第二章_奇解与包络

2 4奇解与包络 2 4 1奇解2 4 2不存在奇解的判别法2 4 3包络线及奇解的求法 利用通解和特解可以构造解 从图形可以看到 有无数条积分曲线过初始点 解 容易看到y 0是解 并且满足给定的初始条件 例1 得通解 由 2 4 1奇解 x y 如何判定给定方程奇解的存在性和不存在性 如何求奇解 问题的提出 本节主要讨论一阶隐式方程 和一阶显式方程 的解唯一性受到破坏的情形 显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内 对于方程 1 9 由定理2 2 这样的区域可用 一般来说 若能解出几个显式方程 那么对每一个方程 应用定理2 2即可 其次对于方程 1 8 如果函数F x y y 对所有变量连续且有连续偏导数 并且在 的邻域内有 一阶隐式微分方程 成立 那么应用数学分析中的隐函数定理 可解得 其中函数f x y 是连续的且有连续偏导数 特别有 这样一来 对方程 1 8 初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了 因此 我们可以就方程 1 8 或 1 9 给出奇解的定义 定义2 3如果方程存在某一解 在它所对应的积分曲线上每点处 解的唯一性都被破坏 则称此解为微分方程的奇解 奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线 x y 2 4 2不存在奇解的判别法 假设方程 1 9 的右端函数 在区域 上有定义 如果 在D上连续且 在D上有界 或连续 那么由本章定理2 2 方程的任一解是唯一的 从而在D内一定不存在奇解 有定义的区域D内成立 那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上 进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解 那么我们也可以断定该方程无奇解 如果存在唯一性定理条件不是在整个 2 4 3包络线及奇解的求法 例如 单参数曲线族 其中R是常数 c是参数 表示圆心为 c 0 而半径等于R的一族圆 如图 R 从图形可见 此曲线族的包络显然为 x y 注 并不是每个曲线族都有包络 例如 单参数曲线族 其中c为参数 表示一族同心圆 如图 从图形可见 此曲线族没有包络 包络的定义 定义2 4 对于给定的一个单参数曲线族 曲线族 2 10 的包络是指这样的曲线L 它本身不包含在 曲线 2 10 中 但过这曲线的每一点有 2 10 中的一条曲线和它在这点相切 则称此曲线L为曲线族 C 的包络线或包络 对于给定的一个单参数曲线族 其中 为参数 若存在一条曲线 满足下列条件 1 2 对任意的 存在唯一的 使得 且 与 在 有相同的切线 则称 为曲线族 的一条包络线 简称为包络 或定义 定理2 6方程 1 9 的积分曲线族 C 的包络线L是 1 9 的奇积分曲线 证明 应用定理2 1积分曲线与线素场的关系的充要条件 问题 对于给定的单参数曲线族 如何判断它是否有包络 如果有包络 如何求 定理2 6若L是曲线族 2 10 的包络线 则它满足如下的C 判别式 反之 若从 2 11 解得连续可微曲线 2 11 且满足 和 称为非退化条件 则 是曲线族的包络线 证明对L上任取一点p x y 由包络线定义 有 C 中一条曲线l在p点与L相切 设l所对应的参数为C 故L上的点坐标x和y均是C的连续可微函数 设为 又因为p x y 在l上 故有恒等式 2 12 L在p点的切线斜率为 l在p点的切线斜率为 因为l与L在p点相切 故有 即有关系式 另一方面 在 2 12 式两端对C求导得 2 13 它在q点的斜率为 利用隐函数定理可确定一条连续可微曲线 2 16 现在 由 2 15 的第一式对C求导得 再利用 2 15 的第二式推出 2 18 另一方面 在q点的斜率为 2 17 和 分别不同时为零 所以 由 2 18 2 17 和 2 16 推出 即曲线族 2 10 中有曲线 在q点与曲线 相切 因此 是曲线族 2 10 的包络线 因为 例3 求直线族 的包络 这里 是参数 是常数 解 记 则 消去参数 得 的c 判别曲线 经验证 是曲线族 的包络 如图 O x y 例4 求解方程 解 令 则原方程可写成 两边对x求导得到 整理化简后得方程 代入得原方程的解 从 得 代入又得一个解 注意这个通解和特解的关系 由C 判别式 解方程组 由于 几何意义 包络线 为求它的解 令 得 经化简 得 例5 克莱罗 Clairaut 方程的求解 这是y已解出的一阶微分方程 如果 则得到 于是 Clairaut方程的通解为 如果 它与等式 联立 则得到Clairaut方程的以p为参数的解 或 其中c为参数 消去参数p便得方程的一个解 结果 Clairaut方程 的通解 是一直线族 此直线族的包络 或 是Clairaut方程的奇积分曲线 所对应的解是奇解 如果令 则 因此 求得此解的过程正好与从通解中求包络的手续一样 易验证 此参数曲线恰为通解的包络 例5 1 求解方程 解 这是Clairaut方程 因而它有通解 其中 因为 所以 从 中消去参数c 得到原方程的奇解 x y O 如图 故 此方程的通解是直线族 而奇解是通解的包络 例6 求一曲线 使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2 x y o A a 0 B 0 b 解设所求的曲在 x y 点切线方程为 这是Clairaut方程 其通解为 其中 为任意常数 显然 此直线族中的每一条直线截割 坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2 它与x和y坐标轴的交点分别为 由题意得 直线族及其包络线 利用Maple可以得到这个方程的解曲线如下 注意 y 3x和y 3x是非常特殊的解 其它解与这两条直线相切 restart with plots forjfrom 5to 1doplot j x 2 2 9 2 j x 3 3 y 10 10 y j enddo forjfrom1to5doplot j x 2 2 9 2 j x 3 3 y 10 10 y j enddo plot 3 x x 3 3 y 10 10 color black yy plot 3 x x 3 3 y 10 10 color black yyy display y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 1