243正多边形和圆（第1课时）

义务教育课程标准实验教科书 九年级上册 人民教育出版社 24 3正多边形和圆 第1课时 问题1 什么样的图形是正多边形 各边相等 各角也相等的多边形是正多边形 活动1 正多边形的性质 n 2 180 每条边都相等每个角都相等 轴对称图形 一个正n边形共有n条对称轴 每条对称轴都通过n边形的中心 正多边形的性质 正五边形 正八边形 正三边形 边数是偶数的正多边形是中心对称图形 它的中心就是对称中心 正八边形 正六边形 正多边形的性质 你知道正多边形与圆的关系吗 正多边形和圆的关系非常密切 只要把一个圆分成相等的一些弧 就可以作出这个圆的内接正多边形 这个圆就是这个正多边形的外接圆 活动2 如图 把 O分成把 O分成相等的5段弧 依次连接各分点得到正五边形ABCDE AB BC CD DE EA A B 同理 B C D E 又五边形ABCDE的顶点都在 O上 五边形ABCD是 O的内接正五边形 O是五边形ABCD的外接圆 我们以圆内接正五边形为例证明 弦相等 多边形的边相等 多边形的角相等 圆周角相等 内接正多边形与外接圆的联系 正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 外接圆的半径叫做正多边形的半径 中心到正多边形的距离叫做正多边形的边心距 O 中心角 A B G 边心距OG把 AOB分成2个全等的直角三角形 设正多边形的边长为a 半径为R 它的周长为L na R a 正多边形的有关计算 例有一个亭子 它的地基半径为4m的正六边形 求地基的周长和面积 精确到0 1m2 解 如图由于ABCDEF是正六边形 所以它的中心角等于 OBC是等边三角形 从而正六边形的边长等于它的半径 因此 亭子地基的周长 l 4 6 24 m 在Rt OPC中 OC 4 PC 利用勾股定理 可得边心距 亭子地基的面积 O A B C D E F R P r 活动3 练习 1 矩形是正多边形吗 菱形呢 正方形呢 为什么 矩形不是正多边形 因为四条边不都相等 菱形不是正多边形 因为菱形的四个角不都相等 正方形是正多边形 因为四条边都相等 四个角都相等 活动4 2 各边相等的圆内接多边形是正多边形 各角都相等的圆内接多边形呢 如果是 说明为什么 如果不是 举出反例 各边相等的圆内接多边形是正多边形 多边形A1A2A3A4 An是 O的内接多边形 且A1A2 A2A3 A3A4 An 1An 多边形A1A2A3A4 An是正多边形 A1 A A A A A A An O 3 分别求出半径为R的圆内接正三角形 正方形的边长 边心距和面积 解 作等边 ABC的BC边上的高AD 垂足为D 连接OB 则OB R 在Rt OBD中 OBD 30 边心距 OD 在Rt ABD中 BAD 30 A B C D O 解 连接OB OC作OE BC垂足为E OEB 90 OBE BOE 45 在Rt OBE中为等腰直角三角形 A B C D O E 1 正n边形的一个内角的度数是 中心角是 正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等 随堂练习 2 O是正 ABC的中心 它是 ABC的 圆与 圆的圆心 外接 内切 3 求证 正五边形的对角线相等 证明 连结BD CE 则在 BCD和 CDE中 BC CD BCD CDECD DE BCD CDE BD CE同理可证对角线相等 4 正六边形ABCDEF外切于 O O的半径为R 则该正六边形的周长和面积各是多少 A B C D E F O M R 5 A是半径为2的 O外的一点 OA 4 AB是 O的切线 点B是切点 弦BC OA 边结AC 则图中阴影部分的面积等于 A B C D O A 6 已知正六边形ABCDEF的边长为2厘米 分别以每个顶点为圆心 以1厘米为半径作弧 求这些弧所围成的图形 阴影部分 面积 精确到0 1平方厘米 H G O 5 等边 ABC的边长为a 以各边为弦作弧交于 ABC的外心O 求 菊形的面积 A B C O O 正多边形 概念 计算 画法 应用 正多边形与圆的关系 正多边形的中心 半径 边心距 中心角 正多边形的对称性 相似性