定了我们在此不可能按照某种模式机械地去从事解题活动，而必须主动地、积极地去进行探索。因此，“开放性试题”的教学对于学生创新精神的培养是十分有利的。创新意识和创新能力的培养，不仅仅是题型的改变，更是教学思想的重要转变。彻底改变学生在学习过程中的被动状态，促使其更为积极、主动地去进行探索。笔者就 “开放性问题” 在二次函数教学中谈谈自己的体会。 二次函数是初中数学教学难点、重点。由于直角坐标系是初三新内容，学生在直角坐标系下识图能力还不行，对于二次函数的概念、图象各信息之间的关系，部分学生理解上很困难，为了让学生更好地掌握这部分内容，我就在课上编拟了以下几道开放性的习题，谈谈自己的体会。 例1一道习题，其中一部分文字是这样的：已知二次函数y = x2+bx+c的图象过点A（c，0），求证这个二次函数的图象关于直线x = 2对称，其中省略号部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。根据现有的信息，你认为题中的二次函数可能具有哪些性质；请你把这道题补完整。【分析解答】 必须从结论出发，由对称轴求出b = 4，由已知图象过点A（c，0），可得等式c2+bc+c = 0，c（c+b+1）=0，c = 0或c+b+1=0，联系到b =4，这个二次函数的解析式可能是：y = x24x或y = x24x+3.如果函数解析式为y = x24x，那么可得以下性质:(1) 图象开口向上(2) b =4，c = 0；(3) 图象经过原点;(4) =160；(5) 对称轴为x = 2；(6) 顶点坐标为（2，4）；(7) 与x轴的两个交点分别为（0，0），（4，0）；(8) 与x轴的两个交点的距离为4；(9) 最小值为4；等等.如果函数解析式为y = x24x+3，那么可得以下性质:(1) 图象开口向上(2) b =4，c = 3；(3) 与y轴的交点坐标为（0，3）;(4) 对称轴x = 2；(5) 顶点坐标为（2，1）；(6) =40；(7) 与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）；(8) 与x轴的两个交点的距离为2；(9) 最小值为1；等等.本题的答案有很多，通过引导学生容易想到这些答案，这些答案基本上包含了大纲要求掌握的内容，因此不须开放下去。另外，我又让学生把这两个二次函数的异同点作了一下整理，并在同一直角坐标系描出它们的图象。 绝大部分学生认为，只要将以上随便哪个性质补在省略号的地方就可以了，但问题并非如此简单。必须提醒学生补上的条件能否保证“图象关于直线x = 2对称”这一结论；同时也应注意条件是否过多，画蛇添足总不好。例如：如果将“ = 16”这个条件补上，并不能证明其图象对称轴为x = 2；又如：如果将“b =4，c = 3” 这个条件补上，那么原有条件“图象过点A（c，0）”就变得可有可无了，太简单而无挑战性了。这一问让学生在解题中更好地理解题设条件的作用。我将这一问留在课后，并提供了几种方案：（着重号为什么）(1) 与y轴交点坐标为（0，3）；(2) = 4，c0；(3) 最小值为4，c0；(4) 与x轴的两个交点之间的距离为4，且bc；笔者认为通过这一题的练习，使学生对二次函数的概念及其之间的联系能够更好的理解，也能让学生体验到了老师编题的过程。从课后的练习反馈来看学生对二次函数的概念确实有了更深一步的理解，没想到基础较好的学生，对第二问的补充内容加了以下条件：过点B（c，24）， b c 。例2已知函数y = ax2+bx+c的图象如图所示，x = 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a、b、c的一些什么结论？【分析解答】 首先观察到二次函数的图象为抛物线，抛物线开口向上，其对称轴为直线x = ，抛物线与x轴有两个交点，交点的横标一个大于1，另一个介于1与0之间，顶点的纵坐标及与y轴的交点的纵坐标均介于1与0之间，课上由小组讨论得如下结论：(1) a0 ； (2) 1c0；(3) 由对称轴可得2a = 3b；(4) 由（1），（3）得b0；(5) 考虑x =1时，y0，所以有a+b+c0；(6) 又x =1时，y0，所以有ab+c0；(7) 由顶点的纵坐标可得，1c 0；(8) 若设抛物线与x轴的交点坐标为A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2为方程ax2+bx+c = 0的两根，0，x1+ x2 = ，x1 x2 = ，且A，B关于对称轴x = 对称，x1+ x2 = ，AB =x1x2= ；(9) 由（3），（5），（6）得 a3c或2cb 。通过对二次函数图象信息的收集，学生对于二次函数图象的认识有了进一步的提高，也为接下来函数图象的综合应用打下基础。 二次函数是初中阶段“数形结合”数学思想的“典范”，于是我选择一道与抛物线内接三角形有关的习题。 例3设抛物线y = ax2+bx+c（ac0）与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C。显然，ABC的形状由系数a、b、c的值确定，例如当a = ，b = ，c = 2时，可以证明ABC为直角三角形。你能找出关于ABC的形状和系数a、b、c之间的关系吗？你不妨大胆地进行猜想，但你必须想办法证明或否定你的猜想。（所谓ABC的形状是指ABC是否为直角三角形、钝角三角形、锐角三角形、等腰三角形、等边三角形？等等）【分析解答】由已知，得0，以下的讨论均以此为前提。1. 当ac0时，由韦达定理知x1和x2同号，此时ABC必为钝角三角形。由此学生自然会想到“当ac0时，ABC必为锐角三角形”。可惜这是错的，例如函数y = x2 x1，容易算出ABC的三边长分别为3， ，ABC为钝角三角形。事实上，这样的反例可举出无数多个，选定x1，x2的值，然后调整a的值，此时随着a的变化，C点上下移动，而A、B两点始终固定不动。因此，只要C点离原点足够近，总可以使ABC为钝角三角形；2. 当b = 0时，x1 =x2，ABC关于y轴对称，因而是等腰三角形；于是，又有学生猜想“当b0时，ABC不是等腰三角形”？又错了！又如，y =x2 x4，计算的：A（2，0），B（3，0），C（0，4），于是AB =BC = 5。又有什么规律呢？（课后留给了基础较好的学生解决）3. 特殊的，当b = 0，且ac = 时，ABC是等边三角形。4. 当ac =1时，ABC是直角三角形。 【证明】充分利用图形的位置特点证明如下：设C点坐标为（0，c），则当ac =1时，AB2=（x1x2）2 =（ ）24 = 而 AC2+BC2 =（x12+c2）+（x22+c2） =（x1+x2）22x1x2+2c2 =（ ）22 +2c2 = = =AB2此时ABC是直角三角形。经过几次猜测，几次否定课堂气氛相当热烈，学生的兴趣盎然，学习积极性非常高，以至于解答这道题花了整堂课时间。课上“数形结合”、“分类讨论”的数学思想方法，使得学生对此有了一个初步的认识。通过以上几题的训练，笔者认为相比传统教学中的“封闭性”题型，学生的学习积极性，参与性都提高了不少，而且效果也不错。师生的共同解答暴露了命题猜测、探究的整个过程。“开放性”题型在课堂教学中的引入，不同程度的加大了教师备课的难度，但学生的思维却得到了发展，发散性和深刻性有了比以往更大的提升，这也是我们数学