第0章预备知识

第0章积分变换的预备知识 0 1几个典型函数 0 2卷积的概念与性质 主要内容 本章介绍几个以后经常要用到的典型的函数 以及函数的卷积 1单位阶跃函数 2矩形脉冲函数 0 1几个典型函数 3函数 0 1 1单位阶跃函数 单位阶跃函数 简称阶跃函数 又称Heaviside 函数 定义为 显然 u t 在t 0处从0跃变为1 延迟t0的阶跃函数为 利用阶跃函数可以将分段函数用一个表达式 表示 例如设 于是可以用阶跃函数表示为 0 1 2矩形脉冲函数 宽度为t 幅度为的矩形脉冲函数为 0 1 3 函数 在物理学和工程技术中 除了连续分布量之外 还有集中作用在一点的量 例如 点电荷 点热源 质点 单位脉冲等 下面分析在原点处分布单位质量的情况 如果一单位质量的物质均匀分布在原点的闭邻 域 e e 之内 这时 e e 内的每一点的密度 很自然 原点处分布单位质量的质点情形可认 为是上述情形当时的极限 并用 x 表示密 度分布的极限 在直观上可以看作 根据密度的定义 密度函数在区间内的积分应 该是在此区间上分布的总质量 因此 应有 针对这类问题 20世纪30年代 英国物理学家 Dirac引进了满足以上性质的 函数 称为 函数 并且要求对任何连续函数f x 都有 但是 从古典意义下的函数积分概念来看 这 些都是不合理的 因为 不是确定的数 它表明变量 的变化趋势 所以 0 无意义 而积分值与函 数在个别点的值无关 这样 除一点外 处处为零的 函数积分也应为零 从而 函数的上述性质在古典 意义下都不可能成立 也是不合理的 因此 在很长 一段时期 函数没有被数学家们接受 但以Dirac 为代表的物理学家们继续使用这个 怪 函数 因为 这个结论完全符合物理实验的结果 物理学家们觉得 它是一个 很好用 的有力工具 直到20世纪50年代 法国数学家L Shwartz建立了广义函数的理论 在他 的理论中 函数已不是通常意义下的函数 而属于 更广泛意义下的函数 从而为 函数建立了坚实的 理论基础 并且也使得这一类函数在数学的其他分 支 物理学及其他工程技术中得到了广泛应用 这些理论的建立是以泛函分析为基础的 下面 仅作简单概括的介绍 函数不是通常意义下的函数 而是满足一定 条件下的函数在新的意义下的极限 这类极限称为 弱极限 设是当时 在 上可积的函数 并且对任何无穷可微的函数f x 有 特别地 当时 满足这些条件的函数称为 逼近函数 函 数 x 就是这类 逼近函数的弱极限 所谓弱极限 就是对任何无穷可微函数f x 由极限式 所确定的新的元素 把这样的新元素记为 x 并且 规定 x 的积分 已不是通常意义下的积分 为 除了上面已提到过的函数 外 还有很多不同的 逼近函数 例如 等都是 逼近函数 其弱极限都是 x x 是具有以下性质的广义函数 函数又称为 单位脉冲函数 或称为Dirac函数 1 即 函数是偶函数 2 特别地 其中f x 是任意连续函数 更一般地 3 x 是无穷可微函数 其导函数也是广 义函数 使得对任意无穷可微函数f x 有 4 其中u t 是单位 阶跃函数 0 2卷积的概念与性质 函数的卷积 定义0 1设函数和都是上的 绝对可积函数 积分 称为函数和在区间上的卷积 记 为或 即 如果t 0时 则卷积变为 这是上的卷积公式 例0 1求和在上的 卷积 解由上的卷积公式 卷积具有下面一些性质 这里假定所有的广义 积分均收敛 并且允许积分交换次序 1 交换律 证明由卷积的定义 令则并且 2 分配律 证明由卷积的定义 3 结合律 证明由卷积的定义 令则并且 再交换积分次序可得 4 与单位脉冲函数的卷积 设f t 是上的连续函数 则 证明由卷积的定义以及 函数的性质可得 本章内容总结 函数卷积 单位阶跃函数矩形脉冲函数d函数 几个典型函数 交换率分配率结合率 本章的重点 2 函数的卷积 1 几个典型的函数 PaulAdrienMauriceDirac 1902 1984 英国物理学家 剑桥大学博士 英国剑桥大学和美国佛罗里达州立 大学教授 英国皇家学会会员 他创立量子电动力学 建立狄拉克方程