8.2.7离散型随机变量的方差.doc

第6节离散型随机变量的分布列及均值和方差【选题明细表】知识点、方法题号离散型随机变量的分布列及性质1,2,4,7离散型随机变量的期望与方差6,8,9,10,12,13超几何分布及应用3,5,11基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2017茂名市二模)若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22则X的数学期望E(X)等于(C)(A)2 (B)2或12(C)12(D)1解析:由题意,a2+a22=1,a0,所以a=1,所以E(X)=012+112=12.故选C.2.(2017南宁市二模)设随机变量X的概率分布表如表,则P(|X-2|=1)等于(C)X1234P1614m13(A)712 (B)12 (C)512 (D)16解析:m=14,P(|X-2|=1)=14+16=512.故选C.3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X8的概率是(C)(A)415(B)715(C)815(D)35解析:X的取值为6,9,12,X8时,P(X=9)=C82C21C103=715,P(X=12)=C81C22C103=115,所以X8的概率为715+115=815.故选C.4.设随机变量的分布列为P(=k5)=ak(k=1,2,3,4,5),则P(110710)等于(C)(A)35(B)45(C)25(D)15解析:由已知得分布列为12345Pa2a3a4a5a由分布列的性质可得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=115.所以P(1106)=P(X=7)+P(X=8)=1235+135=1335.6.(2017合肥市二模)已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为,则E()等于(B)(A)3(B)72(C)185(D)4解析:由题意知的可能取值为2,3,4,P(=2)=2514=110,P(=3)=(2534+3524+3524)13=310,P(=4)=1-P(=2)-P(=3)=35,所以E()=2110+3310+435=72.故选B.7.设随机变量等可能取1,2,3,n,若P(4)=0.3,则n=. 解析:因为1,2,3,n每个值被取到的概率为1n,所以P(4)=P(=1)+P(=2)+P(=3)=1n+1n+1n=0.3,所以n=10.答案:108.(2019浙江宁波市二模)已知随机变量X的分布列如表:Xa234P13b1614若E(X)=2,则a=,D(X)=.解析:由随机变量X的分布列及E(X)=2,得13+b+16+14=1,13a+2b+316+414=2,解得a=0,b=14,所以D(X)=(0-2)213+(2-2)214+(3-2)216+(4-2)214=52.答案:052能力提升(建议用时:25分钟)9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴在y轴的左侧,其中a,b,c-3,-2,-1,0,1,2,3,在这些抛物线中,记随机变量=|a-b|,则E()为(A)(A)89(B)35(C)25(D)13解析:因为抛物线的对称轴在y轴的左侧,所以-b2a0,即a,b同号.所以随机变量的分布列为012P134929所以E()=013+149+229=89.故选A.10.(2019广东汕头市二模)一个不透明的袋子中装有大小相同的12个黑球,4个白球,每次有放回地任意摸取一个球,共摸取3次,若用X表示取到白球的次数,则X的数学期望E(X)与方差D(X)分别为,.解析:由题意,X的可能取值为0,1,2,3,摸到白球的概率为14,则P(X=0)=(34)3=2764,P(X=1)=C31(34)214=2764,P(X=2)=C3234(14)2=964,P(X=3)=(14)3=164.所以X的概率分布列为X0123P27642764964164所以数学期望为E(X)=02764+12764+2964+3164=34或E(X)=314=34;方差为D(X)=2764(0-34)2+2764(1-34)2+964(2-34)2+164(3-34)2=916.答案:3491611.(2017黔东南州一模)从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了60名学生的成绩得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分;(2)若用分层抽样的方法从分数在30,50)和130,150的学生中抽取6人,该6人中成绩在130,150的有几人?(3)在(2)抽取的6人中,随机抽取3人,设分数在130,150内的人数为,求其数学期望E().解:(1)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.005 02040+0.007 52060+0.007 52080+0.015 020100+0.012 520120+0.002 520140=92(分).(2)样本中分数在30,50)和130,150的人数分别为6人和3人,所以抽取的6人中分数在130,150的人有639=2(人).(3)由(2)知,抽取的6人中分数在130,150的有2人,依题意的所有取值为0,1,2,当=0时,P(=0)=C43C63=15;当=1时,P(=1)=C42C21C63=35;当=2时,P(=2)=C41C22C63=15;所以E()=015+135+215=1.12.(2019天津和平区二模)甲、乙、丙均两次参加英语高考,取两次成绩中较高的为最终成绩,三人第一次成绩不低于130分的概率依次为14,13,12.甲若第一次成绩不低于130分,则第二次成绩不低于130分的概率为23,若第一次成绩在130分以下,则第二次成绩不低于130分的概率为13;乙若第一次成绩不低于130分,则第二次成绩不低于130分的概率为14,若第一次成绩在130分以下,则第二次成绩不低于130分的概率为12;丙第二次成绩不受第一次成绩的影响,不低于130分的概率为23.(1)设A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”,B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”,C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”,分别求出事件A、事件B、事件C发生的概率;(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X,求X的分布列与数学期望.解:(1)A为事件“甲的英语高考最终成绩不低于130分”,事件A发生的概率P(A)=14+(1-14)13=12,B为事件“乙的英语高考最终成绩不低于130分”,事件B发生的概率P(B)=13+(1-13)12=23,C为事件“丙的英语高考最终成绩不低于130分”,事件C发生的概率P(C)=12+(1-12)23=56.(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于130分的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=P(A B C)=121316=136,P(X=1)=P(A B C+ABC+AB C)=121356+122316+121316=836,P(X=2)=P(ABC+ABC+ABC)=122356+121356+122316=1736,P(X=3)=P(ABC)=122356=1036.所以X的分布列为X0123P13683617361036数学期望E(X)=0136+1836+21736+31036=2.13.(2019河南洛阳市二模)某市共有户籍人口约400万,其中老人(60岁及以上)约66万,为了解老人们的身体健康状况,相关部门从这些老人中随机抽取600人进行健康评估.健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以80岁为界限分成两个群体进行统计,由样本数据制得条形图如图.(1)根据条形图完成下表:健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上80岁以下并估算该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比;(2)据统计,该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入,该市政府计划给这部分老人每月发放生活补贴,标准如下:80岁及以上老人每人每月发放生活补贴200元;80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元;不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.试估算该市政府为执行此计划每年所需资金的总额(单位:亿元,保留两位小数)解:(1)健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下200225502580岁及以上老人大约为6620+45+20+15600=11(万人),所以该市80岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为11400100%=2.75%.(2)设某户籍老人每月享受的生活补助为X元,X的取值为0,120,200,220,300.则P(X=0)=45,P(X=120)=15475600=19120,P(X=200)=1585600=17600,P(X=220)=1525600=1120,P(X=300)=151