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1 3 2函数的极值与导数 f x 在 4 2 内单调递增 你记住了吗 有没有搞错 怎么这里没有填上 求导数 求临界点 列表 写出单调性 f x 0 x 4 x 2 0 x2 f x 在 4 2 内单调递减 f x 0 x 4 x 2 0 4 x 2 还记得高台跳水的例子吗 h t 4 9t2 6 5t 10 单调递增h t 0 单调递减h t 0 h a 0 2 跳水运动员在最高处附近的情况 1 当t a时运动员距水面高度最大 h t 在此点的导数是多少呢 2 当t a时h t 的单调性是怎样的呢 3 当t a时h t 的单调性是怎样的呢 将最高点附近放大 t a t a t a 导数的符号有什么变化规律 在t a附近 h t 先增后减 h t 先正后负 h t 连续变化 于是有h a 0 f a 最大 那么下面图象的最高点h a 代表什么意义呢 这就是本节课研究的重点 函数的极值 h t 4 9t2 6 5t 10 1 探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值 重点 2 利用导数信息判断函数极值的情况 难点 探究点函数的极值与导数 求可导函数f x 极值的步骤 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 把定义域划分为部分区间 并列成表格 检查f x 在方程根左右的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 1 确定函数的定义域 总结提升 1 下面说法正确的是 A 可导函数必有极值B 可导函数在极值点的导数一定等于零C 函数的极小值一定小于极大值 设极小值 极大值都存在 D 函数的极小值 或极大值 不会多于一个 B 注意 函数极值是在某一点附近的小区间内定义的 是局部性质 因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值 并对同一个函数来说 在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值 2 函数y f x 的导数y 与函数值和极值之间的关系为 A 导数y 由负变正 则函数y由减变为增 且有极大值B 导数y 由负变正 则函数y由增变为减 且有极大值C 导数y 由正变负 则函数y由增变为减 且有极小值D 导数y 由正变负 则函数y由增变为减 且有极大值 D 函数在时有极值10 则a b的值为 A 或B 或C D 以上都不对 C 3 解 由题设条件得 解之得 通过验证 a 3 b 3时 不合题意 注意 f x0 0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代入检验 2 注意数形结合 极值定义2个关键 可导函数y f x 在极值点处的f x 0 极值点左右两边的导数必须异号 3个步骤 确定定义域 求f x 0的根 并列成表格用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格
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