第八章学案5轨迹与轨迹方程

进入 学案5轨迹与轨迹方程 考点一 考点二 考点三 返回目录 求轨迹时经常采用的方法有直接法 定义法 代入法 参数法等 1 直接法如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系 这些条件简单明确 直接表述成含x y的等式 就得到轨迹方程 这种方法称之为直接法 2 定义法如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义 则可用曲线定义写出方程 这种方法称为定义法 3 代入法又称 相关点法 其特点是 动点M x y 的坐标取决于已知曲线C上的点 x y 的坐标 可先用x y来表示x y 再代入曲线C的方程 即得点M的轨迹方程 4 参数法选取适当的参数 分别用参数表示动点坐标x y 得出轨迹的参数方程 消去参数 即得其普通方程 返回目录 考点一直接法求轨迹方程 例1 线段AB与CD互相垂直平分 AB 2a CD 2b 动点M满足 MA MB MC MD 求动点M的轨迹方程 分析 设出M点的坐标 x y 直接表示出 MA MB MC 即可求得M点的轨迹方程 返回目录 评析 求轨迹方程时 若题设没给出坐标系 要根据条件 建立适当的坐标系 适当 的原则是使运算简便 方程简单 通常以已知点所在的直线为坐标轴 以已知图形的中心为坐标原点建立直角坐标系 即尽量使定点的坐标简单 解析 以AB的中点O为坐标原点 直线AB为x轴建立直角坐标系 则点A a 0 B a 0 C 0 b D 0 b 设动点M的坐标为 x y 由已知 MA MB MC MD 得化简得x2 y2 a2 b2 可证此方程为所求方程 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 返回目录 考点二定义法求轨迹方程 例2 如图 已知圆A x 2 2 y2 1与点B 2 0 分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程 1 PAB的周长为10 2 圆P过点B 2 0 且与圆A外切 P为动圆圆心 3 圆P与圆A外切且与直线x 1相切 P为动圆圆心 返回目录 分析 结合圆锥曲线的定义 分析出曲线E的类型 按定义写出标准方程 然后用坐标表示向量式子解方程组可得 解析 1 根据题意 知 PA PB AB 10 即 PA PB 6 4 AB 故P点的轨迹是椭圆 且2a 6 2c 4 即a 3 c 2 b 因此其方程为 y 0 返回目录 2 设圆P的半径为r 则 PA r 1 PB r 因此 PA PB 1 由双曲线的定义知 P点的轨迹为双曲线的右支 且2a 1 2c 4 即a c 2 b 因此其方程为4x2 y2 1 x 3 依题意 知动点P到定点A的距离等于到定直线x 2的距离 故其轨迹为抛物线 且开口向左 p 4 因此其方程为y2 8x 返回目录 评析 1 本题为利用圆锥曲线定义求动点轨迹方程问题 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如圆 椭圆 双曲线 抛物线的定义 则可以直接根据定义求出动点的轨迹方程 2 圆锥曲线的定义揭示了其本质特征 而圆锥曲线的方程随坐标系的不同而不同 因而掌握定义是根本 返回目录 返回目录 1 因为F为定点 l为定直线 所以由椭圆第二定义可知 P点在以F为左焦点 l为左准线的椭圆上 依题意 得解得a 2 c 1 所以b2 3 因此曲线E的标准方程为 返回目录 返回目录 考点三代入法求轨迹方程 例3 如图8 5 5的示 M是抛物线y2 x上一动点 以OM为一边 O为原点 作正方形MNPO 求动点P的轨迹方程 分析 设点P 点M的坐标分别为 x y x0 y0 找出两者之间的关系 即x0 f x y y0 g x y 代入抛物线方程求得 返回目录 返回目录 评析 体会相关点求轨迹方程的实质 就是用所求动点P的坐标表达式 即含有x y的表达式 表示已知动点M的坐标 x0 y0 即得到x0 f x y y0 g x y 再将x0 y0的表达式代入点M的方程F x0 y0 0中 即得所求 返回目录 对应演练 如图 从双曲线x2 y2 1上一点Q引直线x y 2的垂线 垂足为N 求线段QN的中点P的轨迹方程 返回目录 返回目录 1 解答这类试题首先要明确圆锥曲线的性质 作好对图形变化可能性的总体分析 选好相应的解题策略和具体方法 注意将动点的几何特性用数学语言来表述 2 在求轨迹方程问题中易于出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略 因此 在求出曲线的方程之后再仔细地检查有无 不法分子 掺杂其中 将其剔除 另一方面又要注意有无 漏网之鱼 逍遥法外 将其找回 3 若轨迹有不同的情况