中考复习之解直角三角形的应用

中考复习 解直角三角形的应用 授课教师 周代全双龙街乡初级中学 解直角三角形的过程中 常用到下面的关系 1 直角三角形中 30 角所对的边是斜边的一半 2 两锐角之间的关系 A B 90 3 三边之间的关系 勾股定理 4 边角之间的关系 锐角三角函数 考点透析 以上知识在解直角三角形中有着广泛的应用 基本应用 动手算一算 D 基本应用 动手算一算 2 如图 孔明同学背着一桶水 从山脚A出发 沿与地面成30 角的山坡向上走 送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家 B处 AB 80米 则孔明从A到B上升的高度BC是米 此山的坡度 斜坡的铅直高度与水平宽度的比 是 坡度是一个比值 即i tana 40 3 如图 线段AB DC分别表示甲 乙两座建筑物的高 AB BC DC BC 两建筑物间距离BC 30米 若甲建筑物高AB 28米 在A点测得D点的仰角 45 则乙建筑物高DC为 米 基本应用 动手算一算 仰角 视线与水平线所形成的夹角 视线在水平线上方的是仰角 58 E 典例精析 如图 某天小明放风筝走到C处时不小心把风筝挂在了树上A点处 测得此时C处的仰角为45 他继续往前走了50米到达B处 测得此时的仰角为60 请你帮小明计算风筝此时距地面的高度AD的大小 结果保留根号 思路点拔 设AD x 米 则CD x 米 BD x 50 米 对Rt ABD中 ABD用正切三角函数可求解 50 解法二 设BD x 米 则AD 50 x 米 在Rt ABD中用锐角三角函数求解 50 解题反思 2 通过条件的转换把已知和所求集中在同一个直角三角形中 用锐角三角函数关系构建关系式进行求解 1 本题出现了2个我们熟悉的基本图形 60 45 角的直角三角形 并且这两个图形有一条公共的直角边 测河宽 为建设 宜居宜业宜游 山水园林式城市 内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造 如图 某施工单位为测得某河段的宽度 测量员先在河对岸岸边取一点A 再在河这边沿河边取两点B C 使得 ABC 60 ACB 45 量得BC长为200米 请你求出该河段的宽度 即求BC边上的高 结果保留根号 变式训练1 D 思路 设AD x 米 则BD 200 x 米 在Rt ABD中用 ABD的正切建立锐角函数关系式进行求解 200 测方位 如图 一艘轮船位于灯塔P的北偏东60 方向 与灯塔距离为80海里的A处 它沿正南方向航向一段时间后 到达位于灯塔P的南偏东45 方向上的B处 求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离 结果保留根号 变式训练2 方位角 指正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90 的角 45 60 M P N B A C M P N B A 测高度 如图 小芸在自家楼房的窗户A处 测量楼前的一棵树CD的高 现测得树顶C处的俯角为45 树底D处的俯角为60 楼底到大树的距离BD为20米 请你帮助小芸计算大树CD的高度 结果保留根号 变式训练3 俯角 视线与水平线所形成的夹角 视线在水平线下方的是俯角 解法二 延长AC交直线DB于点F 解法三 延长DC交直线AM于点F F F 常见图形 反思归纳 对于一图多变问题 常常需要找出这些图形之间的联系 公共边 构造出基本图形 然后利用解直角三角形的知识 锐角三角函数 来加以解决 如图 公路MN和公路PQ在点P处交会 且 QPN 30 点A处有一所中学 AP 160米 1 假设拖拉机行驶时 周围100米以内会受到噪声的影响 那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 2 如果受影响 已知拖拉机的速度为18千米 时 那么学校受影响的时间为多少秒 解题点拨 1 作AB MN于B 求出AB 若AB 100米 则受影响 若AB 100米 则不受影响 解 1 作AB MN B为垂足 在Rt ABP中 ABP 90 APB 30 AP 160米 AB 80米 点A到直线MN的距离小于100米 这所中学会受到噪声的影响 链接中考 M P Q N A C D B 2 如图 如果以点A为圆心 100米为半径画圆 那么圆A和直线MN有两个交点 设交点分别为C D 连结AC AD 那么AC AD 100 米 根据勾股定理和垂径定理 CB DB 60 米 CD 120 米 学校受噪声影响的时间t 120米 18千米 时 时 24秒 解题点拨 2 既然受影响 怎样求受影响的时间呢 因拖拉机速度已知 故应求学校在受噪声影响时拖拉机行驶的路程 即以A为圆心 100米为半径画圆A 则 A交MN于C D两点 弦CD的长为所求的路程 用垂径定理可求CD 1 本题涉及到解直角三角形和圆的有关知识 2 解决问题