2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式测评（含解析）新人教A版.docx

第三讲 柯西不等式与排序不等式测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为()A.B.C.1,D.1,解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(22+32+42)(2x+3y+4z)2,即x2+y2+z2,当且仅当时,取到最小值,所以联立可得x=,y=,z=.答案:B2.已知3x2+2y21,则3x+2y的取值范围是()A.0,B.-,0C.-D.-5,5解析:|3x+2y|.所以-3x+2y.答案:C3.已知a,b,c是正实数,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是()A.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c30,则a2b2c20.由排序不等式,顺序和乱序和,有a3+b3+c3a2b+b2c+c2a.答案:B4.已知x,y,z是正实数,且=1,则x+的最小值是()A.5B.6C.8D.9解析:x+=9.当且仅当,即x=3,y=6,z=9时等号成立.答案:D5.已知a,b是给定的正数,则的最小值为()A.2a2+b2B.2abC.(2a+b)2D.4ab解析:=(sin2+cos2)=(2a+b)2,当且仅当sin=cos时,等号成立.故的最小值为(2a+b)2.答案:C6.设a,b,c为正实数,a+b+4c=1,则+2的最大值是()A.B.C.2D.解析:1=a+b+4c=()2+()2+(2)2=()2+()2+(2)2(12+12+12)(+2)2,(+2)23,+2,当且仅当a=,b=,c=时,取等号.答案:B7.在锐角ABC中,abQB.P=QC.P0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.MND.MN.答案:B10.设c1,c2,cn是a1,a2,an的某一排列(a1,a2,an均为正数),则+的最小值是()A.nB.C.D.2n解析:不妨设0a1a2an,则,的一个排列,再利用排序不等式的反序和乱序和求解.所以+=n.当且仅当a1=a2=an时等号成立.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.函数y=(00,所以st.答案:st15.设x,y,zR,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,则x+y+z=.解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)(x+2y+3z)2当且仅当时等号成立,此时y=2x,z=3x.x2+y2+z2=1,x+2y+3z=,x=,y=,z=.x+y+z=.答案:三、解答题(本大题共3小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设a,b,c均为正数,求证a+b+c.解：证明:由柯西不等式,得 ()2+()2+()2,即(a+b+c)2(a+b+c).因为a+b+c0,所以a+b+c.17.(8分)设a,b,c是正实数,求证:.解：证明:根据柯西不等式,得(b+c)+(c+a)+(a+b)(a+b+c)2.当且仅当a=b=c时等号成立.18.(9分)设a,b,c是正实数,利用排序不等式证明:(1)aabbabba(ab);(2)a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.解：证明:(1)不妨设ab0,则lg alg b.从而alg a+blg balg b+blg a,lg aa+lg bblg ba+lg ab.即lg aabblg baab,故aabbbaab.(2)不妨设abc0.则lg alg blg c.alg a+blg b+clg cblg a+clg b+alg c.alg a+blg b+clg cclg a+alg b+blg c.2alg a+2blg b+2c