山东省德州市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 18 页） 2015年山东省德州市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知平面向量 ， ， ，下列命题正确的是（ ） A若 = ， = ，则 = B若 | |=| |，则 = C若 =0（ 为实数），则 =0 D若 ， ，则 2设 a， b， c R，且 b a，则下列命题一定正确的是（ ） A 3等比数列 ， 4，则 ） A 8 B 8 C 8 或 8 D 16 4 ， ， ， B=30，则 ） A B C D 5用火柴棒摆 “三角形 ”，如图所示：按照规律，第 5 个 “三角形 ”中需要火柴棒的根数是（ ） A 18 B 19 C 24 D 25 6设 0 a b，则下列不等式中正确的是（ ） A a b B a b C a b D a b 7若 a （ ， ），则 3 ），则 ） A B C D 8已知 m= ，则函数 y=2mx+ +1（ x 1）的最小值是（ ） A 2 B 2 C 2+2 D 2 2 9如图，测量河对岸的塔高 ，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D，测得 5， 5， 0 米，并在 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔的高度（ ） 第 2 页（共 18 页） A 30 米 B 30 米 C 15（ +1）米 D 10 米 10如图，正方形 ， M、 N 分别是 中点，若 = + ，则 +=（ ） A 2 B C D 11已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 y=f（ x）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对称 B关于直线 x= 对称 C关于点（ ， 0）对称 D关于直线 x= 对称 12定义 为 n 个正数 p2 “平均倒数 ”若已知数列 前 n 项的“平均倒数 ”为 ，又 ，则 + + 等于（ ） A B C D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13 在下列均为正数的表格中，每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么 x+y+z= 1 x 3 y a 6 4 8 z 14在 ，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，已知 b，则= 15已知 x、 y R+，且满足 + =2，则 8x+y 的取值范围是 第 3 页（共 18 页） 16在实数集 R 中，我们定义的大小关系 “ ”为全体实数排了一个 “序 ”，类似的，我们在平面向量集 D= | =（ x， y）， x R， y R上也可以定义一个称为 “序 ”的关系，记为 “”定义如下：对于任意两个向量 =（ =（ 当且仅当 “ “x1=按上述定义的关系 “”，给出如下四个命题： 若 =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， =（ 0， 0），则 ； 若 ， ，则 ； 若 ，则对于任意 D，（ + ） （ + ）； 对于任意向量 ， =（ 0， 0）若 ，则 其中真命题的序号为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤 17已知 a （ ， ）， （ ）求 +2a）的值； （ ）求 2a）的值 18已知 ， 是同一平面内的两个向量，其中 =（ 1， 2）， | |=2 （ ）若 ，求向量 的坐标； （ ）若（ 2 3 ） （ 2 + ） = 20，求 与 的夹角 的值 19已知函数 f（ x） =2x+2a， f（ x） 0 的解集为 x| 2 x m （ ）求 a， m 的值； （ ）若关于 x 的不等式（ c+a） （ c+a） x 1 0 恒成立，求实数 c 的取值范围 20已知函数 f（ x） =22 （ 0），且 y=f（ x）的图象的两相邻对称轴间的距离为 （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，角 C 为锐角，且 f（ C） = ，c=3 ， 求 面积 21某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 万件，需另投入的成本为 C（ x）（单位：万元），当年产量小于 80 万件时， C（ x） = 0x；当年产量不小于 80 万件时，C（ x） =51x+ 1450假设每万件该产品的售价为 50 万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完 （ 1）写出年利润 L（ x）（万元）关于年产量 x（万件）的函数关系式； （ 2）年产量为多少万件时，该厂在该 产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 22已知等差数列 ，前 n 项和为 ， 等比数列且各项均为正数， ，且满足： 2=7， 3=22 第 4 页（共 18 页） （ ）求 （ ）记 ，求 前 n 项和 （ ）若不等式（ 1） nm 对一切 n N*恒成立，求实数 m 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2015年山东省德州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知平面向量 ， ， ，下列命题正确的是（ ） A若 = ， = ，则 = B若 | |=| |，则 = C若 =0（ 为实数），则 =0 D若 ， ，则 【考点】 向量数乘的运算及其几何意义 【分析】 根据向量相等的概念，向量的概念，向量数乘的几何意义，以及向量平行的概念便可判断每个选项的正 误，从而找出正确选项 【解答】 解：根据向量相等的定义，显然 时，得出 ， A 正确； 向量包括大小和方向， 得不出 ， B 错误； 时， =0，或 ， C 错误； 若 ， 与 不平行，满足 ，而得不出 ， D 错误 故选： A 2设 a， b， c R，且 b a，则下列命题一定正确的是（ ） A 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 根据不等式的基本性质，及函数的单调性，判断四个答案的真假，可得结论 【解答】 解： b a， 当 c 0 时， A 错误； y=增函数，故 B 正确； b=1， a= 1 时，满足 b a，但 b2= C 错误； b 0 a 时， ，故 D 错误； 故选： B 3等比数列 ， 4，则 ） A 8 B 8 C 8 或 8 D 16 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由题意和等比数列的性质可得 4，解方程可得 【解答】 解： 等比数列 ， 4， 由等比数列的性质可得 4， 解得 8， 故选： C 4 ， ， ， B=30，则 ） 第 6 页（共 18 页） A B C D 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知及正弦定理可得 ，又 用大边对大角可得 C 为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得 值 【解答】 解： ， ， B=30， 由正弦定理可得： = = ， 又 C 为锐角， = 故选： A 5用火柴棒摆 “三角形 ”，如图所示：按照规律，第 5 个 “三角形 ”中需要火柴棒的根数是（ ） A 18 B 19 C 24 D 25 【考点】 归纳推理 【分析】 根据图象，依次写出第 1、 2、 3、 4、 5 个 “三角形 ”中需要火柴棒的根数，即可得出结论 【解答】 解：由题意，第 1 个 “三角形 ”中需要火柴棒的根数是 3； 第 2 个 “三角形 ”中需要火柴棒的根数是 3+4=7； 第 3 个 “三角形 ”中需要火柴棒的根数是 3+4+5=12； 第 4 个 “三角形 ”中需要火柴棒的根数是 3+4+5+6=18； 第 5 个 “三角形 ”中需要火柴棒的根数是 3+4+5+6+7=25， 故选： D 6设 0 a b，则下列不等式中正确的是（ ） A a b B a b C a b D a b 【考点】 基本不等式 【分析】 举特值计算，排除选项可得 【解答】 解：取 a=1 且 b=4，计算可得 =2， = ， 选项 A、 B、 D 均矛盾， B 符合题意， 故选： B 7若 a （ ， ），则 3 ），则 ） 第 7 页（共 18 页） A B C D 【考点】 二倍角的正弦 【分析】 由条件利用两角和差的正弦公式可得 ，平方再利用二倍角公式，求得值 【解答】 解： （ ， ），则 3 ）， 3（ （ = （舍去），或 ， 即 ，平方可得 1+2+， ， 故选： C 8已知 m= ，则函数 y=2mx+ +1（ x 1）的最小值是（ ） A 2 B 2 C 2+2 D 2 2 【考点】 基本不等式；二倍角的正切 【分析】 利用二倍角公式求出 m，再利用基本不等式，即 可求出函数 y=2mx+ +1（ x 1）的最小值 【解答】 解： x 1， x 1 0 m= = ， y=2mx+ +1=x+ +1=（ x 1） + +2 2 +2， 故选： C 9如图，测量河对岸的塔高 ，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个观测点 C 与 D，测得 5， 5， 0 米，并在 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔的高度（ ） 第 8 页（共 18 页） A 30 米 B 30 米 C 15（ +1）米 D 10 米 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 在 使用正弦定理得出 ，利用特殊角的三角函数得出值 【解答】 解： 5， 5， 0 在 使用正弦定理得 ，即 ， =10 0， 0， 0 故选 A 10如图，正方形 ， M、 N 分别是 中点，若 = + ，则 +=（ ） A 2 B C D 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【分析】 建立平面直角坐标系，使用坐标进行计算，列方程组解出 ， 【解答】 解：以 坐标轴建立平面直角坐标系，如图： 设正方形边长为 1，则 =（ 1， ）， =（ ， 1）， =（ 1， 1） = + ， ，解得 += 第 9 页（共 18 页） 故选： D 11已知函数 f（ x） =x+）（ 0， | ）的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 y=f（ x）的图象（ ） A关于点（ ， 0）对称 B关于直线 x= 对称 C关于点（ ， 0）对称 D关于直线 x= 对称 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由周期求出 =2，故函数 f（ x） =2x+），再根据图象向右平移 个单位后得到的函数 y=2x +是奇函数，可得 = ，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性 【解答】 解：由题意可得 =，解得 =2，故函数 f（ x） =2x+），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为 y=（ x ） +=2x +是奇函数，又 | ，故 = ， 故函数 f（ x） =2x ），故当 x= 时，函数 f（ x） =1，故函数 f（ x） =2x ） 关于直线 x= 对称， 故选： D 12定义 为 n 个正数 p2 “平均倒数 ”若已知数列 前 n 项的“平均倒数 ”为 ，又 ，则 + + 等于（ ） A B C D 【考点】 数列的求和 第 10 页（共 18 页） 【分析】 由题意和 “平均倒数 ”的定义列出方程，求出数列 前 n 项和为 据求出 入 化简求出 入 化简后利用裂项相消法求出式子的和 【解答】 解：由题意和 “平均倒数 ”得， = ， 设数列 前 n 项和为 n2+n， 当 n=1 时， 1=3， 当 n 2 时， n 1 =（ 2n2+n） 2（ n 1） 2+（ n 1） =4n 1， 当 n=1 时也适合上式， n 1，则 =n， = = ， =（ 1 ） +（ ） +（ ） = = ， 故选 B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分 13在下列均为正数的表格中，每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么 x+y+z= 16 1 x 3 y a 6 4 8 z 【考点】 等比数列的通项公式；等差数列的通项公式 【分析】 由题意得 x， y， z 都是正数，且 1， x， 3 成等差数列， 1， y， 4 成等比数列， 4， 8，z 成等差数列，由 此能求出 x+y+z 的值 【解答】 解：由题意得 x， y， z 都是正数，且： 1， x， 3 成等差数列， x= ， 1， y， 4 成等比数列， y= =2， 4， 8， z 成等差数列， z=8+（ 8 4） =12， x+y+z=2+2+12=16 故答案为： 16 14在 ，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，已知 b，则= 【考点】 正弦定理 【分析】 已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果 第 11 页（共 18 页） 【解答】 解：将 b，利用正弦定理化简得： 即 B+C） = B+C） = 利用正弦定理化简得： a= b， 则 = 故答案为： 15已知 x、 y R+，且满足 + =2，则 8x+y 的取值范围是 9， +） 【考点】 基本不等式 【分析】 利用已知条件，结合基本不等式求解表达式的最值即可 【解答】 解： x、 y R+，且满足 + =2， 8x+y= （ + ）（ 8x+y） = （ 10+ + ） （ 10+8） =9， 当且仅当 = ，即 x= ， y=3 时，取等 号， 8x+y 的取值范围是 9， +） 故答案为： 9， +） 16在实数集 R 中，我们定义的大小关系 “ ”为全体实数排了一个 “序 ”，类似的，我们在平面向量集 D= | =（ x， y）， x R， y R上也可以定义一个称为 “序 ”的关系，记为 “”定义如下：对于任意两个向量 =（ =（ 当且仅当 “ “x1=按上述定义的关系 “”，给出如下四个命题： 若 =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， =（ 0， 0），则 ； 若 ， ，则 ； 若 ，则对于任意 D，（ + ） （ + ）； 对于任意向量 ， =（ 0， 0）若 ，则 其中真命题的序号为 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根 据已知条件中， 当且仅当 “ “x1= 按上述定义的关系 “”，判断各个选项是否正确，从而得出结论 【解答】 解：对于任意两个向量 =（ =（ 当且仅当 “或 “x1= 对于 ，若 =（ 1， 0）， =（ 0， 1）， =（ 0， 0），则 ，且 ，故 正确 第 12 页（共 18 页） 对于 ，设向量 =（ =（ =（ 若 ， ， 则有 “ “x1= “ “x2= 故有 “ “x1= 故有 对于 ，若 ，则对于任意 D，设 =（ x， y）， =（ =（ “ “x1= “x+x+ “x+x1=x+ y+y+ （ + ） （ + ），故 正确 对于 ，设设 =（ x， y）， =（ =（ 由 ，得 “x 0”或 “x=0 且 y 0”； 由 ，得 “ “x1= 可得 “x=0 且 y 0”且 “ 故有 “ 所以 不成立，所以 不正确， 故答案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知 a （ ， ）， （ ）求 +2a）的值； （ ）求 2a）的值 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 （ ）由已知条件求出 值，再求出 据诱导公式进一步求出 +2a）的值； （ ）由 出 据诱导公式进一步求出 2a）的值 【解答】 解：（ ） ， a （ ， ）， 第 13 页（共 18 页） 则 +2a） = = ； （ ）由（ ）知 ， = ， ， 2a） = = 18已知 ， 是同一平面内的两个向量，其中 =（ 1， 2）， | |=2 （ ）若 ，求向量 的坐标； （ ）若（ 2 3 ） （ 2 + ） = 20，求 与 的夹角 的值 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 （ ）可设 ，这样根 据条件即可建立关于 x， y 的方程组，解该方程组即可求出， x， y，从而得出向量 的坐标； （ ）根据条件便可得出 ，且 ，这样进行向量数量积的运算便可由得出 的值，进而求出 的值，从而求出 与的夹角 【解答】 解：（ ）设 ，根据条件，则： ； 解得 ，或 ； ，或（ 2， 4）； （ ） ； = = ； 第 14 页（共 18 页） 解得 ； = ； ； 19已知函数 f（ x） =2x+2a， f（ x） 0 的解集为 x| 2 x m （ ）求 a， m 的值； （ ）若关于 x 的不等式（ c+a） （ c+a） x 1 0 恒成立，求实数 c 的取值范围 【考点】 二次函数的性质；函数恒成立问题 【分析】 （ ）得到 2， m 是方程 2x+2a=0 的根，组成方程组，解出即可； （ ）通过讨论 c 的范围结合二次函数的性质求出 c 的范围即可 【解答】 解：（ ） f（ x） 0 的解集为 x| 2 x m， 2， m 是方程 2x+2a=0 的根， ， 解得： a= 4， m=4； （ ）由（ ）得： a= 4， （ c+a） （ c+a） x 1 0， 即（ c 4） （ c 4） x 1 0， c 4=0，即 c=4 时， 1 0，成立， c 4 0 时， 若关于 x 的不等式（ c+a） （ c+a） x 1 0 恒成立， 则 ， 解得： c 4， 综上， c 4 20已知函数 f（ x） =22 （ 0），且 y=f（ x）的图象的两相邻对称轴间的距离为 （ ）求函数 f（ x）的单调递增区间； （ ）已知 内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，角 C 为锐角，且 f（ C） = ，c=3 ， 面积 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；正弦定理 第 15 页（共 18 页） 【分析】 （ ）利用二倍角公式及辅助角公式将 f（ x）化简，由 y=f（ x）的图象的两相邻对称轴间的距离为 求得 的值，求得 f（ x）的解析式，利用正弦函数单调性求得 f（ x）的单调递增区间； （ ） f（ C） = ， C 为锐角，求得 C，由正弦定理可知： b=2a，代入余弦定理求得 a 和 b 的值，根据三角形的面积公式，可求得 面积 【解答】 解： f（ x） =22 ， = =22x ）， y=f（ x）的图象的两相邻 对称轴间的距离为 ，又（ 0）， ， 解得： =1， f（ x） =22x ）， 由 +22x +2 k Z），解得： +x + k Z）， f（ x）单调递增区间为 + +（ k Z）； （ ） f（ C） =22C ） = ， 2C = 或 ， C= 或 ， 角 C 为锐角， C= ， 正弦定理可知： b=2a， 由余弦定理可知： c2=a2+2 18=2 a 2a ， 解得 a= ， b=2 ， S 2 =3 21某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 万件，需另投入的成本为 C（ x）（单位：万元），当年产量小于 80 万件时， C（ x） = 0x；当年产量不小于 80 万件时，C（ x） =51x+ 1450假设每万件该产品的售价为 50 万元，且该厂当年生产的该产品能全部销售完 （ 1）写出年利润 L（ x）（万元）关于年产量 x（万件）的函数关系式； （ 2）年产量为多少万件时，该厂在该产品的生产中所获利润 最大？最大利润是多少？ 第 16 页（共 18 页） 【考点】 函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 （ 1）分两种情况进行研究，当 0 x 80 时，投入成本为 （万元），根据年利润 =销售收入成本，列出函数关系式，当 x 80 时，投入成本为，根据年利润 =销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案； （ 2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当 0 x 80 时，利用二次函