追及和相遇问题

追及与相遇问题 追及与相遇 1 追及与相遇问题的实质 2 理清三大关系 两者速度相等 它往往是物体间能否追上或 两者 距离最大 最小的临界条件 也是分析判断的切入点 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题 速度关系 时间关系 位移关系 3 巧用一个条件 两种典型追及问题 1 速度大者减速 如匀减速 追速度小者 如匀速 1 当v1 v2时 A未追上B 则A B永不相遇 此时两者间有最小距离 2 当v1 v2时 A恰好追上B 则A B相遇一次 也是避免相撞刚好追上的临界条件 3 当v1 v2时 A已追上B 则A B相遇两次 且之后当两者速度相等时 两者间有最大距离 两种典型追及问题 2 同地出发 速度小者加速 如初速度为零的匀加速 追速度大者 如匀速 1 当v1 v2时 A B距离最大 2 当两者位移相等时 有v1 2v2且A追上B 2 相向 两者位移之和等于初始距离即相遇 常见的典型的相遇问题 3 抛体相遇 1 自由落体和竖直上抛 2 平抛和竖直上抛 1 同向 两者位移之差等于初始距离时追及相遇 1 认真审题 弄清题意 2 过程分析 画出运动示意图 确定物体在各个阶段的运动规律 3 状态分析 找出题中隐含的临界条件 确定三大关系 时间 位移 速度 注意 速度相等常常是能不能相遇或追及的关键点 也是极值出现的临界状态 4 选择解题方法 列式求解 讨论结果 追及问题的解题步骤 例1 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮时汽车以3m s2的加速度开始加速行驶 恰在这时一辆自行车以6m s的速度匀速驶来 从后边超过汽车 试求 汽车从路口开动后 在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少 方法一 公式法 当汽车的速度与自行车的速度相等时 两车之间的距离最大 设经时间t两车之间的距离最大 则 那么 汽车经过多少时间能追上自行车 此时汽车的速度是多大 汽车运动的位移又是多大 方法二 图象法 解 画出自行车和汽车的速度 时间图线 自行车的位移x自等于其图线与时间轴围成的矩形的面积 而汽车的位移x汽则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积 两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差 不难看出 当t t0时矩形与三角形的面积之差最大 V t图像的斜率表示物体的加速度 当t 2s时两车的距离最大 动态分析随着时间的推移 矩形面积 自行车的位移 与三角形面积 汽车的位移 的差的变化规律 方法三 二次函数极值法 设经过时间t汽车和自行车之间的距离 x 则 那么 汽车经过多少时间能追上自行车 此时汽车的速度是多大 汽车运动的位移又是多大 方法四 相对运动法 选自行车为参照物 则从开始运动到两车相距最远这段过程中 以汽车相对地面的运动方向为正方向 汽车相对此参照物的各个物理量的分别为 v0 6m s a 3m s2 vt 0 对汽车由公式 问 xm 6m中负号表示什么意思 以自行车为参照物 公式中的各个量都应是相对于自行车的物理量 注意物理量的正负号 表示汽车相对于自行车是向后运动的 其相对于自行车的位移为向后6m 例2 A火车以v1 20m s速度匀速行驶 司机发现前方同轨道上相距100m处有另一列火车B正以v2 10m s速度匀速行驶 A车立即做加速度大小为a的匀减速直线运动 要使两车不相撞 a应满足什么条件 方法一 公式法 两车恰不相撞的条件是两车速度相同时相遇 由A B速度关系 由A B位移关系 方法二 图象法 方法三 二次函数极值法 代入数据得 若两车不相撞 其位移关系应为 其图像 抛物线 的顶点纵坐标必为正值 故有 或列方程 代入数据得 不相撞 0 根的判别式法 方法四 相对运动法 以B车为参照物 A车的初速度为v0 10m s 以加速度大小a减速 行驶x 100m后 停下 末速度为vt 0 以B为参照物 公式中的各个量都应是相对于B的物理量 注意物理量的正负号 1 火车以速度v1匀速行驶 司机发现前方同轨道上相距x处有另一火车沿同方向以速度v2 对地 且v1 v2 做匀速运动 司机立即以加速度a紧急刹车 要使两车不相撞 a应满足什么条件 a v1 v2 2 2x 课堂练习 方法点拨 基本公式法 图象法 相对运动法 数学方法 匀减速追匀速 1 基本公式法 对运动过程和状态进行分析 找出临界状态 确定三大关系 列式求解 4 数学方法 对运动过程和状态进行分析 确定三大关系 列出数学关系式 要有实际物理意义 利用二次函数的求根公式中 判别式求解 3 相对运动法 对运动过程和状态进行分析 巧妙选择参考系 简化运动过程 临界状态 确定三大关系 列式求解 2 图象法 对运动过程和状态进行分析 精确画出运动图象 根据图象的物理意义列式求解 解决追及问题的常用方法 课堂练习 2 2006广东 a b两物体从同一位置沿同一直线运动 它们的速度图象如图所示 下列说法正确的是 A a b加速时 物体a的加速度大于物体b的加速度B 20秒时 a b两物体相距最远C 60秒时 物体a在物体b的前方D 40秒时 a b两物体速度相等 相距200m C 方法点拨 基本公式法 图象法 相对运动法 数学方法 3 如图所示 两线分别是甲 乙两小球从同一地点沿同一直线先后运动的速度 时间图线 根据图线可以判断 A 甲 乙两小球作的是初速度方向相反的匀减速直线运动 初速大小不同 加速度大小相同 方向相反 B 两球在t 8s时相距最远C 两小球在t0时刻速率相等D 两小球在t 8s时发生碰撞 CD 课堂练习 方法点拨 注意v t图象中图线交点和图线所围面积的理解 4 如图所示 处于平直轨道上的甲 乙两物体相距s 同时同向开始运动 甲以初速度v1 加速度a1做匀加速运动 乙以初速度为零 加速度为a2做匀加速运动 下述情况可能发生的是 A a1 a2 甲 乙能相遇一次B a1 a2 甲 乙能相遇两次C a1 a2 甲 乙能相遇一次D a1 a2 甲 乙能相遇两次 ACD 课堂练习 方法点拨 利用v t图象 当a1 a2时 三种可能 两者共速时若还没追上 则不能相遇 两者共速时正好追上 则相遇一次 两者共速前追上 则相遇两次 课堂练习 5 2006上海 如图所示 一足够长的固定斜面与水平面的夹角为370 物体A以初速度V1从斜面顶端水平抛出 物体B在斜面上距顶端L 15m处同时以速度V2沿斜面向下匀速运动 经历时间t物体A和物体B在斜面上相遇 则下列各组速度和时间中满足条件的是 sin370 0 6 cos370 0 8 g 10m s2 A V1 16m s V2 15m s t 3sB V1 16m s V2 16m s t 2sC V1 20m s V2 20m s t 3sD V1 20m s V2 16m s t 2s C 方法点拨 画过程草图 找出位移关系 基本公式法 6 2007全国 甲 乙两运动员在训练交接棒的过程中发现 甲经短距离加速后能保持9m s的速度跑完全程 乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的 为了确定乙起跑的时机 需在接力区前适当的位置标记 在某次练习中 甲在接力区前s0 13 5m处作了标记 并以v 9m s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令 乙在接力区的前端听到口令时起跑 并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上 完成交接棒 已知接力区的长度为L 20m 求 1 此次练习中乙在接棒前的加速度a 2 在完成交接棒时乙离接力区末端的距离 课堂练习 方法点拨 画过程草图 找出位移关系 基本公式法 3m s2 6 5m 匀速追匀加速 7 在同一平直公路上 A B两车沿同一方向运动 当两车相距7m时 A车以速度vA 4m s做匀速运动 B车此时以速度vB 10m s 且在摩擦力作用下做加速度大小为a 2m s2的匀减速直线运动 且B在前A在后 若从此时开始 A车经过多长时间追上B车 8s 课堂练习 匀速追匀减速 方法点拨 画过程草图 找出位移关系 基本公式法 注意刹车不能倒退 当B车减速停下时 A仍未追上B 8 汽车A在红绿灯前停下 绿灯亮时A车开动 以a 0 4m s2的加速度做匀加速直线运动 经t0 30s后以该时刻的速度做匀速直线运动 在绿灯亮的同时 汽车B以v 8m s的速度做匀速运动 问 从绿灯亮时开始 经多长时间后两车再次相遇 45s 课堂练习 同时同地静止开始的匀加速追匀速 方法点拨 画过程草图 找出位移关系 基本公式法 注意A车匀加速结束时 仍未追上B 9 A B两列火车在同一轨道上同向行驶 A车在前 其速度为vA 10m s B车的速度为vB 30m s 因大雾能见度很低 B车在距A车500m时才发现前方有A车 这时B车立即刹车 但B车要经过1800m才能够停止 问 1 A车若按原速前进 两车是否会相撞 若会相撞 将在何时何地相撞 2 若B车在刹车的同时发出信号 A车司机经 t 1 5s收到信号后加速前进 则A车的加速度至少多大才能避免相撞事故 会 距B车刹车地点 1300 200 6 m a 0 16m s2 课堂练习 同向行驶避免相撞 方法点拨 画过程草图 找出位移关系 基本公式法 注意避免相撞时A车与B车速度相等 10 一辆轿车违章超车 以108km h的速度驶入左侧逆行道时 猛然发现正前方80m处一辆卡车正以72km h的速度迎面驶来 两车司机同时刹车 刹车加速度的大小都是10m s2 两司机的反应时间 即司机发现险情到实施刹车所经历的时间 都是 t 试问 t是何数值才能保证两车不相撞 t 0 3s 课堂练习 相向行驶避免相撞 方法点拨 画过程草图 找出位移关系 基本公式法 注意反应时间内为匀速 且恰好相撞时有两车的位移之和等于两车初始时相距的距离 1 如图所示 图线A B分别表示先后从同一地点以相同的速度v竖直上抛的两物体的v t图线 则两物体 A 在A物体抛出后3s末相遇B 在B物体抛出后4s末相遇C 在B物体抛出后2s末相遇D 相遇时必有一个物体的速度为零 C 综合练习 2 92全国 两辆完全相同的汽车 沿水平直路一前一后匀速行驶 速度均为v0 若前车突然以恒定的加速度刹车 在它刚停止时 后车以前车刹车时的加速度开始刹车 已知前车在刹车过程中所行的距离为s 若要保证两车在上述情况中不相撞 则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为 A sB 2sC 3sD 4s B 综合练习 3 公路上有一辆汽车以1m s2的加速度从静止开始启动 此时距汽车60m处有一人以不变的速度追这辆车 人必须距车距离小于20m并持续2s 才能将信息传给司机让他停车 求人的速度至少多大 综合练习 v 4 5m s 综合练习 4 99全国 为了安全 在公路上行驶的汽车之间应保持必要的距离 已知某高速公路的最高限速v 120km h 假设前方车辆突然停止 后车司机从发现这一情况 经操纵刹车 到汽车开始减速所经历的时间 即反应时间 t 0 50s 刹车时汽车受到阻力的大小Ff为汽车重力的0 40倍 该高速公路上汽车间的距离s至少应为多少 取g 10m s s 160m 5 有一辆摩托车 设它的最大速度vm 30m s 要想从静止开始用3min的时间正好追上前方100m处的一辆汽车 汽车以20m s的速度向前匀速行驶 摩托车的加速度应是多大 设摩托车在加速阶段做匀加速运动 a 0 26m s2 综合练习 综合练习 6 一辆小轿车和一辆公共汽车沿相互垂直的两条马路向同一十字路口行驶 小轿车离十字路口16m 以初速度为2m s 加速度为1m s2向着路口做匀加速直线运动 公共汽车离十字路口12m时的瞬时速度是6m s 为了避免碰车