高中数学 二项式定理-性质课件 新人教A版选修2-3

二项式定理 2 复习提问 1 二项式定理的内容 右边多项式叫 a b n的二项展开式 2 二项式系数 3 二项展开式的通项Tk 1 针对 a b n的标准形式而言 b a n a b n的通项则分别为 4 在定理中 令a 1 b x 则 观察猜想 展开式的二项式系数有什么变化规律 二项式系数最大的是哪一项 为了研究它的一般规律 我们先来观察n为特殊值时 二项展开式中二项式系数有什么特点 当时 求展开式的二项式系数 及二项式系数的和 把 a b n展开式的二项式系数取出来 当n依次取1 2 3 时 可列成下表 a b 1 11 a b 2 121 a b 3 1331 a b 4 14641 a b 5 15101051 a b 6 1615201561 上面的表叫做二项式系数表 杨辉三角 1 在我国 很早就有人研究过二项式系数表 南宋数学家杨辉在其所著的 详解九章算法 中就有出现 当时 求展开式的二项式系数 及二项式系数的和 通过观察 二项式系数有什么特点 二项式系数求和 a b 1 11 a b 2 121 a b 3 1331 a b 4 14641 a b 5 15101051 a b 6 1615201561 性质 联系函数 观察二项式系数表 寻求其规律 不难发现 表中每行两端都是1 与这两个1等距离的系数相等 而且在相邻的两行中 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 同一行中系数先增后减 a b n展开式的二项式系数依次是 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 3 增减性与最大值 增减性的实质是比较的大小 2 递推性 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 3 增减性与最大值 增减性的实质是比较的大小 所以相对于的增减情况由决定 可知 当时 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 还可运用函数的观点 结合 杨辉三角 和函数图象 研究二项式系数的性质 a b n展开式的二项式系数是可看成是以r为自变量的函数f r 其定义域是 0 1 2 n 对于确定的n 可以画出它的图像 例如 当n 6时 其图象是右图中的7个孤立点 例题分析 例1 证明 1 a b n的展开式中 各二项式系数的和 启示 在二项式定理中a b可以取任意实数 因此我们可以通过对a b赋予一些特定的值 是解决二项式有关问题的一种重要方法 赋值法 令a b 1 则 1答案 2答案 继续思考1 2 试证明在 a b n的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 即证 证明 在展开式中令a 1 b 1得 小结 赋值法在二项式定理中 常对a b赋予一些特定的值1 1等来整体得到所求 赋值法 例2 小结 求奇次项系数之和与偶次项系数的和可以先赋值 然后解方程组整体求解 思考 1 当n 10时常用杨辉三角处理二项式系数问题 2 利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性 增减性和最大值 3 常用赋值法解决二项式系数问题 课外思考 1 求证 2 1 x 13的展开式中系数最小的项是 A 第六项 B 第七项 C 第八项 D 第九项 C 类似上面的表 早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的 详解九章算法 一书里就已经出现了 这个表称为杨辉三角 在书中 还说明了表里 一 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 杨辉指出这个方法出于 释锁 算书 且我国北宋数学家贾宪 约公元11世纪 已经用过它 这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲 这个表被认为是法国数学家帕斯卡 1623 1662 首先发现的 他们把这个表叫做帕斯卡三角 这就是说 杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 思考3 2答案 思考2求证 略证 由 1 x n 1 x n 1 x 2n 两边展开后比较xn的系数得 再由得 思考 求证 证明 倒序相加法 思考3 在 3x 2y 20的展开式中 求 1 二项式系数最大的项 2 系数绝对值最大的项 3 系数