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第章轴对称 人教版八级上 轴对称 单元测试 答案 解析

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《第13章 轴对称》 　 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形成轴对称图形的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列图形中，对称轴的条数最少的图形是（　　） A． B． C． D． 3．在44的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若等腰三角形的顶角为40，则它的底角度数为（　　） A．40 B．50 C．60 D．70 5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（　　） A．12 B．9 C．12或9 D．9或7 6．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（　　） A． B．2 C．1.5 D． 7．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 8．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 9．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 10．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　） A．15或30 B．30或45 C．45或60 D．30或60 　 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．轴对称是指　　个图形的位置关系，轴对称图形是指　　个具有特殊形状的图形． 12．点A（﹣3，2）与点B（3，2）关于　　对称． 13．已知等腰三角形的顶角为40，则它一腰上的高与底边的夹角为　　． 14．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=　　． 15．在等边三角形ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，且AD=BE．连接AE、CD交于点P，则∠APD=　　． 16．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 　 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图是未完成的上海大众的汽车标志图案，该图案是以直线L为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴左边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴右边的部分．（要求用尺规作图，保留痕迹，不写作法．） 18．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是　　． 19．如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为　　cm． 20．如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长． 21．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100，求∠B的度数． 22．在平面直角坐标系中，等边三角形OAB关于x轴对称的图形是等边三角形OA′B′．若已知点A的坐标为（6，0），求点B′的横坐标． 23．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时， （1）A、B关于x轴对称； （2）A、B关于y轴对称． 24．（12分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 　 《第13章 轴对称》 参考答案与试题解析 　 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形成轴对称图形的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：根据轴对称图形的概念，全部都是轴对称图形．故选A． 【点评】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．难度层次为基础题． 　 2．下列图形中，对称轴的条数最少的图形是（　　） A． B． C． D． 【考点】轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴确定对称轴，进而可得答案． 【解答】解：A、有4条对称轴，故此选项错误； B、有3条对称轴，故此选项正确； C、有4条对称轴，故此选项错误； D、有4条对称轴，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确寻找对称轴． 　 3．在44的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形．那么符合条件的小正方形共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】轴对称图形． 【专题】压轴题；网格型． 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：如图所示，有3个使之成为轴对称图形． 故选C． 【点评】此题通过利用格点图，考查学生轴对称性的认识．解题的关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有3种画法． 　 4．若等腰三角形的顶角为40，则它的底角度数为（　　） A．40 B．50 C．60 D．70 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】计算题． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等， 又因为顶角是40， 所以其底角为=70． 故选：D． 【点评】此题考查学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，解答此题的关键是知道等腰三角形的两个底角相等． 　 5．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（　　） A．12 B．9 C．12或9 D．9或7 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可． 【解答】解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5， ∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立， 当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12． 故选：A． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键． 　 6．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（　　） A． B．2 C．1.5 D． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】压轴题． 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，得到AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90，从而AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC，得到∠CAB=30，∠ACB=60，进一步得到∠BCE=，所以BE=，再证明△AOE≌△COF，得到OE=OF，所以四边形AECF为菱形，所以AE=CE，得到BE=，即可解答． 【解答】解：∵ABCD是矩形， ∴AD=BC，∠B=90， ∵翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上， ∴AO=AD，CO=BC，∠AOE=∠COF=90， ∴AO=CO，AC=AO+CO=AD+BC=2BC， ∴∠CAB=30， ∴∠ACB=60， ∴∠BCE=， ∴BE= ∵AB∥CD， ∴∠OAE=∠FCO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF， ∴EF与AC互相垂直平分， ∴四边形AECF为菱形， ∴AE=CE， ∴BE=， ∴=2， 故选：B． 【点评】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，利用直角三角形的性质得到∠CAB=30，进而得到BE=，在利用菱形的判定定理与性质定理解决问题． 　 7．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【考点】等腰三角形的判定；矩形的性质． 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=CO=DO，进而得到等腰三角形． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO=BO=CO=DO， ∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形， 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，以及矩形的性质，关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分． 　 8．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【专题】几何变换． 【分析】由折叠特性可得CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90，∠EBC′=∠ABC=90，推出∠ABE=∠C′BF，所以△BAE≌△BC′F，根据△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长求解． 【解答】解：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF， 由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90，∠EBC′=∠ABC=90， ∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90 ∴∠ABE=∠C′BF 在△BAE和△BC′F中， ∴△BAE≌△BC′F（ASA）， ∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3， △ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=23=6． 故选：C． 【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角边相等． 　 9．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【考点】轴对称-最短路线问题． 【专题】压轴题． 【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60，即可得出结果． 【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD， 分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示： ∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C， ∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA； ∵点P关于OB的对称点为C， ∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB， ∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD， ∵△PMN周长的最小值是5cm， ∴PM+PN+MN=5， ∴DM+CN+MN=5， 即CD=5=OP， ∴OC=OD=CD， 即△OCD是等边三角形， ∴∠COD=60， ∴∠AOB=30； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键． 　 10．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120 的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　） A．15或30 B．30或45 C．45或60 D．30或60 【考点】剪纸问题． 【分析】折痕为AC与BD，∠BAD=120，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30，易得∠BAC=60，所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30或60． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC， ∵∠BAD=120， ∴∠ABC=180﹣∠BAD=180﹣120=60， ∴∠ABD=30，∠BAC=60． ∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30或60． 故选D． 【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角． 　 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．轴对称是指　两　个图形的位置关系，轴对称图形是指　一　个具有特殊形状的图形． 【考点】轴对称图形． 【分析】关于某条直线对称的一个图形叫轴对称图形．直线两旁的部分能够互相重合的两个图形叫做这两个图形成轴对称． 【解答】解：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形． 【点评】需理解掌握轴对称和轴对称图形的概念． 　 12．点A（﹣3，2）与点B（3，2）关于　y轴　对称． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接得到答案． 【解答】解：∵点A（﹣3，2），点B（3，2）， ∴A、B关于y轴对称， 故答案为：y轴． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是注意观察点的坐标的变化． 　 13．已知等腰三角形的顶角为40，则它一腰上的高与底边的夹角为　20　． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数． 【解答】解：如图：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高． ∵∠A=70，且AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180﹣40）2=570； 在Rt△BDC中， ∠BDC=90，∠C=70； ∴∠DBC=90﹣70=20． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，及三角形内角和定理．求一个角的大小，常常通过三角形内角和来解决，注意应用． 　 14．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=　8　． 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=BD，求出△BDC的周长为AC+BC，代入求出即可． 【解答】解：∵AB边的垂直平分线DE， ∴AD=BD， ∵△BDC的周长为14，BC=6， ∴BC+BD+DC=14， ∴AD+DC+6=14， ∴AC=8， ∴AB=AC=8， 故答案为：8． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形性质、线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 　 15．在等边三角形ABC中，点D在AB边上，点E在BC边上，且AD=BE．连接AE、CD交于点P，则∠APD=　60　． 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】首先证明△ACD≌△BAE可得∠ACD=∠BAE，根据∠BAE+∠EAC=60可得∠ACD+∠EAC=60，再根据三角形内角与外角的关系可得∠APD=60． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB，∠BAC=∠B=60， 在△ACD和△BAE中， ， ∴△ACD≌△BAE（SAS）， ∴∠ACD=∠BAE， ∵∠BAE+∠EAC=60， ∴∠ACD+∠EAC=60， ∴∠APD=60， 故答案为：60． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是掌握等边三角形的三个内角都相等，且都等于60． 　 16．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【考点】角平分线的性质． 【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解． 【解答】解：如图， 过点P作PE⊥OB于点E， ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D， ∴PE=PD， ∵PD=6， ∴PE=6， 即点P到OB的距离是6． 故选：A． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键． 　 三、解答题（共8题，共72分） 17．如图是未完成的上海大众的汽车标志图案，该图案是以直线L为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴左边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴右边的部分．（要求用尺规作图，保留痕迹，不写作法．） 【考点】利用轴对称设计图案． 【分析】根据轴对称图形的性质，先作垂线平分直径，得出半径长度，再利用截弧相等的方法找对称点，即可画出图形． 【解答】解：如图所示： ． 【点评】此题主要考查了应用与设计作图，关键是掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 　 18．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是　4　． 【考点】角平分线的性质． 【专题】压轴题． 【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF；再根据DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE；最后根据三角形的面积=底高2，求出△BCD的面积是多少即可． 【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D， ∴∠DCE=∠DCF， ∵DE⊥AC，DF⊥BC， ∴∠DEC=∠DFC=90， 在△DEC和△DFC中， （AAS） ∴△DEC≌△DFC， ∴DF=DE=2， ∴S△BCD=BCDF2 =422 =4 答：△BCD的面积是4． 故答案为：4． 【点评】（1）此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握． 　 19．如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为　4　cm． 【考点】角平分线的性质． 【分析】BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离． 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm， ∴点P到BC的距离=PE=4cm． 故答案为4． 【点评】本题考查了角平分线的性质．由已知能够注意到P到BC的距离即为PE长是解决的关键． 　 20．如图：△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边与点E，连接AD，若AE=4cm，求△ABD的周长． 【考点】翻折变换（折叠问题）． 【分析】直接利用翻折变换的性质得出AE=EC，进而得出△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC﹣CD=AB+BC，进而得出答案． 【解答】解：由图形和题意可知：AD=DC，AE=CE=4cm， 则AB+BC=30﹣8=22（cm）， 故△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC﹣CD=AB+BC， 即可求出周长为22cm． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，正确得出AB+BC的长是解题关键． 　 21．如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACD=100，求∠B的度数． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】根据等边对等角和三角形的内角和定理，可先求得∠CAD的度数；再根据外角的性质，求∠B的读数． 【解答】解：∵AC=DC=DB，∠ACD=100， ∴∠CAD=（180﹣100）2=40， ∵∠CDB是△ACD的外角， ∴∠CDB=∠A+∠ACD=100=40+100=140， ∵DC=DB， ∴∠B=（180﹣140）2=20． 【点评】此题很简单，考查了等腰三角形的性质，关键是根据三角形外角的性质及三角形的内角和定理解答． 　 22．在平面直角坐标系中，等边三角形OAB关于x轴对称的图形是等边三角形OA′B′．若已知点A的坐标为（6，0），求点B′的横坐标． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；轴对称图形． 【分析】根据等边三角形的性质，可得B点坐标，根据关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标相等，可得答案． 【解答】解：如图所示， 由等边三角形，得 B点的横坐标为3， BC==3， 即B点的坐标为（3，3）． 由等边三角形OAB关于x轴对称的图形是等边三角形OA′B′，得 B′点的坐标为（3，﹣3）． 【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用等边三角形得出B点坐标是解题关键，关于x轴对称的点的纵坐标互为相反数，横坐标相等． 　 23．已知点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），当m、n分别为何值时， （1）A、B关于x轴对称； （2）A、B关于y轴对称． 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得，再解方程组即可； （2）根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，再解方程组即可． 【解答】解：（1）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于x轴对称， ∴， 解得； （2）∵点A（2m+n，2），B （1，n﹣m），A、B关于y轴对称， ∴， 解得：． 【点评】此题主要考查了关于x、y轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标特点． 　 24．（12分）（2015秋•连城县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 【考点】作图-轴对称变换． 【专题】综合题． 【分析】（1）根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置即可． （2）以AB为底，则点C到AB得距离即是底边AB的高，结合坐标系可得出高为点C的纵坐标的绝对值加上点B的纵坐标的绝对值，从而根据三角形的面积公式计算即可． （3）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可得出A1、B1、C1的坐标． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由图形可得：AB=2，AB边上的高=|﹣1|+|4|=5， ∴△ABC的面积=AB5=5． （3）∵A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1），△A1B1C1与△ABC关于x轴对称， ∴A1（0，﹣4）、B1（2，﹣4）、C1．（3，1）． 【点评】本题考查轴对称作图及直角坐标系的知识，难度一般，解答本题的关键是正确的找出三点的位置，另外要掌握关于x轴对称的点的坐标的特点． 第22页（共22页）

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