2.1.1椭圆的定义与标准方程.docx

椭圆及其标准方程课堂实录 授课教师：福州十中 张婉婷 指导教师：福州十中 潘丹珑(一)认识椭圆教师：1.同学们平时看新闻吗？估计学习忙，看的少，老师看新闻的时候留心搜集了一段，我们一起来看看（播放“嫦娥三号”）2.“嫦娥三号”的运行轨道是椭圆轨道，“椭圆”在我们生活中常见吗？老师搜集了一些照片，一起看看。那么，今天我们一起来研究椭圆及其标准方程(设计意图：借助多媒体形成生动的直观图象，吸引学生的注意力，提高参与程度，为后续学习做好准备。)(二)自主探究教师：我们知道，动点按照某种规律运动形成的轨迹叫曲线，例如前面学习的圆，是动点到定点的距离等于定长的点的轨迹；譬如给你一枚图钉，一段细绳，一支笔你就可以画出圆，在这个过程中，谁是定点，谁是动点？（学生集体回答）那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？过去的木匠师傅，在做椭圆形的形状时，用两枚图钉，一块纸板、一段细绳、一只笔就能画出椭圆，现在给你这些物品，你能否画出椭圆？学生活动：让学生拿出课前准备好的一块纸板上面固定一段细绳（两个人一小组，尝试探究椭圆的画法）先让学生自己动手画，画完之后；回答问题： 在椭圆的形成过程中，什么是固定不变的？什么是变化的？即谁是动点？谁是定点？动点满足什么条件？那么椭圆的定义是什么？（学生讨论回答）(三)概念透析教师演示椭圆的课件通过上面的实验，引导学生观察椭圆的直观形象，再联想圆的定义，引导学生用语言描述这条轨迹。学生回答：平面内到两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫椭圆。教师指出：别的同学有没有补充？学生补充回答：常数大于教师演示课件，投影椭圆定义。定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距2c。教师：如何理解椭圆定义中的常数要大于两个定点的距离？请同学来回答第二个问题学生：我认为椭圆上的点与两个定点形成的是三角形，三角形两边之和大于第三边，所以椭圆上的点到两个定点的距离的和一定大于两个定点的距离教师接着指出：很好那么如果两个定点的距离的和等于或者小于，动点的轨迹如何？学生回答：如果定长，那么轨迹是线段？如果定长，那么轨迹不存在？教师：很好，这位同学说得非常准确。（课件演示动画）很显然，如果到两个定点的距离的和等于两个定点的距离时，表示的轨迹图形是以两个定点为端点的线段；如果小于两个定点的距离时，不能作出任何曲线 (四)标准方程的推导教师指出：研究曲线就要研究曲线的方程，那么椭圆的方程如何？如何推导椭圆的轨迹方程呢？请同学们回顾一下求曲线方程的步骤。提问.学生回答：(1)建立适当的坐标系，设动点(2)列出方程;(3)化方程为最简形式。方案二教师指出：请同学们思考如何建立坐标系，如何求出方程？两人一组，合作完成。教师在此可结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨；最后将学生方案归纳起来，进行评议、对比选定下列两种方案（如图）推导过程：以线段的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系(如图)。设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距，与和的距离的和等于正常数，则的坐标分别是。椭圆上点的集合为代入坐标得方程(想一想：下面怎样化简？)移项平方，得整理得上式两边再平方，得整理得即教师：观察右图，能从中找出表示的线段吗？学生回答教师：由椭圆的定义可知，,，进而引进，此时，得椭圆的标准方程为若选择方案二建立坐标系，方程的形式是，这是焦点在轴上的椭圆的标准方程。让学生合理猜想，学习好的学生还可以根据列出的两个方程形式相同，仅仅位置互换了，做出进一步解释；得出方程的形式是，这是焦点在轴上的椭圆的标准方程。得出椭圆的两个标准方程后，要注意让学生理解以下几点：(1)椭圆的两种标准方程中，都有，所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上;(2)椭圆的三个参数满足，其中和大小不确定，(五)尝试应用例1.已知椭圆方程为，则(1) ； ； 。(2)焦点在 轴上，其焦点坐标为 ，焦距为 。 (3)若是过左焦点的弦，则的周长为 ；的周长为 。提问学生回答，教师点评：这些应该怎么算：解：方程表示焦点在轴上的椭圆焦点坐标为练习1.求下列方程表示的椭圆的焦点坐标。 ； 注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然。(设计意图：通过练习来强化理解，深化知识点的掌握，突出重点、难点 。)练习2.已知两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点到两焦点距离的和等于，则椭圆标准方程为： 。变式1：已知两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点到两焦点距离的和等于，则椭圆标准方程为： 变式2：已知椭圆两个焦点的距离为，椭圆上一点到两焦点的距离和等于，则椭圆标准方程为： 探究：已知椭圆的两个焦点坐标分别是,并且经过点 ，求它的标准方程.(先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成。教师巡视，投影学生答案。学生讨论总结。)有两种解题思路。思路1：利用椭圆定义（椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数）求出值，再结合已知条件和、间的关系求出的值，进而写出标准方程；思路2：先根据已知条件设出焦点在轴上的椭圆方程的标准方程，再将椭圆上点的坐标代入此方程，并结合、间的关系求出、的值，从而得到椭圆的标准方程为(设计意图：以例代练，充分让学生动手、动脑。及时反馈，强化知识点的学习，也起到激发学生学习数学的兴趣的作用。) (六)回顾总结探究定义图形标准方程焦点坐标的关系焦点位置的判断谁的分母大，焦点就在哪个轴上（1）椭圆的定义及其标准方程；（2）标准方程中的关系；（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系(七)课后作业1.反思与体验(1)本节课我学到了哪些知识，是用什么方法学会的？(2)我还有什