实际问题与二次函数-最大利润问题

何时获得最大利润 销售单价是多少时 可以获利最多 何时获得最大利润 例1 某商店经营T恤衫 已知成批购进时单价是2 5元 根据市场调查 销售量与销售单价满足如下关系 在某一时间内 单价是13 5元时 销售量是500件 而单价每降低1元 就可以多售出200件 解 设销售价为x元 x 13 5元 那么 某商店经营T恤衫 已知成批购进时单价是2 5元 根据市场调查 销售量与单价满足如下关系 在一时间内 单价是13 5元时 销售量是500件 而单价每降低1元 就可以多售出200件 销售量可表示为 件 每件T恤衫的利润为 元 所获总利润可表示为 元 当销售单价为元时 可以获得最大利润 最大利润是元 例2 某果园有100棵橙子树 每一棵树平均结600个橙子 现准备多种一些橙子树以提高产量 据经验估计 每多种2棵树 平均每棵树就会少结10个橙子 1 种多少棵橙子树 可以使果园橙子的总产量最多 最多为多少 2 增种多少棵橙子 可以使橙子的总产量在60400个以上 解 假设果园增种2x棵橙子树果园共有 100 2x 棵树 平均每棵树结 600 10 x 个橙子 果园橙子的总产量 y 100 2x 600 10 x 20 x2 10 x 25 500 60000 20 x 5 2 60500 当x 5时 y有最大值 最大值60500 果园种植110棵橙子树时 果园橙子的总产量最大 最大为60500 20 x 200 x 60000 2 增种多少棵橙子 可以使橙子的总产量在60400个以上 故增种6 14棵橙子树可以使橙子的总产量在60400个以上 喷泉与二次函数 例3 龙城公园要建造圆形喷水池 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA O恰在水面中心 OA 1 25m 由柱子顶端A处的喷头向外喷水 水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下 为使水流形状较为漂亮 要求设计成水流在离OA距离为1m处达到最大高度2 25m 1 如果不计其他因素 那么水池的半径至少要多少m 才能使喷出的水流不致落到池外 2 若水流喷出的抛物线形状与 1 相同 水池的半径为3 5m 要使水流不落到池外 此时水流的最大高度应达到多少m 精确0 1m 解 1 如图 建立如图所示的坐标系 根据题意得 A 0 1 25 顶点B 1 2 25 当y 0时 得点C 2 5 0 同理 点D 2 5 0 根据对称性 那么水池的半径至少要2 5m 才能使喷出的水流不致落到池外 设抛物线为y a x 1 2 2 25 由待定系数法可求得抛物线表达式为 y x 1 2 2 25 C 2 5 0 D 2 5 0 由此可知 如果不计其他因素 那么水流的最大高度应达到约3 72m 解 2 根据题意得 A 0 1 25 C 3 5 0 设抛物线为y x h 2 k 由待定系数法求得抛物线为 y x 11 7 2 729 196 C 3 5 0 D 3 5 0 B 1 57 3 72 例4 一块铁皮零件 它形状是由边长为40厘米正方形CDEF截去一个三角形ABF所得的五边形ABCDE AF 12厘米 BF 10厘米 现要截取矩形铁皮 使得矩形相邻两边在CD DE上 请问如何截取 可以使得到的矩形面积最大 解 在AB上取一点P 过点P作CD DE的垂线 得矩形PNDM 延长NP MP分别与EF CF交于Q S 设PQ x厘米 0 x 10 那么PN 40 x 由 APQ ABF 得AQ 1 2x PM EQ EA AQ 28 1 2