九年级数学下册 专题突破讲练 a、b、c对抛物线y＝ax2＋bx＋c的影响试题 （新版）青岛版.doc

a、b、c对抛物线yax2bxc的影响抛物线yax2bxc的图象及性质与系数a、b、c的关系制表a、b、c的代数式作用说明a（1）a的正、负决定抛物线的开口方向；（2）a的大小决定抛物线的开口大小，a越大，开口越小；a越小，开口越大a0开口向上a0开口向下c确定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为（0，c）c0交点在y轴的正半轴c0交点在原点c0交点在y轴的负半轴确定对称轴的位置，对称轴为直线xa、b同号对称轴在y轴的左侧a、b异号对称轴在y轴的右侧b24ac确定抛物线与x轴的交点的个数b24ac0抛物线与x轴有两个交点b24ac0抛物线与x轴有一个交点b24ac0抛物线与x轴无交点方法归纳：（1）当x1时，yabc；当x1时，yabc。若abc0，则x1时y0；若abc0，则x1时y0。（2）a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置。当b0时，对称轴为y轴；当ab0时，对称轴在y轴左侧；当ab0时，对称轴在y轴右侧。总结：1. 根据a、b、c的符号判断二次函数yax2bxc（a0）的图象的位置。2. 根据二次函数yax2bxc（a0）的图象求抛物线的顶点、对称轴、与坐标轴的交点，a、b、c的符号，一元二次方程ax2bxc0的解。例题1 二次函数yax2bxc的图象如图所示，给出下列说法：ac0；2ab0；abc0；当x1时，函数y随x的增大而增大；当y0时，1x3。其中，正确的说法有（ ）A. B. C. D. 解析：根据图象开口向下和与y轴的交点位置，求出a0，c0，即可判断；根据抛物线的顶点的横坐标1可判定；把x1代入抛物线，根据纵坐标y的值可判断；根据图象的性质（部分图象的延伸方向）可判断；根据图象在x轴的上方时，y0，即可求出x的取值范围。答案：抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，a0，c0，ac0，错误；由图象可知：1，2ab0，正确；当x1时，yabc0，错误；由图象可知：当x1时，函数y随x的增大而减小，错误；根据图象，当1x3时，y0，正确；正确的说法有。点拨：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式等知识点的应用，注意：根据抛物线的开口方向即可得到a的正负，根据抛物线与y轴的交点的纵坐标即可求出c的值，根据顶点的横坐标得出2a和b的关系式，把x1或1代入即可求出abc和abc的值，题型较好，但有一定的难度。例题2 已知一元二次方程7x2（k13）xk20的两实数根x1、x2满足0x11，1x22，求k的取值范围。解析：画出二次函数y7x2（k13）xk2的草图，根据关键点确定不等式。答案：令y7x2（k13）xk2，则由已知条件可知，此抛物线与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），0x11，1x22，并且开口向上，根据这些特点，画出其大致图象，如图所示，由图象可得，即。解这个不等式组得2k。点拨：本题用到了建模的思想，即建立二次函数模型，用函数知识解决方程问题，同时本题还运用了数形结合的思想方法，把变化的“数”用“形”清楚地显示出来。观察二次函数的图象时，重点是“六点一轴一方”。所谓“六点”是指抛物线与x轴两交点（或交点的个数）、与y轴的交点、顶点、x1时对应的抛物线上的点（1，y（1）、（1，y（1），“一轴”即对称轴，“一方”就是开口方向。其中开口方向决定a的符号，对称轴及a的符号决定b的符号，c的符号由抛物线与y轴的交点位置决定，b24ac的符号由抛物线与x轴的交点个数决定，点（1，y（1）决定abc的符号，点（1，y（1）决定abc的符号，同时应注意上述说法反过来也成立。例：若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2bxc（a0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1x2，x1x2。把它称为一元二次方程根与系数的关系定理。如果设二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）。利用根与系数的关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：ABx1x2。参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数yax2bxc（a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形。（1）当ABC为直角三角形时，求b24ac的值；（2）当ABC为等边三角形时，求b24ac的值。解：（1）当ABC为直角三角形时，过C作CEAB于E，则AB2CE。抛物线与x轴有两个交点，b24ac0，则b24acb24ac。a0，AB，又CE，2，b24ac，b24ac0，b24ac4；（2）当ABC为等边三角形时，由等边三角形的性质和勾股定理可得CEAB，b24ac0，b24ac12。分析：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等。解题关键是建立抛物线顶点的纵坐标与抛物线和x轴两交点间线段长度的数量关系。（答题时间：30分钟）一、选择题1. 二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. a0B. 当1x3时，y0C. c0D. 当x1时，y随x的增大而增大*2. 在同一坐标系内，一次函数yaxb与二次函数yax28xb的图象可能是（ ）*3. 如图所示，二次函数yax2bxc（a0）的图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中2x11，0x21，下列结论：abc0；4a2bc0；2ab0。其中正确的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个*4. 已知b0时，二次函数yax2bxa21的图象如下列四个图之一所示。根据图象分析，a的值等于（ ）A. 2B. 1C. 1D2*5. 如图，抛物线yax2bxc（a0）过点（1，0）和点（0，2），且顶点在第三象限，设Pabc，则P的取值范围是（ ）A. 4P0B. 4P2C. 2P0D. 1P0*6. 小轩从如图所示的二次函数yax2bxc（a0）的图象中，观察得出了下面五条信息：ab0；abc0；b2c0；a2b4c0；ab。你认为其中正确信息的个数有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题7. 如图所示，在同一个坐标系内，二次函数y1ax2bxc（a0）和一次函数y2dxe（d0）的图象相交于点A（m，n）和点B（p，q）。当y1y2时，用m、p表示x的取值范围是_。8. 若二次函数yx26xc的图像过A（1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是_。*9. 若关于x的函数ykx22x1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为_。*10. 已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；bac；4a2bc0；2c3b；abm（amb）（m是不等于1的实数）。其中正确结论的序号有_。三、解答题11. 已知抛物线y1ax2bxc（a0，ac）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限。（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由。*12. 我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是yax2bx（a0）。（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，a_；当顶点坐标为（m，m），m0时，a与m之间的关系式是_；（2）继续探究，如果b0，且过原点的抛物线的顶点在直线ykx（k0）上，请用含k的代数式表示b。*13. 已知抛物线y1ax2bxc（a0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2xn的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围。*14. 已知二次函数ya（xm）2a（xm）（a、m为常数，且a0）。（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D。当ABC的面积等于1时，求a的值：当ABC的面积与ABD的面积相等时，求m的值。一、选择题1. B 解析：A. 抛物线的开口方向向下，则a0，本选项错误；B. 抛物线的对称轴为x1，抛物线与x轴的一交点的横坐标是1，则抛物线与x轴的另一交点的横坐标是3，所以当1x3时，y0。故本选项正确；C. 该抛物线与y轴交于正半轴，则c0，本选项错误；D. 根据图示知，当x1时，y随x的增大而减小，故本选项错误。故选B。*2. C 解析：x0时，两个函数的函数值均为yb，所以两个函数的图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以a0，所以一次函数yaxb经过第一、三象限，所以A选项错误，C选项正确。故选C。*3. C 解析：由图可知c0，a0，0，b0，abc0，正确；当x2时y0，即4a2bc0，正确；由对称轴1得10，a0，2ab0，正确。*4. C 解析：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以x0，解得b0，与已知中b0相矛盾；第3个图抛物线开口向上，a0，经过坐标原点，a210，解得a11，a21（舍去），对称轴x0，所以b0，符合题意，故a1，第4个图抛物线开口向下，a0，经过坐标原点，a210，解得a11（舍去），a21，对称轴x0，所以b0，不符合题意，综上所述，a的值等于1。故选C。*5. A 解析：二次函数的图象开口向上，a0，对称轴在y轴的左边，0，b0，图象与y轴的交点坐标是（0，2），过（1，0）点，代入得：ab20，a2b，b2a，yax2（2a）x2，把x1代入得：ya（2a）22a4，即yabcP。b0，b2a0，a2，a0，0a2，02a4，42a40，即4P0，故选A。*6. D 解析：如图，抛物线开口方向向下，a0。对称轴x，ba0，ab0，且有3b2a，ab。故和正确；如图，当x1时，y0，即abc0。故正确；如图，当x1时，yabc0，2a2b2c0，又3b2a，3b2b2c0，即b2c0。故正确；如图，当x1时，y0，即abc0。抛物线与y轴交于正半轴，则c0。b0，cb0，（abc）（cb）2c0，即a2b4c0。故正确。综上所述，正确的结论是，共5个。故选D。二、填空题7. mxp 解析：直接观察图象即可。8. y1y3y2 解析：因为此抛物线的对称轴是x3，开口向上，所以A、B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，因为3（1）（3）332，由抛物线的对称性可知y1y3y2。*9. k0或k1 解析：函数与x轴只有一个交点，有两个可能：（1）当k0时，是一次函数，符合题意；（2）当k0时，44k0，解得k1，所以k0或k1。*10. 解析：由图象可知，a0，c0，0，所以b0，因此，abc0，正确；当x1时，y0，所以abc0，即bac，所以错误；由对称轴1，得b2a，又抛物线与x轴的一个交点的横坐标在1与0之间，另一交点的横坐标必大于2，当x2时y4a2bc0，正确；对于，由知b2a且bac，所以2b2a2c，2c3b，正确；x1时，yabc（最大值），xm时，yam2bmc，m1，abcam2bmc，abm（amb）成立。错误，选。三、解答题11. 解：（1）抛物线y1ax2bxc（a0，ac）经过A（1，0），代入可得bac；（2）B在第四象限。理由如下：抛物线y1ax2bxc（a0，ac）过点A（1，0），x11，x2，ac，所以抛物线与x轴有两个交点，又因为抛物线不经过第三象限，所以a0，且顶点在第四象限。*12. 解：（1）顶点坐标为（1，1），解得。即当顶点坐标为（1，1）时，a1；当顶点坐标为（m，m），m0时，解得。则a与m之间的关系式是：a或am10。（2）a0，yax2bxa（x）2，顶点坐标是（，）。又该顶点在直线ykx（k0）上，k（）。b0，b2k。*13. 解：根据OC长为8可得一次函数中n的值为8或8。分类讨论：n8时，易得A（6，0），如图1，抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，抛物线开口向下，则a0，AB16，且A（6，0），B（10，0），而A、B关于对称轴对称，对称轴直线x2，要使y1随着x的增大而减小，而a0，x2；n8时，易得A（6，0），如图2，抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，抛物线开口向上，则a0，AB16，且A（6，0），B（10，0），而A、B关于对称轴对称，对称轴直线x2，要使y1随着x的增大而减小，且a0，x2。*14. （1）证明：ya（xm）2a（xm）ax2（2ama）xam2am。因为当a0时，（2ama）24a（am2am