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双曲线的简单几何性质 复习1 双曲线的定义 平面内与两个定点f1 f2的距离的差等于常数 小于 f1f2 的点的轨迹叫做双曲线 mf1 mf2 2a 两个定点f1 f2 双曲线的焦点 f1f2 2c 焦距 类型一 焦点在x轴上 c 0 c 0 类型二 焦点在y轴上 0 c 0 c 其中 复习1双曲线的标准方程 类比椭圆几何性质的研究方法 我们根据双曲线的标准方程得出双曲线的范围 对称性 顶点等几何性质 问题1 2 对称性 x轴 y轴是双曲线的对称轴 原点是对称中心 又叫做双曲线的中心 x y x y x y 3 顶点 2 如图 线段a1a2叫做双曲线的实轴 它的长为2a a叫做实半轴长 线段b1b2叫做双曲线的虚轴 它的长为2b b叫做双曲线的虚半轴长 3 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线 1 令y 0 得x a 则双曲线与x轴的两个交点为a1 a 0 a2 a 0 我们把这两个点叫双曲线的顶点 令x 0 得y2 b2 这个方程没有实数根 说明双曲线与y轴没有交点 但我们也把b1 0 b b2 0 b 画在y轴上 问题2 根据双曲线的标准方程你能发现双曲线的范围还受到怎样的限制 由双曲线方程 可知 即 所以双曲线还应在上面两个不等式组表示的平面区域内 即以直线和为边界的平面区域内 问题3 双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内 那么从x y的变化趋势看 双曲线和直线具有怎样的关系 a b p m n 当x变大时 变大 pm长趋向于0 m x y 4 渐近线 a b 可以看出 双曲线的各支向外延伸时 与直线逐渐接近 我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线 双曲线与渐近线无限接近 但永不相交 5 离心率 离心率 c a 0 e 1 e是表示双曲线开口大小的一个量 e越大开口越大 1 定义 2 e的范围 3 e的含义 焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答 双曲线标准方程 双曲线性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 4 渐近线方程 5 离心率 y a或y a 关于坐标轴和原点对称 a1 0 a a2 0 a a1a2为实轴 b1b2为虚轴 解 把方程化为标准方程 可得 实半轴长 虚半轴长 半焦距 焦点坐标是 0 5 0 5 离心率 渐近线方程 例题讲解 巩固练习 1 中心在原点 实轴长为10 虚轴长为6的双曲线的标准方程为 a c b a b c d c 2 双曲线的渐近线方程为 3 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍 则m的值为 例2 求下列双曲线的标准方程 例题讲解 法二 巧设方程 运用待定系数法 设双曲线方程为 法二 设双曲线方程为 双曲线方程为 解之得k 4 1 共渐近线 的双曲线的应用 0表示焦
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