（试题 试卷 真题）2014海高考数学（文）

2014高考数学【上海卷（文）】解析版一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数的最小正周期是_.2. 若复数，其中是虚数单位，则.3. 设常数aR，函数f (x)=|x1|+|x2a|. 若f (2)=1，则f (1)= .4. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为_.5. 某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名. 为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样. 若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 .6. 若实数满足，则的最小值为_.7. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为_(结果用反三角函数值表示).8. 在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 .9. 设 若是的最小值，则a的取值范围为 .10. 设无穷等比数列公比为，若，则.11. 若，则满足的的取值范围是_.12. 方程sin x+cos x = 1在区间0, 2上的所有解的和等于 .13. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_（结果用最简分数表示）.14. 已知曲线，直线. 若对于点，存在上的点和上的点使得，则的取值范围为_.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15. 设，则“”是“且”的（ ）.A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件16. 已知互异的复数a, b满足ab0，集合a, b=a2, b2，则a+b=（ ）.A. 2 B. 1 C. 0 D. 117. 如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi (i=1,2,7)是小正方形的其余顶点，则(i=1,2,7)的不同值的个数为（ ）.A. 7 B. 5 C. 3 D. 118. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组 的解的情况是（ ）.A. 无论、如何，总是无解 B. 无论、如何，总有唯一解C. 存在、，使之恰有两解 D. 存在、，使之有无穷多解三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图. 求的各边长及此三棱锥的体积.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数，函数.(1) 若，求函数的反函数；(2) 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米. 设、点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和.(1) 设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（精确到0.01米）？(2) 施工完成后，与铅垂方向有偏差，现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）.22. (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点，记. 若，则称点被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线.(1) 求证：点被直线分隔；(2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为，求的方程，并证明轴为曲线的分隔线.23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分, 第3小题满分9分.已知数列满足，.(1) 若，求的取值范围；(2) 若是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；(3) 若成等差数列，求数列的公差的取值范围.参考答案一、选择题1【解析】，则.【考点】二倍角余弦公式以及标准三角函数最小正周期的求解公式法26【解析】.【考点】复数的代数四则运算以及复数模的性质33【解析】由得，则.【考点】对函数概念的理解4【解析】易知焦点为，则准线方程为.【考点】圆锥曲线基本量570【解析】.【考点】分层抽样的方法（关键是样本比例相等）6【解析】【考点】基本不等式求最值7【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，母线与轴所成角为。由已知得：，则，所以.【考点】反正弦函数、解三角形824【解析】.【考点】三视图、长方体体积的计算9【解析】由题意知，即 【考点】分段函数的值域10【解析】由题意得且，则 【考点】无穷递缩等比数列的各项和11【解析】首先注意定义域：；再由得，作图即得结果为【考点】幂函数与数形结合12【解析】由已知化简得，因为，则，所以，所以.【考点】三角方程13【解析】.【考点】古典概型14【解析】由已知得曲线为以原点为圆心，2为半径的左半圆。为的中点. 设，则. 因为在曲线上，则即.【考点】向量与解析几何15B【解析】由“且”可以推出“”；由“”推不出“且”，故选B.【考点】充分条件、必要条件、充分必要条件16D【解析】由题得(舍)，或. 所以.【考点】集合相等的含义、复数的运算17C【解析】，的值可能为0、1或2.所以0、2或4，即(i=1,2,7)的不同值的个数为3，故选C.【考点】平面向量的数量积18B【解析】易得原点不在直线上，所以不在同一直线上，故向量与向量不平行，所以，方程组有唯一解，故选B.【考点】二元、三元线性方程组解的讨论19在中，所以是中位线，故. 3分同理，. 所以是等边三角形，各边长均为4. 6分设是中心，则平面，所以，. 9分从而，. 12分【考点】椎体体积的计算解析二：解析：（1）因为三棱锥为正三棱锥，所以又因为，故三角形为等边三角形，同理可证三角形为等边三角形，故,所以的各边长（2）、由（1）易得该三棱锥是棱长为2的正四面体，如右图所示，过点作交平面于点，联结并延长交于，因为为底面正三角形的中心，所以所以三棱锥的体积为20(1) 因为，所以， 3分得或，且.因此，所求反函数为，或. 6分(2) 当时，定义域为R，故函数是偶函数； 8分当时，定义域为，故函数是奇函数； 11分当且时，定义域关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数. 14分【考点】反函数、函数的奇偶性、分类讨论解析二：解析：（1）若，则，所以的反函数为（2）、当时，是偶函数当时，则，因为，所以函数定义域为，当时，函数定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，当时，因为所以函数为奇函数。综上可知，当时，是偶函数，时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数21(1) 记. 根据已知得，所以， 4分解得. 因此，的长之多约为28.28米. 6分(2) 在 中，由已知，由正弦定理得，解得. 10分在 中，由余弦定理得，解得. 所以，CD的长约为26.93米. 14分【考点】任意角的三角比、正弦定理和余弦定理解析二：解析：（1）设，又，不等式可化为（米）（2）、设，则，在三角形中，由正弦定理可得（1）在三角形中，由正弦定理可得（2）得：，设，则由（米）答：22(1) 因为，所以点被直线分隔. 3分(2) 直线与曲线有公共点的充要条件是方程组有解，即. 因为直线是曲线的分隔线，故它们没有公共点，即.当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔. 故实数的取值范围是. 9分(3) 设的坐标为，则曲线的方程为，即. 11分对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点. 13分又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔.所以轴为曲线的分隔线. 16分【考点】新定义问题、曲线与方程23(1) 由条件得且，解得.所以的取值范围是3, 6. 3分(2) 设的公比为. 由，且，得.因为，所以.从而，解得. 7分时，.所以，的最小值为8，时，的公比为. 9分(3)