同角三角函数的基本关系导学案.doc

同角三角函数的基本关系学习目标:掌握同角三角函数的基本关系式sin2a+cos2a=1, sinacosa=tana,并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明学习重点：公式sin2a+cos2a=1, sinacosa=tana的推导及其应用学习难点：根据角a终边所在象限求出其三角函数值,选择适当的方法证明三角恒等式;公式的变式及灵活运用学习过程：一 探究新知1你还记得任意角的三角函数的定义吗？a为一个任意角，它的终边与单位圆交于点Px,y：则sina ；cosa ；tana 2你记得单位圆中的三角函数线吗？sina ；cosa ；tana 探究：sin2300+cos2300 ， ，tan300 ；sin2450+cos2450 ， ，tan450 ；sin2600+cos2600 ， ，tan600 ；角a的终边经过点3,-4，sin2a+cos2a= ，sinacosa= ，tana 观察计算的结果，你有什么发现吗？新知：同角三角函数关系式：（1）平方关系：sin2a+cos2a=1；（2）商数关系：sinacosa=tanaak0.5kZ注意：注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如sinacosa=tana，ak0.5kZ.对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：， ， 等.3.（1）商数关系tana sinacosa成立角a的范围是 （2）同角三角函数的基本关系式的应用平方关系：sin2a+cos2a=1，可变形为：1-cos2a ，1-sin2a ；sina ，cosa ，其中“”可由 确定4.同角三角函数的基本关系：平方关系sin2a+cos2a=1 商数关系sinacosa=tana公式变形sin2a1-cos2a,sina,cos2a1-sin2a,cosa（正负号由a所在象限决定）,sinacosatana,cosasinatana公式应用“知一求二”：把sina，cosa，tana看作未知数，则两个关系式就成了两个方程，三个未知数中只要知道了一个的值，解方程组就可求出另两个的值。考点归纳考点1.“知一求二”例1 已知sina-35，求cosa，tana的值解：cosa.当，3-4.同理，当变式 ：已知a是三角形的内角，且sinacosa15，求tana的值解：由已知得，代入整理得：，解得.因为是三角形的内角，,所以,所以“知一求二”不但指sina，cosa，tan三者中知一可求二,还指知道一个关于sina，cosa，tana的方程,联立两个关系式就可求出它们的值.考点2.弦切转化例2.已知tana2，求下列式子的值.(1) (2)解:方法一:由”知一求二”可求出sina，cosa然后代入求值.方法二:弦化切,在(1)的分子分母中同时除以cosa，则(1) 原式3，(2) 原式方法三：由已知得，sina2cosa,则原式，同理可求（1）的值弦化切得前提是：要求值的式子是分式，且分子分母都是关于sina，cosa的齐次式，这里要注意“1”的变形.这是一种转化思想。练习.已知tana-43，求下列式子的值.（1）(2)考点3：三角恒等式的证明例3.求证：方法一：从分子看，要将左边的cosx化为右边的1sinx，就要实现正弦与余弦的转化，要用平方关系，所以左边分子分母同时乘以cosx，左边=右边，所以原式成立方法二：原式等价于：cos2x1sinx1-sinx,即cos2x1-sin2x 它是平方关系的变形，证明如下：由cos2x1-sin2x得，cos2x1sinx1-sinx,两边同时除以cosx1-sinx，得三角恒等式的证明关键是转化思想，包括正弦与余弦的转化；弦切的互化；“1= sin2a+cos2a=1”的应用.练习.求证：考点4. sina+cosa ，sina-cosa ，sinacosa的关系应用 由于sinacosa21+2sinacosa,sina-cosa21-2sinacosa,所以在sinacosa , sina-cosa ,sinacosa三个式子中只要知道其中任意一个的值，就可求另两个的值，也称“知一求二”.例4.已知sinacosa，求sina-cosa的值解：sinacosa21+2sinacosa，21+2sinacosa,sinacosa，sina-cosa21-2sinacosa95，所以sinacosa，练习：已知sinacosa151求sinacosa的值，2若ap，求+的值思想方法提升：本节有四种题型：1“知一求二”；2弦切转化；3三角恒等式的证明；4sinacosa，sina-cosa，sinacosa的关系应用，其中1和4的本质是方程思想，2和3的关键是转化思想二 课内自测1.（ ） A B CD角a（0a2）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异那么a的值为（ ）A B C D或 已知sin=，(，2)，则tan等于（ ）A. B. C. D.已知，是第四象限角，则的值是（ ）A B C D若tan=，且，则sin=（ ） A. B. C. B. 若，则（）A1 B -1 C D若sin4acos4a1，则sinacosa的值为( ) A 0 B 1 C 1 D 12.化简的结果为 ；若 .下列说法正确的有 A sin2+cos2+1 B sin2 2a+cos2 2a1 C sin2+cos21D cos500tan500sin500 E tan900sin900cos900 F cos20.5a1-sin20.5a已知(，2)，tan=12，则=_已知，则_3.解答题1已知，且是第二象限角，求、的值2已知，求的值3已知，且a是第二象限角，求sina，cosa的值4已知sina-cosa1800a2700求tana的值5已知sina，且a在第三象限，求cosa和tana6已知cosa，求sina，tana的值7已知tana，求sin2a，sinacosa的值.8已知，求的值.9已知，求的值.10化简三 课堂达标1.cosa=45，a（0，），则tana=（ ）A43 B34C43 D34若tana=，且，则sina=（ ）A. -12 B. -2 C. 12 B. 2若，则tana（）A1B -1C34D-43已知sina+3cosa0，则a所在的象限是（ ）象限 A、第一 B、第二 C、第一、三 D、第二、四已知A是三角形的一个内角，sinAcosA=23,则这个三角形是（ ） A锐角三角形 B钝角三角形 C不等腰直角三角形 D等腰直角三角形已知sinacosa=18,则cosasina的值等于（ ）A34 B2 C2 D-2化简的结果为（ ）A B C D若sina，cosa是方程4x2+2mx+m=0的两根，则m的值为（ ）ABCD2. 化简： 若10，则tana的值为 化简sin2a+sin2B-sin2asin2B+cos2acos2B=若，则 ；已知0a，sinacosa=-1225，则cosa-sina= 已知是第三象限角，且sin4+cos4=59，则sincos= 如果角满足sin+cos=，那么tan+的值是 若sina，cosa是方程x2+kx-k=0的两根，则k的值为 3解答题（1）已知，且为第四象限角，求和（2）已知，求和（3）化简： （4）已知tana=2，求下列各式的值： sinacosa （5）已知sinB+cosB15，且0B，求sinBcosB、sinB-cosB的值； 求sinB、cosB、tanB的值（6）已知2，求下列各式的值：（1） （2）（7）