2016年天津市河北区高考数学三模试卷（文科）含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年天津市河北区高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1集合 A=x|（ x 1）（ x+2） 0， B=x|x 0，则 A B=（ ） A（ ， 0 B（ ， 1 C 1， 2 D 1， +） 2运行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则判断框中应填入的条件是（ ） A i 4？ B i 4？ C i 5？ D i 5？ 3一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6 个表面的距离均大于 1，称其为 “安全飞行 ”，则蜜蜂 “安全飞行 ”的概率为（ ） A B C D 4若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A 24 B 40 C 36 D 48 5下列结论错误的是（ ） A若 “p q”为假命题，则 p， q 均为假命题 B “a b”是 “充分不必要条件 C命题： “ x R， x 0”的否定是 “ x R， x 0” D命题： “若 3x+2=0，则 x=2”的逆否命题为 “若 x 2，则 3x+2 0” 6函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ，则函数 f（ x）的单调递增区间为（ ） 第 2 页（共 19 页） A ， （ k Z） B ， （ k Z） C ， （ k Z） D ， （ k Z） 7双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点是抛物线 x 焦点 F，两曲线的一个公共点为 P，且 |5，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 8已知函数 ，则下列关于函数 y=ff（ x） +1 的零点个数的判断正确的是（ ） A当 k 0 时，有 3 个零点；当 k 0 时，有 2 个零点 B当 k 0 时，有 4 个零点；当 k 0 时，有 1 个零点 C无论 k 为何值，均有 2 个零点 D无论 k 为何值，均有 4 个零点 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知 i 为虚数单位，复数 = 10从分别写有 1， 2， 3， 4， 5 的五张卡片中任取两张，求这两张卡片上的数字和 为偶数的概率为 11已知 于点 C 和 D， 的点 P 处的切线交 A、 B 点，交直线点 E， M 是 的一点，若 ， ， 0，那么 半径为 12已知 a 0， b 0 满足 a+b=3，那么 a+2b 的最小值为 13已知 边长为 2 的正三角形， 外接圆 O 的一条直径， M 为 边 上的动点，则 的最大值为 14设函数 f（ x）与 g（ x）是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若对任意的 x a， b，都有 |f（ x） g（ x） | 1，则称 f（ x）与 g（ x）在 a， b上是 “密切函数 ”，区间 a， b称为 “密切区间 ”若 f（ x） = g（ x） = 在 ， e上是 “密切函数 ”，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 第 3 页（共 19 页） 15在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 a c若 ， ， b=3 （ ）求 a 和 值； （ ）求 2C+ ）的值 16某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9万元甲、乙 电视台的广告收费标准分别为 500 元 /分钟和 200 元 /分钟甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 元和 元设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟 （ ）用 x， y 列出满足条件的数学关系式，并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域； （ ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，最大收益是多少？ 17如图，四棱锥 P ，底面 梯形， 0， D=2面 底面 等腰直角三角形， 0， M 为 中点 （ ）求证： （ ）求证： 平面 （ ）求 平面 成角的大小 18已知数列 足 ， =2n N*）， 其前 n 项和数列 等差数列，且 b1=3 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ， Tn=c1+c2+证： 第 4 页（共 19 页） 19已知圆 E： y ） 2= 经过椭圆 C： + =1（ a b 0）的左右焦点 与椭圆 C 在第一象 限的交点为 A，且 E， A 三点共线，直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，且 = （ 0） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）当三角形 面积取得最大值时，求直线 l 的方程 20已知函数 f（ x） =ax+b 示的曲线在点（ 2， f（ 2）处的切线方程 x 2y 2 （ 1）求 a， b 的值； （ 2）若 f（ x） 2 对于 x （ 0， +）恒 成立，求实数 k 的取值范围； （ 3）求证： n N*时， n（ n+1） 2 第 5 页（共 19 页） 2016 年天津市河北区高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1集合 A=x|（ x 1）（ x+2） 0， B=x|x 0，则 A B=（ ） A（ ， 0 B（ ， 1 C 1， 2 D 1， +） 【考点】 并集及其运算 【分析】 通过解二次不等式求出集合 A，求出 B 的补集，然后求解 它们的并集 【解答】 解：因为集合 A=x|（ x 1）（ x+2） 0=x|1 x 2， 所以 B=x|x 0 所以 A B=x|x 1， 故选 B 2运行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则判断框中应填入的条件是（ ） A i 4？ B i 4？ C i 5？ D i 5？ 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出变量 P 的值，要确定进入循环的条件，可模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： i=1， T=0， P=15 满足判断框内的条件，执行循环体， i=2， T=1， P=5 满足判断框内的条件，执行循环体， i=3， T=2， P=1 满足判断框内的条件，执行循环体， i=4， T=3， P= 满足判断框内的条件，执行循环体， i=5， T=4， P= 此时，由题意，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的结果为 ， 第 6 页（共 19 页） 即 i=5 时退出循环，故继续循环的条件应为： i 5？ 故选： D 3一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6 个表面的距离均大于 1，称其为 “安全飞行 ”，则蜜蜂 “安全飞行 ”的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 小蜜蜂的安全飞行范围为：以这个正方体的中心为中心且棱长为 1 的正方体内这个小正方体的体积为大正方体的体积的 ，故安全飞行的概率为 【解答】 解：由题知小蜜蜂的安全飞行范围为： 以这个正方体的中心为中心且边长为 1 的正方体内 这个小正方体的体积为 1， 大正方体的体积为 27， 故安 全飞行的概率为 p= 故选 C 4若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ） A 24 B 40 C 36 D 48 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为三棱柱切去两个小棱锥得到的，用棱柱的体积减去两个小棱锥的体积即可 【解答】 解：由三视图可知该几何体为三棱柱切去两个大小相等的小棱锥得到的， 三棱柱的底面为侧视图中三角形，底面积 S= =6，三棱柱的高 h=8， V 三棱柱 =8， 切去的小棱锥的底面与棱柱的底面相同，小棱锥的高 h=2， V 棱锥 = 4， 几何体的体积 V=V 三棱柱 2V 棱锥 =48 2 4=40 故选： B 5下列结论错误的是（ ） A若 “p q”为假命题，则 p， q 均为假命题 B “a b”是 “充分不必要条件 C命题： “ x R， x 0”的否定是 “ x R， x 0” D命题： “若 3x+2=0，则 x=2”的逆否命题为 “若 x 2，则 3x+2 0” 第 7 页（共 19 页） 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据 p q 的真假判断，一真即真，全假为假，判断 A； c=0 时，由 “a b”不能得出 “即可判断 B； 根据命题 “ x R， x 1 0”是特称命题，其否定为全称命题，即 x R， x 1 0，即可判断 C 根据命题 “若 p，则 q”的逆否命题是 “若 q，则 p”，判断 D 【解答】 解：根据 p q 的真假判断，一真即真，全假为假，利用 “p q”为假命题，则 p， 确； c=0 时 ，由 “a b”不能得出 “不正确； 命题： “ x R， x 0”是特称命题， 否定命题是 “ x R， x 0”，正确； 根据命题 “若 p，则 q”的逆否命题是 “若 q，则 p”，可得命题： “若 3x+2=0，则 x=2”的逆否命题为 “若 x 2，则 3x+2 0”，正确， 故选： B 6函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ，则函数 f（ x）的单调递增区间为（ ） A ， （ k Z） B ， （ k Z） C ， （ k Z） D ， （ k Z） 【考点】 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性 【分析】 根据余弦函数的周期性求得 ，再利用余弦函数的单调性求得函数 f（ x）的单调递增区间 【解答】 解： 函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ， =， =2， f（ x） =2x ）， 令 2 2x 2， k Z，解得 x ， k Z， 则函数 f（ x）的单调递增区间为 ， （ k Z）， 故选： A 7双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点是抛物线 x 焦点 F，两曲线的一个公共点为 P，且 |5，则此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得 c=2，根据抛物线的定义可以求出 P 的坐标，运用双曲线的定义求得 2a=2，然后求得离心率 e 【解答】 解：抛物线 x 焦点 F（ 2， 0），准线方程为 x= 2， 第 8 页（共 19 页） 设 P（ m， n）， 由抛物线的定义可得 |m+2=5， 解得 m=3， 则 4，即有 P（ 3， 2 ）， 可得左焦点 F为（ 2， 0）， 由双曲线的定义可得 2a=| | =7 5=2，即 a=1， 即有 e= =2 故选 C 8已知函数 ，则下列关于函数 y=ff（ x） +1 的零点个数的判断正确的是（ ） A当 k 0 时，有 3 个零点；当 k 0 时，有 2 个零点 B当 k 0 时，有 4 个零点；当 k 0 时，有 1 个零点 C无论 k 为何值，均有 2 个零点 D无论 k 为何值，均有 4 个零点 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 因为函数 f（ x）为分段函数，函数 y=f（ f（ x） +1 为复合函数，故需要分类讨论，确定函数 y=f（ f（ x） +1 的解析式，从而可得函数 y=f（ f（ x） +1 的零点个数； 【解答】 解：分四种情况讨论 （ 1） x 1 时， 0， y=f（ f（ x） +1=+1， 此时的零点为 x= 1； （ 2） 0 x 1 时， 0， y=f（ f（ x） +1=，则 k 0 时，有一个零点， k 0 时， 0 没有零点； （ 3）若 x 0， 0 时， y=f（ f（ x） +1=k+1，则 k 0 时， 1， k，可得 k 0， y 有一个零点， 若 k 0 时，则 k 0， y 没有零点， （ 4）若 x 0， 0 时， y=f（ f（ x） +1=） +1，则 k 0 时，即 y=0 可得 = ，y 有一个零点， k 0 时 0， y 没有零点， 综上可知，当 k 0 时，有 4 个零点；当 k 0 时，有 1 个零点； 故选 B 第 9 页（共 19 页） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9已知 i 为虚数单位，复数 = 3+i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： = 故答案为： 3+i 10从分别写有 1， 2， 3， 4， 5 的五张卡片中任取两张，求这两张卡片上的数字和为偶数的概率为 【考点】 等可能事件的概率；组合及组合数公式 【 分析】 本题考查的知识点是古典概型的概率公式，我们可以求出从五张卡片中任取两张的所有基本事件个数，再求出两张卡片上的数字和为偶数的基本事件个数，代入古典概型公式，即可求解 【解答】 解：从五张卡片中任取两张的所有基本事件共有： （ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（ 2， 3）， （ 2， 4），（ 2， 5），（ 3， 4），（ 3， 5），（ 4， 5）共 10 种情况， 其中 两张卡片上的数字和为偶数的基本事件有： （ 1， 3），（ 1， 5），（ 2， 4），（ 3， 5）共 4 种情况， 故两张卡片上的数字和为偶数的概率 P= = 故答案为： 11已知 于点 C 和 D， 的点 P 处的切线交 A、 B 点，交直线点 E， M 是 的一点，若 ， ， 0，那么 半径为 3 【考点】 圆与圆的位置关系及其判定 【分析】 根据切割线定理和割线定理，证出 A入题中数据解得 ，从而得到 再在 利用正弦定理加以计算，即可得出 半径 【解答】 解： 点 P， C 两条割线， D=B A 22=1 ， 因此， B ， 0，设 半径为 R， 由正弦定理，得 ，即 2R= ，解之得 R=3 故答案为： 3 第 10 页（共 19 页） 12已知 a 0， b 0 满足 a+b=3，那么 a+2b 的最小值为 4 +3 【考点】 基本不等式 【分析】 由题意，利用已知条件将 a+2b 化成关于 b 的式子，变形转化，利用均值不等式求出其范围，找到最小值，注意取 “=”条件 【解答】 解：因为 a+b=3， 所以 a=b+3， 又因为 a 0， b 0， 所以 a= ， 所以 a+2b= +2b= = +2（ b 1） +3 2+3=4 +3，当且仅当 =2（ b 1）即 b= 时取 “=”， 所以答案为： 4 +3 13已知 边长为 2 的正三角形， 外接圆 O 的一条直径， M 为 边上的动点，则 的最大值为 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 首先，建立平面直角坐标系，然后，对点 M 的取值情况分三种情形进行讨论，然后，求解其最大值 【解答】 解：如下图所示，以边 在直线为 x 轴，以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系， 该正三角形 边长为 2 ， A（ ， 0）， B（ ， 0）， C（ 0， 3）， E（ 0， 1）， F（ 0， 3）， 当点 M 在边 时，设点 M（ 0），则 ， =（ 1）， =（ 3）， = ， ， 的最大值为 3， 当点 M 在边 时， 直线 斜率为 ， 直线 方程为： ， 设点 M（ 3 则 0 ， =（ 4）， =（ =24 ， 0 ， 的最大值为 0， 当点 M 在边 时， 直线 斜率为 ， 直线 方程为： ， 设点 M（ 3+ 则 0， 第 11 页（共 19 页） =（ 4）， =（ = 44 ， 0， 的最 大值为 3， 综上，最大值为 3， 故答案为： 3 14设函数 f（ x）与 g（ x）是定义在同一区间 a， b上的两个函数，若对任意的 x a， b，都有 |f（ x） g（ x） | 1，则称 f（ x）与 g（ x）在 a， b上是 “密切函数 ”，区间 a， b称为 “密切区间 ”若 f（ x） = g（ x） = 在 ， e上是 “密切函数 ”，则实数 m 的取值范围是 e 【考点】 函数与方程的综合运用 【分析】 由 “e 度和谐函数 ”，得到对任意的 x ， e，都有 |f（ x） g（ x） | 1，化简整理得 m e m+e， 令 h（ x） =（ x e），求出 h（ x）的最值，只要 m 1 不大于最小值，且 m+1 不小于最大值即可 【解 答】 解： 函数 f（ x） = g（ x） = 在 ， e， 对任意的 x ， e，都有 |f（ x） g（ x） | 1， 即有 | 1，即 m 1 m+1， 第 12 页（共 19 页） 令 h（ x） =（ x e）， h（ x） = = ， x 1 时， h（ x） 0， x 1 时， h（ x） 0， x=1 时， h（ x）取极小值 1，也为最小值， 故 h（ x）在 ， e上的最小值是 1，最大值是 e 1 m 1 1 且 m+1 e 1， e 2 m 2 故答案为： e 2， 2 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且 a c若 ， ， b=3 （ ）求 a 和 值； （ ）求 2C+ ）的值 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 （ ）由条件利用余弦定理，解方程组求得 值 （ ）利用同角三 角函数的基本关系求得 值，利用二倍角公式、两角和差的三角公式求得 2C+ ）的值 【解答】 解：（ ） ， ， ， b=3， a c， 由余弦定理得， 9=a2+26 ，解得 ， = （ ）由（ ）利用同角三角函数的基本关系可得 = ， = 1= 2C+ ） = 16某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元 /分钟和 200 元 /分钟甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能 给公司带来的收益分别为 元和 元设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟 （ ）用 x， y 列出满足条件的数学关系式，并在坐标系中用阴影表示相应的平面区域； 第 13 页（共 19 页） （ ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，最大收益是多少？ 【考点】 简单线性规划的应用 【分析】 （ I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域； （ 出目标函数 z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最 优解得出最大收益 【解答】 解：（ ）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 x 分钟和 y 分钟， 则 x， y 满足的数学关系式为 ，即 ， 作出二元一次不等式组所表示的平面区域： （ ）设公司的收益为 z 元，则目标函数为： z=3000x+2000y y= 由图可知，当直线 y= 经过可行域上的点 A 时，截距 最大，即 z 最大 解方程组 得 A， 第 14 页（共 19 页） 000 100+2000 200=700000 答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收益最大，最大收益是 70 万元 17如图，四棱锥 P ，底面 梯形， 0， D=2面 底面 等腰直角三角形， 0， M 为 中点 （ ）求证： （ ）求证： 平面 （ ）求 平面 成角的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ ）取 中点 G，连结 导出 而 平面 此能证明 （ ）取 中点 N，连结 导出四边形 平行四边形，由 此能证明平面 （ ）推导出 底面 平面 成的角，由此能求出 成的角 【解答】 （本小题满分 13 分） 证明：（ ）取 中点 G，连结 等腰直角三角形，且 0， D， D，且 0， 等边三角形 G=G， 平面 （ ）取 中点 N，连结 M， N 分别是 中点， 又 ， D 四边形 平行四边形 又 平面 面 平面 解：（ ） 侧面 底面 面 面 D，又 第 15 页（共 19 页） 底面 平面 成的角 设 CD=a，则 PG=a， 在 ， ， 0 平面 成的角为 30 18已知数列 足 ， =2n N*）， 其前 n 项和数列 等差数列，且 b1=3 （ ）求数列 通项公式； （ ）设 ， Tn=c1+c2+证： 【考点】 数列的求和 【分析】 （ I）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出； （ 用 “裂项求和 ”方法与数列的单调性即可证明 【解答】 解：（ ）由已知得 =2， 数列 以为 1 首项， 2 为公比的等比数列 n 1 设等差数列 公差为 d， b1=， 3=1+2+22=7， 7=1+3d，解得 d=2 +2（ n 1） =2n 1 （ ）证明：由（ ）得设 = = ， + + = ， 数列 单调递增， 第 16 页（共 19 页） 19已知圆 E： y ） 2= 经过椭圆 C： + =1（ a b 0）的左右焦点 与椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 E， A 三点共线，直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，且 = （ 0） （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）当三角形 面积取得最大值时，求直线 l 的方程 【考点】 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题意把焦点坐标代入圆的方程求出 c，再由条件得 圆 E 的直径求出|3，根据勾股定理求出 |根据椭圆的定义和 a2=b2+次求出 a 和 b 的值，代入椭圆方程即可； （ 2）由（ 1）求出 A 的坐标，根据向量共线的条件求出直线 斜率，设直线 l 的方程和M、 N 的坐标，联立直线和椭圆方程消去 y，利用韦达定理和弦长公式求出 |由点到直线的距离公式求出点 A 到直线 l 的距离，代入三角形的面积公式求出 面积 S 的表达式，化简后利用基本不等式求出面积的最大值以及对应的 m，代入直线 l 的方程即可 【解答】 解：（ 1）如图圆 E 经过椭圆 C 的左右焦点 0 ） 2= ，解得 c= ， E， A 三点共线， 圆 E 的直径，则 |3， = =9 8=1， 2a=|3+1=4， a=2 由 a2=b2+， b= ， 椭圆 C 的方程是 ； （ 2）由（ 1）得点 A 的坐标（ ， 1）， （ 0）， 直线 l 的斜率为 ， 则设直线 l 的方程为 y= x+m，设 M（ N（ 由 得， ， 第 17 页（共 19 页） x1+， 2， 且 =2