构造函数之专题训练

精选文库“构造函数”之专题训练一、选择题1.定义在（0，+）上的函数f（x）满足f（x）0，且2f（x）xf（x）3f（x）对x（0，+）恒成立，其中f（x）为f（x）的导函数，则（）A.116f(1)f(2)18B.18f(1)f(2)14C.14f(1)f(2)13D.13f(1)f(2)122.已知函数f（x）满足：f（x）+2f（x）0，那么下列不等式成立的是（）A.f(1)f(0)eB.f(2)f(0)eC.f(1)ef(2)D.f（0）e2f（4）3.若函数f（x）满足f（x）-f（x）=2xex，f（0）=1，其中f（x）为f（x）的导函数，则当x0时，f(x)f(x)的最大值为（）A.2B.2C.22D.44.己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x2时，其导函数f（x）满足f（x）12xf（x），若a（2，3），则（）A.f（log2a）f（2a）f（2）B.f（2a）f（2）f（log2a）C.f（2a）f（log2a）f（2）D.f（2）f（log2a）f（2a）5.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x0时，有xf(x)-f(x)x20恒成立，则f(x)x0的解集为（）A.（-2，0）（2，+）B.（-2，0）（0，2）C.（-，-2）（2，+）D.（-，-2）（0，2）6.已知奇函数f（x）的定义域为R，其导函数为f（x），当x0时，xf（x）-f（x）0，且f（-1）=0，则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A.（-1，0）（1，+）B.（-，1）（0，1）C.（0，1）（1，+）D.（-，-1）（-1，0）7.已知偶函数f（x）（x0）的导函数为f（x），且满足f（1）=0，当x0时，xf（x）2f（x），则使得f（x）0成立的x的取值范围是（）A.（-，-1）（0，1）B.（-，-1）（1，+）C.（-1，0）（1，+）D.（-1，0）（0，1）8.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，f（x）+f(x)x0，若a=13f(13)，b=-3f（-3），c=(ln13)f(ln13)，则a，b，c的大小关系正确的是（）A.abcB.acbC.bcaD.cab9.已知函数f（x）（xR）满足f（1）=1，且f（x）1，则不等式f（1g2x）1g2x的解集为（）A.(0，110)B.（10，+）C.(110，10)D.(0，110)(10，+)10.定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x）e，f（0）=e+2（其中e为自然对数的底数），则不等式exf（x）ex+1+2的解集为（）A.（-，0）B.（-，e+2）C.（-，0）（e+2，+）D.（0，+）11.设函数f（x）的导函数为f（x），对任意xR都有xf（x）f（x）成立，则（）A.3f（2）2f（3）B.3f（2）=2f（3）C.3f（2）2f（3）D.3f（2）与2f（3）的大小不确定12.已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（x）为其导函数，若对于任意实数，都有f（x）f（x），其中e为自然对数的底数，则（）A.ef（2015）f（2016） B.ef（2015）f（2016）C.ef（2015）=f（2016） D.ef（2015）与f（2016）大小关系不确定13.设函数f（x）的偶函数f（x）（xR且x0）的导函数，f（2）=0且当x0时，xf（x）-f（x）0，则使f（x）0成立的x的取值范围为（）A.（-，-2）（0，2）B.（-2，0）（0，2）C.（-2，0）（2，+）D.（-，-2）（2，+）14.对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x-1）f（x）0，则必有（）A.f（0）+f（2）2f（1）B.f（0）+f（2）2f （1）C.f（0）+f（2）2f（1）D.f（0）+f（2）2f （1）15.函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2015，对任意的xR都有f（x）3x2成立，则不等式f（x）x3+2016的解集为（）A.（-1，+）B.（-1，0）C.（-，-1）D.（-，+）16.已知函数y=f（x）（xR）的图象过点（1，0），f（x）为函数f（x）的导函数，e为自然对数的底数，若x0，xf（x）1下恒成立，则不等式f（x）lnx的解集为（）A.（0，1eB.（0，1C.（0，eD.（1，e17.已知定义域为x|x0的偶函数f（x），其导函数为f（x），对任意正实数x满足xf（x）-2f（x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）g（1-x）的解集是（）A.（12，+）B.（-，12）C.（-，0）（0，12）D.（0，12）18.已知函数y=f（x）定义在实数集R上的奇函数，且当x（-，0）时xf（x）-f（x）成立（其中f（x）是f（x）的导函数），若a=3f（3），b=f（1），c=-2f（log214），则a，b，c的大小关系是（）A.cabB.cbaC.abcD.acb19.定义在区间（0，+）上的函数f（x）使不等式2f（x）xf（x）3f（x）恒成立，其中f（x）为f（x）的导数，则（）A.8f(2)f(1)16B.4f(2)f(1)8C.3f(2)f(1)4D.2f(2)f(1)320.已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）f（x），则下列结论正确的是（）A.f（1）ef（0）B.f（1）ef（0）C.f（1）f（0）D.f（1）f（0）21.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（-1）=-1，且当x0时，有xf（x）f（x），则不等式f（x）x的解集是（）A.（-1，0）B.（1，+）C.（-1，0）（1，+）D.（-，-1）（1，+）1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D10.A11.A12.A13.B14.C15.A16.B17.C18.A19.B20.A21.C“构造函数”之专题训练答案和解析【答案】1.B2.A3.B4.C5.B6.A7.D8.B9.D10.A11.A12.A13.B14.C15.A16.B17.C18.A19.B20.A21.C【解析】1. 解：令g（x）=f(x)x2，x（0，+）， g（x）=xf(x)-2f(x)x3， x（0，+），2f（x）xf（x）3f（x）恒成立， f（x）0， 0xf(x)-2f(x)x3， g（x）0， 函数g（x）在x（0，+）上单调递增， f(1)1f(2)4，f(1)f(2)14 令h（x）=f(x)x3，x（0，+）， h（x）=xf(x)-3f(x)x4， x（0，+），2f（x）xf（x）3f（x）恒成立， h（x）=xf(x)-3f(x)x40， 函数h（x）在x（0，+）上单调递减， f(1)1f(2)8，18f(1)f(2) 综上可得：18f(1)f(2)14， 故选：B 分别构造函数g（x）=f(x)x2，x（0，+），h（x）=f(x)x3，x（0，+），利用导数研究其单调性即可得出 本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 2. 解：f（x）+2f（x）0， 可设f（x）=e12x， f（1）=e，f（0）=e0=1， f（1）f(0)e， 故选：A 根据题意可设f（x）=e12x，然后代入计算判断即可 本题主要考查了初等函数的导数运算公式，关键是构造函数，属于基础题 3. 解：由题意，（f(x)ex）=2x， f(x)ex=x2+b， f（x）=（x2+b）ex， f（0）=1，b=1， f（x）=（x2+1）ex， f（x）=（x+1）2ex， 当x0时，f(x)f(x)=1+2xx2+12，当且仅当x=1时取等号， 当x0时，f(x)f(x)的最大值为2 故选：B 利用函数f（x）满足f（x）-f（x）=2xex，f（0）=1，求出f（x），再代入利用基本不等式即可得出结论 本题考查导数知识的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，确定f（x）是关键 4. 解：定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x）， 函数f（x）关于x=2对称， 由f（x）12xf（x）， 得（x-2）f（x）0， 则x2时，f（x）0，此时函数单调递减， 当x2时，f（x）0，此时函数单调递增 当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值 若a（2，3）， 则42a8，1log2a2， 24-log2a3， 24-log2a2a， 即f（2）f（4-log2a）f（2a）， 即f（2a）f（log2a）f（2）， 故选：C 根据条件得到函数关于x=2对称，由f（x）12xf（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论 本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用 5. 解：设g（x）=f(x)x，f（x）是R上的奇函数，g（x）为偶函数； x0时，g(x)=xf(x)-f(x)x20； g（x）在（0，+）上单调递减，g（2）=0； 由g（x）0得，g（x）g（2）； g（|x|）g（2）； |x|2，且x0； -2x0，或0x2； f(x)x0的解集为（-2，0）（0，2） 故选：B 可设g（x）=f(x)x，根据条件可以判断g（x）为偶函数，并可得到x0时，g（x）0，从而得出g（x）在（0，+）上单调递减，并且g（2）=0，从而由g（x）g（2）便可得到|x|2，且x0，这样即可得出原不等式的解集 考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数g（x）g（2）等价于g（|x|）g（2） 6. 解：设g（x）=f(x)x，则g（x）=xf(x)-f(x)x2， 当x0时，xf（x）-f（x）0， 当x0时，g（x）0，此时函数g（x）为减函数， f（x）是奇函数，g（x）=f(x)x是偶函数， 即当x0时，g（x）为增函数 f（-1）=0，g（-1）=g（1）=0， 当x0时，f（x）0等价为g（x）=f(x)x0，即g（x）g（1），此时x1， 当x0时，f（x）0等价为g（x）=f(x)x0，即g（x）g（-1），此时-1x0， 综上不等式的解集为（-1，0）（1，+）， 故选：A 根据条件构造函数g（x）=f(x)x，求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式进行转化求解即可 本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用导数研究函数的单调性，以及将不等式进行转化是解决本题的关键 7. 解：根据题意，设函数g(x)=f(x)x2， 当x0时，g(x)=f(x)x-2f(x)x30， 所以函数g（x）在（0，+）上单调递减， 又f（x）为偶函数， 所以g（x）为偶函数， 又f（1）=0，所以g（1）=0， 故g（x）在（-1，0）（0，1）的函数值大于零， 即f（x）在（-1，0）（0，1）的函数值大于零 故选：D 构造函数设函数g(x)=f(x)x2，利用导数得到，g（x）在（0，+）是增函数，再根据f（x）为偶函数，根据f（1）=0，解得f（x）0的解集 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决 8. 解：定义域为R的奇函数y=f（x）， 设F（x）=xf（x）， F（x）为R上的偶函数， F（x）=f（x）+xf（x） 当x0时，f（x）+f(x)x0 当x0时，xf（x）+f（x）0， 当x0时，xf（x）+f（x）0， 即F（x）在（0，+）单调递增，在（-，0）单调递减 F（13）=a=13f（13）=F（ln3e），F（-3）=b=-3f（-3）=F（3），F（ln13）=c=（ln13）f（ln13）=F（ln3）， ln3eln33， F（ln3e）F（ln3）F（3） 即acb， 故选：B 根据式子得出F（x）=xf（x）为R上的偶函数，利用f（x）+f(x)x0当x0时，xf（x）+f（x）0；当x0时，xf（x）+f（x）0，判断单调性即可证明a，b，c 的大小 本题考查了导数在函数单调性的运用，根据给出的式子，得出需要的函数，运用导数判断即可，属于中档题 9. 解：设g（x）=f（x）-x， 则函数的导数g（x）=f（x）-1， f（x）1， g（x）0， 即函数g（x）为减函数， f（1）=1， g（1）=f（1）-1=1-1=0， 则不等式g（x）0等价为g（x）g（1）， 则不等式的解为x1， 即f（x）x的解为x1， f（1g2x）1g2x， 由1g2x1得1gx1或lgx-1， 解得x10或0x110， 故不等式的解集为(0，110)(10，+)， 故选：D 构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）x的解为x1，即可得到结论 本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键 10. 解：设g（x）=exf（x）-ex+1-2（xR）， 则g（x）=exf（x）+exf（x）-ex+1=exf（x）+f（x）-e， f（x）+f（x）e， f（x）+f（x）-e0， g（x）0， y=g（x）在定义域上单调递减， f（0）=e+2， g（0）=e0f（0）-e-2=e+2-e-20， g（x）g（0）， x0， 不等式的解集为（0，+） 故选：A 构造函数g（x）=exf（x）-ex+1-2（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 本题考查函数的导数与单调性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键 11. 解：设函数y=f(x)x，则y=xf(x)-f(x)x2， xf（x）f（x），y0， 可得y=f(x)x对任意xR，函数y是减函数， f(3)3f(2)2， 可得3f（2）2f（3） 故选：A 构造函数，利用函数的单调性判断即可 本题考查函数的单调性的判断与应用，构造函数，求解导函数判断单调性是解题的关键 12. 解：令g（x）=f(x)ex，由题意， 则g（x）=f(x)-f(x)ex0， 从而g（x）在R上单调递减， g（2016）g（2015） 即f(2016)e2016f(2015)e2015， e2015f（2016）e2016f（2015）， 即ef（2015）f（2016）， 故选：A 造函数g（x）=f(x)ex，通过求导判断其单调性，从而确定选项 本题是构造函数的常见类型，大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数，形式灵活多变，考生需要多看多做多总结，才容易掌握此题型 13. 解：令g（x）=f(x)x， g（x）=xf(x)-f(x)x2， x0时，xf（x）-f（x）0， x0时，g（x）0， g（x）在（0，+）上是增函数， f（2）=0， g（2）=f(2)2=0， 当0x2， g（x）g（2）=0，即f（x）0， 当x2时，g（x）g（2）=0，即f（x）0， f（x）是偶函数， 当-2x0，f（x）0， 故不等式f（x）0的解集是（-2，0）（0，2）， 故选：B 构造函数g（x）=f(x)x，利用导数得到，g（x）在（0，+）是增函数，再根据f（x）为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）0的解集 本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及数形结合的思想解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决 14. 解：（x-1）f（x）0， 当x1时，f（x）0， 当x1时，f（x）0； 故f（x）在（-，1）上不增， 在1，+）上不减， 故f（0）f（1），f（2）f（1）； 故f（0）+f（2）2f（1）， 故选C 由题意，当x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0；从而可得f（x）在（-，1）上不增，在1，+）上不减，故f（0）f（1），f（2）f（1）；从而可得 本题考查了导数的综合应用，属于中档题 15. 解：令g（x）=f（x）-x3-2016， g（x）=f（x）-3x2， 对任意的xR都有f（x）3x2成立， 对任意的xR，g（x）0， g（x）=f（x）-x3-2016在R上是减函数， 且g（-1）=f（-1）+1-2016=2015+1-2016=0， 故不等式f（x）x3+2016的解集为（-1，+）， 故选：A 令g（x）=f（x）-x3-2016，求导g（x）=f（x）-3x2，从而确定不等式的解集 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用 16. 解：构造函数g（x）=f（x）-lnx（x0），则g（x）=f（x）-1x=xf(x)-1x0， g（x）=f（x）-lnx在（0，+）上单调递增， f（x）lnx， g（x）0=g（1）， 0x1， 故选：B 构造函数g（x）=f（x）-lnx（x0），确定g（x）=f（x）-lnx在（0，+）上单调递增，f（x）lnx，化为g（x）0=g（1），即可得出结论 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，正确构造函数是关键 17. 解：f（x）是定义域为x|x0的偶函数， f（-x）=f（x） 对任意正实数x满足xf（x）-2f（x）， xf（x）+2f（x）0， g（x）=x2f（x）， g（x）=2xf（x）+x2f（x）0 函数g（x）在（0，+）上单调递增， g（x）在（-，0）递减； 由不等式g（x）g（1-x）， x01-x0x1-x或x0x-10xx-1， 解得：0x12，或x0不等式g（x）g（1-x）的解集为：x|0x12或x0 故选：C f（x）是定义域为x|x0的偶函数，可得：f（-x）=f（x），对任意正实数x满足xf（x）2f（-x），可得：xf（x）+2f（x）0，由g（x）=x2f（x），可得g（x）0可得函数g（x）在（0，+）上单调递增即可得出 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18. 解：当x（-，0）时，xf（x）-f（x）， 即xf（x）+f（x）0， xf（x）0， 令F（x）=xf（x）， 由函数y=f（x）是定义在R上的奇函数， 则F（x）为偶函数， 且在（-，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数， 由c=-2f（log214）=-2f（-2）=2f（2）=g（2）， a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1）， 由132，可得bac 故选：A 由f（x）为奇函数得到f（-x）=-f（x），有xf（x）+f（x）0，由导数的积的运算得到xf（x）0，令F（x）=xf（x），则F（x）为偶函数，且在（-，0）上是减函数，在（0，+）上是增函数，由c=-2f（-2）=2f（2）=g（2），a=3f（3）=g（3），b=f（1）=g（1），即可得到所求大小关系 本题主要考查函数的性质及应用，考查奇偶函数的定义及应用，函数的单调性及应用，以及应用导数的运算法则构造函数的能力，是函数的综合题 19. 解：令g（x）=f(x)x3， 则g（x）=f(x)x3-3x2f(x)x6=xf(x)-3f(x)x4， xf（x）3f（x），即xf（x）-3f（x）0， g（x）0在（0，+）恒成立， 即有g（x）在（0，+）递减，可得 g（2）g（1），即f(2)8f(1)1， 由2f（x）3f（x），可得f（x）0，则f(2)f(1)8； 令h（x）=f(x)x2，h（x）=f(x)x2-2xf(x)x4=xf(x)-2f(x)x3， xf（x）2f（x），即xf（x）-2f（