广东省江门市2015-2016学年高二下期末数学试卷（理科）含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年广东省江门市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，表示复数 2 3i（ i 是虚数单位）的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（ ） A 720 B 648 C 103 D 310 3设某大学的女生体重 y（单位： 身高 x（单位： 有线性相关关系，根据一组样本数据（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 =下列结论中不正确的是（ ） A若该大学某女生身高为 170她的体重必为 y 与 x 具有正的线性相关关系 C回归直线过样本点的中心（ ， ） D身高 x 为解释变量，体重 y 为预报变量 4执行如图所示的程序框图，输出 S=（ ） A 14 B 16 C 30 D 62 5平面直角坐标系中，直线 x 2y+3=0 的一个方向向量是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 6二项式（ x 1） 10 的展开式中的第六项的系数是（ ） A 天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是 甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，则其中至少一个地方降雨的概率为（ ） A 函数 f（ x） =12x（ x R）的极大值点是（ ） A 2 B 2 C（ 2， 16） D（ 2， 16） 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 17 页） A B C 32 D 16 10 椭圆 + =1 的焦点， P 是椭圆上任意一点， 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 11设函数 f（ x） =1+|x|） ， x R，则 f（ x）零点的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位 分数 1 可以分拆为若干个不同的单位分数之和： 1= + + ， 1= + + + ， 1= + + + + ， ， 依此类推可得： 1= + + + + + + + + + + + + ，其中， m、 n N*，则 ） A 228 B 240 C 260 D 273 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13化简：（ 1+ ） 5+（ 1 ） 5= 14某射手每次射击击中目标的概率是 名射手在 5 次射击中，恰有 4 次击中目标的概率 P= 15小赵，小钱，小孙，小李四位同学被问到谁去过长城时， 小赵说：我没去过； 小钱说：小李去过； 小孙说； 小钱去过； 小李说：我没去过 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是 16根据定积分的性质和几何意义， x 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 第 3 页（共 17 页） 17 复平面内的平行四边形， A、 B、 C 三点对应的复数分别是 1+3i、 i、 2+i （ ）求点 D 对应的复数； （ ）求 边 的高 18在数列 ， ， = （ n N*） （ ）计算 （ ）试猜想这个数列的通项公式，并给出证明 19本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ，；两人租车时间都不会超过四小时 （ ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率 （ ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 20如图，在四棱锥 P ，底面 菱形，且 20点 E 是棱 中点，平面 棱 于点 F （ ）求证： （ ）若 D=，且平面 平面 平面 平面 成的二面角的正弦值 21已知函数 f（ x） =+c（ a 0）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=x 1 （ 1）用 a 表示出 b， c； （ 2）若 f（ x） 1， +）上恒成立，求 a 的取值范围 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答题请写清题号 选修 222已知命题 p：方程 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，命题 q：对任意实数 x 不等式m+3 0 恒成立 （ ）若 “ q”是真命题，求实数 m 的取值范围； （ ）若 “p q”为假命题， “p q”为真命题，求实数 m 的取值范围 选修 2第 4 页（共 17 页） 23一边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒 （ 1）试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数； （ 2） x 多大时，方盒的容积 V 最大？ 选修 224为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，随机调查了某市 300 名高中学生，得到下面的数据表： 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 合计 男 45 75 120 女 45 a 180 合计 90 b 300 （ ） 求数表中 a， b 的值； 用分层抽样方法从 “喜欢数学课程 ”和 “不喜欢数学课程 ”两类同学中随机抽取一个容量为10 的样本，则应从 “喜欢数学课程 ”的同学中抽取几人？ （ ）根据调查结果，能否有 把握认为是否喜欢数学课程与性别有关？ 第 5 页（共 17 页） 2015年广东省江门市高二（ 下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1在复平面内，表示复数 2 3i（ i 是虚数单位）的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义 【分析】 根据复数的几何意义求出对应点的坐标即可 【解答】 解：复数 2 3i（ i 是虚数单位）对应的点的坐标为（ 2， 3）位于第四象限， 故选： D 2用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成没有重复数字的三位数 的个数是（ ） A 720 B 648 C 103 D 310 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 用间接法，先用排列公式计算在 0 到 9 这 10 个数字中，任取 3 个数字，按从左到右的顺序排列的排法数目，再排除其中不能组成三位数的即第一个数字为 0 的情况，即可得答案 用直接法，先确定百位，再确定十位和个位，根据分步计数原理可得 【解答】 解：间接法：在 0 到 9 这 10 个数字中，任取 3 个数字，按从左到右的顺序排列，有 20 种排法， 其中不能组成三位数的即第一个数字为 0 的有 2 种排法； 故可以组 成没有重复数字的三位数一共有 720 72=648 个； 直接法：选一个数字为百位数字，十位和个位任意排，故有 48 种， 故选： B 3设某大学的女生体重 y（单位： 身高 x（单位： 有线性相关关系，根据一组样本数据（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 =下列结论中不正确的是（ ） A若该大学某女生身高为 170她的体重必为 y 与 x 具有正的线性相 关关系 C回归直线过样本点的中心（ ， ） D身高 x 为解释变量，体重 y 为预报变量 【考点】 回归分析 【分析】 根据回归方程 =其意义，对选项中的命题进行分析、判断即可 【解答】 解：回归方程 =， 第 6 页（共 17 页） 当 x=170， =170 即大学某女生身高为 170的体重应在 右， A 不正确； =0，是正相关， B 正确； 回归直线过样本点的中心（ ， ）， C 正确； 身高 x 为解释变量，体重 y 为预报变量， D 正确 故选： A 4执行如图所示的程序框图，输出 S=（ ） A 14 B 16 C 30 D 62 【考点】 程序框图 【分析】 框图首先给循环变量 k 和累加变量 S 赋值，然后判断 k 5 是否成立，成立则执行S=S+2k， k=k+1，依次循环，不成立则跳出循环，输出 S 的值，算法结束 【解答】 解：模拟执行程序，可得 k=1， S=0 满足条件 k 5，执行循环体， S=2， k=2 满足条件 k 5，执行循环体， S=6， k=3 满足条件 k 5，执行循环体， S=14， k=4 满足条件 k 5，执行循环体， S=30， k=5 不满足条件 k 5，退出循环，输出 S 的值为 30 故选： C 5平面直角坐标系中，直线 x 2y+3=0 的一个方向向量是（ ） A（ 1， 2） B（ 2， 1） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 【考点】 平面向量的正交分解及坐标表示；直线的斜率 【分析】 求出直线 x 2y+3=0 的斜率 k，即可写出该直线的一个方向向量（ 1， k） 【解答】 解：直线 x 2y+3=0 的斜率为 k= ， 所以该直线的一个方向向量是（ 1， ）， 第 7 页（共 17 页） 可化为（ 2， 1） 故选： B 6二项式（ x 1） 10 的展开式中的第六项的系数是（ ） A 考点】 二项式系数的性质 【分析】 直接利用二项式定理展开式，求出二项式（ x 1） 10 的展开式中的第六项的系数 【解答】 解：二项式（ x 1） 10 的展开式中的第六项的系数： = 故选 D 7天气预报，端午节假期甲、乙、丙三地 降雨的概率分别是 甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响，则其中至少一个地方降雨的概率为（ ） A 考点】 互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 求出甲、乙、丙三地都不降雨的概率，根据对立事件，求出至少一个地方降雨的概率即可 【解答】 解： 甲、乙、丙三地降雨的概率分别是 甲、乙、丙三地不降雨的概率分别是 甲、乙、丙三地都不降雨的概率是 故至少一个地方降雨的概率为 1 故选： D 8函数 f（ x） =12x（ x R）的极大值点是（ ） A 2 B 2 C（ 2， 16） D（ 2， 16） 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 求导数便可得出 f（ x） =312，容易看出 x= 2 为方程 f（ x） =0 的解，从而可判断导函数的符号，进而得出该函数的极大值点 【解答】 解： f（ x） =312； x 2 时， f（ x） 0， 2 x 2 时， f（ x） 0， x 2 时， f（ x） 0； x= 2 是 f（ x）的极大值点 故选 A 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A B C 32 D 16 第 8 页（共 17 页） 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可得此几何体为三棱锥，且可得到底面面积和体高，从而求体积 【解答】 解；此几何体为三棱锥， 底面面积 S= 4 4=8， 体高为 4，则此几何体的体积为 V= S 4= 故答案为： A 10 椭圆 + =1 的焦点， P 是椭圆上任意一点， 的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 首先，由椭圆的方程求出焦点坐标，然后，设出椭圆的三角式，代入求解，即可得出答案 【解答】 解： 椭圆 + =1 的焦点， 1， 0）， 1， 0）， P 是椭圆上任意一点，设 P（ 2 （ 0 2）， =（ 1 2 （ 1 2 ） =4+3+3， 即 的最大值为 3 故选： C 11设函数 f（ x） =1+|x|） ， x R，则 f（ x）零点的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 本题即求函数 y=1+|x|）与函数 y= 的交点的个数，数形结合得出结论 【解答】 解：函数 f（ x） =1+|x|） ， x R 的零点的个数，即函数 y=1+|x|）与函数 y= 的交点的个数， 由于这两个都是偶函数，且在（ 0， +）上，函数 y=1+|x|） =1+x）单调递增，与函数 y= 单调递减， 如图所示： 函数 y=1+|x|）与函数 y= 的交点的个数我 2， 第 9 页（共 17 页） 故选： B 12分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数 1 可以分拆为若干个不同的单位分数之和： 1= + + ， 1= + + + ， 1= + + + + ， ， 依此类推可得： 1= + + + + + + + + + + + + ，其中， m、 n N*，则 ） A 228 B 240 C 260 D 273 【考点】 归纳推理 【分析】 由题意， m=13， n=4 5=20，即可得出结论 【解答】 解：由题意， m=13， n=4 5=20， 3 20=260， 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13化简：（ 1+ ） 5+（ 1 ） 5= 2+20x+10 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 利用二项式定理展开即可得出 【解答】 解： 原式 =1+ + + + + +1+ + =2+20x+10 故答案为： 2+20x+10 第 10 页（共 17 页） 14某射手每次射击击中目标的概率是 名射手在 5 次射击中，恰有 4 次击中目标的概率 P= 【考点】 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 【分析】 利用 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率计算公式，计算求得结果 【解答】 解：某射手每次射击击中目标的概率是 名射手在 5 次射击中，恰有 4 次击中目标的概率 P= 故答案为： 15小赵，小钱，小孙，小李四位同学被问到谁去过长城时， 小赵说：我没去过； 小钱说：小李去过； 小孙说；小钱去过； 小李说：我没去过 假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是 小钱 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 利用 3 人说真话， 1 人说假话，验证即可 【解答】 解：如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意； 如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙，小李说真话，满足题意； 故 答案为：小钱 16根据定积分的性质和几何意义， x 【考点】 定积分 【分析】 首先利用定积分的可加性将所求写成两个定积分的差的形式，然后分别按照几何意义和求原函数的方法求定积分 【解答】 解：已知 x ， 定积分 表示以（ 1， 0）为圆心， 1 为半径的 圆，所以= ， ， 所以所求定积分为 ； 故答案为： 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17 复平面内的平行四边形， A、 B、 C 三点对应的复数分别是 1+3i、 i、 2+i （ ）求点 D 对应的复数； （ ）求 边 的高 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义；点到直线的距离公式 第 11 页（共 17 页） 【分析】 （ ）求出复平面内 A、 B、 C 对应点的坐标分别为，设 D 的坐标为（ x， y），由列式解 得 x， y 的值，得到 D 的坐标，求出 D 对应的复数； （ ）求出 线的方程为，由点到直线的距离公式求出 A 到 线的距离，则 上的高可求 【解答】 解：（ ）复平面内 A、 B、 C 对应点的坐标分别为（ 1， 3），（ 0， 1），（ 2， 1） ， 设 D 的坐标为（ x， y）， 由 ，得（ x 1， y 3） =（ 2， 2） ， x 1=2， y 3=2， 解得 x=3， y=5， 故 D（ 3， 5） ， 则点 D 对应的复数为： 3+5i； （ ） B（ 0， 1）， C（ 2， 1）， 线的方程为： x y 1=0， A 到 线的距离 ， 故 上的高为 18在数列 ， ， = （ n N*） （ ）计算 （ ）试猜想这个数列的通项公式，并给出证明 【考点】 数列递推式 【分析】 （ ）由 ， = ，代入 计算，可求 （ ）猜想 通项公式；用数学归纳法证明，关键是假设当 n=k（ k 1）时，命题成立，利用递推式，证明当 n=k+1 时，等式成立或证明 是以 为首项， 为公差的等差数列 【解答】 解：（ ）依题意， ， ， （ ）猜想 （方法一 数学归纳法） 当 n=， 2 或 3）时，由（ ）知，猜想成立 假设当 时， 则当 n=k+1 时， 猜想也成立 第 12 页（共 17 页） 综上所述，对于一切 n N*， （方法二）由 与 得，对于一切 n N*， 0 两边取倒数得 故 ，从而 是以 为首项， 为公差的等差数列 ， 故 19本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元（不足 1 小时的部分按 1 小时计算）有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ，；两人租车时间都不会超过四小时 （ ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率 （ ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式 【分析】 （ ）首先求出两个人租车时间超过三小时的概率，甲乙两人所付的租车费用相同即租车时间相同：都不超过两小时、都在两小时以上且不超过三小时和都超过三小时三类求解即可 （ ）随机变量 的所有 取值为 0， 2， 4， 6， 8，由独立事件的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可 【解答】 解：（ ）甲乙两人租车时间超过三小时的概率分别为： ， 甲乙两人所付的租车费用相同的概率 p= （ ）随机变量 的所有取值为 0， 2， 4， 6， 8 P（ =0） = = P（ =2） = = P（ =4） = = P（ =6） = = 第 13 页（共 17 页） P（ =8） = = 数学期望 = 20如图，在四棱锥 P ，底面 菱形，且 20点 E 是棱 中点，平面 棱 于点 F （ ）求证： （ ）若 D=，且平面 平面 平面 平面 成的二面角的正弦值 【考点】 二面角的平面角及 求法；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）推导出 而 面 此能证明 （ ）取 点 G，连接 G 为原点， 在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 G 用向量法能求出平面 平面 成的二面角的正弦值 【解答】 证明：（ ） 底面 菱形， 又 面 又 A， B， E， F 四点共面，且平面 面 F， 解：（ ）取 点 G，连接 D， 又 平面 平面 平面 面 D， 平面 菱形 ， D， 0， G 是 点， 如图，以 G 为原点， 在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 G 由 D= 得， G（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， ， ， D（ 1， 0， 0）， 又 E 是棱 点， 点 F 是棱 点， ， ， ， 设平面 法向量为 ， 则有 ， ， 不妨令 x=3，则平 面 一个法向量为 ， 平面 是平面 一个法向量， 第 14 页（共 17 页） ， 平面 平面 成的二面角的正弦值为： 21已知函数 f（ x） =+c（ a 0）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=x 1 （ 1）用 a 表示出 b， c； （ 2）若 f（ x） 1， +）上恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题 【分析】 （ ）根据导数的几何意义求出函数 f（ x）在 x=1 处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数 f（ x）的图象上，建立方程组，解之即可； （ ）先构造函数 g（ x） =f（ x） +1 2a x 1， +），利用导 数研究 g（ x）的最小值，讨论 a 的范围，分别进行求解即可求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） ， 则有 ， 解得 （ ）由（ ）知， ， 令 g（ x） =f（ x） +1 2a x 1， +） 则 g（ 1） =0， （ i）当 ， 若 ，则 g（ x） 0， g（ x）是减函数， 所以 g（ x） g（ 1） =0， f（ x） f（ x） 1， +）上恒不成立 第 15 页（共 17 页） （ 时， 若 f（ x） 当 x 1 时， f（ x） 上所述，所求 a 的取值范围为 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答题请写清题号 选修 222已知命题 p：方程 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，命题 q：对任意实数 x 不等式m+3 0 恒成立 （ ）若 “ q”是真命题，求实数 m 的取值范围； （ ）若 “p q”为假命题， “p q”为真命题，求实数 m 的取值范围 【考点】 复合命题的真假 【分析】 （ ）先求出命题 q 的等价条件，根据 “ q”是真命题，即可求实数 m 的取值范围； （ ）若 “p q”为假命题， “p q”为真命题，则 p， q 只有一个为真命题，即可求实数 m 的取值范围 【解答】 解：（ ）因为对任意实数 x 不等式 m+3 0 恒成立， 所以 =44（ 2m+3） 0，解得 1 m 3， 又 “ 真命题等价于 “q”是假命题， 所以所求实数 m 的取值范围是（ ， 1 3， +） （ ） 方程 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆， 0 m 2， “p q”为假命题， “p q”为真命题， p， q 为一个是真命题，一个是假命题， ，无解 ， ， 综上所述，实数 m 的取值范围是（ 1， 0 2， 3） 选修 223一边长为 a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒 （ 1）试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数； （ 2）