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自动控制原理 第7章离散系统分析 自动化 电气专业重要的专业基础课之一 第七章线性离散系统分析与校正 7 1离散系统的基本概念 7 2信号的采样与保持 7 3Z变换理论 7 4离散系统的数学模型 7 5离散系统稳定性与稳态误差分析 7 1离散系统的基本概念 一 连续与离散系统连续信号 时间上连续 幅度上连续的信号离散信号 时间上离散时间 幅度上连续或离散的信号连续系统 控制系统中所有信号都是时间变量的连续函数离散系统 控制系统中有一处或者几处是离散信号脉冲控制系统 采样系统 离散信号是脉冲序列 幅值连续 数字控制系统 计算机系统 数字信号 幅值不连续 二 采样控制系统 I 信号的采样在采样控制系统中 把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程 简称采样 实现采样的装置称为采样器 或称采样开关 为了简化系统的分析 可认为趋于零 即把采样器的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲e t 如图所示 II 信号的复现在采样控制系统中 把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程 实现复现过程的装置称为保持器 III 采样系统的典型结构图根据采样器在系统中所处的位置不同 可以构成各种系统 如果采样器位于系统闭合回路之外 或者系统本身不存在闭合回路 则称为开环采样系统 如果采样器位于系统闭合回路之内 则称为闭环采样系统 在各种采样控制系统中 用得最多的是误差采样控制的闭环采样系统 其典型结构图如下图所示 采样系统的典型结构图 S为理想采样开关 采样瞬时的脉冲幅值等于相应采样误差信号e t 的幅值 且采样持续时间趋于0 Gh s 为保持器的传递函数 Gp s 为被控对象的传递函数 H s 为测量变送反馈元件的传递函数 三 数字控制系统 1 计算机控制系统典型原理图 计算机作为系统的控制器 其输入输出只能是二进制编码的数字信号 而系统中被控对象和测量元件的输入和输出都是连续信号 所以需要应用模 数转换器和数 模转换器 2 A D转换器 D A转换器1 A D转换A D转换包括两个过程 一是采样过程 二是量化过程 2 D A转换D A转换也经历两个过程 一是解码过程 二是复现过程 3 数字控制系统的典型结构图 数字控制系统的典型结构 控制器的传递函数 被控对象的传递函数 信号保持器的传递函数 测量元件的传递函数 三 离散控制系统的特点 1 数字校正装置比连续校正装置实现方便且效果好2 离散信号可以有效抑制噪声3 允许采用高灵敏度的控制元件 控制精度高4 计算机利用率高5 对于具有传输延迟的系统 引入采样的方式稳定 四 研究方法 拉氏变换 传递函数和频率响应法 根轨迹法不再适用 研究离散时间控制系统的数学基础是Z变换 进一步利用脉冲传递函数来分析离散控制系统的稳定性和性能 7 2信号的采样与保持 一 信号的采样1 采样开关 连续信号e t 变为离散信号e t e t e t T T为采样周期 2 实际采样过程 3 理想采样过程 理想采样信号的表达式 e t 采样信号的拉氏变换对采样信号e t 进行拉氏变换 可得 公式将E s 与采样函数e nT 联系了起来 由于e t 只描述了在采样瞬时的数值 所以E s 不能给出连续函数在采样间隔之间的信息 香农采样定理香农采样定理 如果采样器的输入信号e t 具有有限带宽 并且有直到 h的频率分量 则使信号e t 完满地从采样信号e t 中恢复过来的采样周期T 满足下列条件 要对对象进行控制 通常要把采样信号恢复成原连续信号 信号能否恢复到原来的形状 主要决定于采样信号是否包含反映原信号的全部信息 实际上这又与采样频率有关 因为连续信号经采样后 只能给出采样时刻的数值 不能给出采样时刻之间的数值 亦即损失掉f t 的部分信息 连续信号变化越缓慢 采样频率越高 则采样信号就越能反映原信号的变化规律 二 采样定理给出从离散信号不失真地恢复原来信号所需的最低采样频率 三 零阶保持器将离散信号恢复为连续信号 本质上解决各采样时刻之间的差值问题保持器是具有外推功能的元件 保持器的外推作用 表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推 用时间多项式逼近两个采样时刻之间的信号当取多项式中的阶次p 0时称为零阶保持器 两个采样时刻之间保持采样值不变 使采样信号变成阶梯信号 以 表示零阶保持器 在幅值为 的理想脉冲 作用下的输出 可以分解为两个单位阶跃函数之和 为零阶保持器的脉冲响应函数 其传递函数为 零阶保持器对系统的影响 输出比输入在时间上滞后T 2 具有时间滞后特性 对系统稳定性不利 7 3Z变换 一 Z变换 采样拉氏变换 设连续信号可进行拉氏变换 设时 则 采样信号可以写为 采样信号的拉氏变换为 由脉冲函数的筛选性质 所以 采样信号的拉氏变换为 令 Z也是个复数 采样信号的Z变换为 或记作 二 Z变换方法 1 幂级数求和法 利用Z变换的定义式 若级数收敛 则Z变换存在 解 单位阶跃信号的离散信号为 时上式收敛 因此单位阶跃函数的Z变换为 例1 求单位阶跃函数的Z变换 等比序列 解 指数函数的采样值为 例2 求指数函数的Z变换 当 即当时 上式收敛 例3 求理想脉冲序列的Z变换 解 离散信号为 所以 时上式收敛 单位阶跃 理想脉冲序列 为何相同 在每个采样点处的值相同 2 部分分式法 例4 求下面传递函数的Z变换 解 将F s 展开为部分分式 求拉氏逆变换 得 再求Z变换 得 表7 2 1Z变换简表 三 Z变换的性质 1 线性定理 若 为常数 则 2 实数位移定理 若 设 则 例7 10 求的Z变换 a为常数 解 3 复数位移定理 解 已知 设 则有 例7 11 求的Z变换 4 终值定理 例7 12 已知 若 序列极限存在 则 确定的终值 或 解 应用终值定理 5 卷积定理 两个离散信号的卷积定义为 那么 如果 若已知序列的Z变换为 四 Z反变换 则 1 部分分式法 1 设无重极点 将其分解为 再改写为 2 查Z变换表 得每个分式的反变换 3 的采样函数 例5 求下面Z变换函数的反变换 解 所以 查Z变换表 得 2 幂级数法 长除法 将E z 写为如下的多项式形式 都是常系数 应用多项式除法 可得 若该级数收敛 则根据Z变换的定义可知 是采样脉冲序列的脉冲强度 那么 可以直接写出 例7 14 设Z变换为 求其Z反变换 利用多项式除法 可得 解 E z 改写为 所以 采样离散信号为 7 4离散系统的数学模型 离散系统数学模型 差分方程脉冲 Z 传递函数离散状态空间模型 输入序列 输出序列 离散系统在离散时间系统理论中 信号总是以序列的形式出现 将输入序列r n n 0 1 2 变换为输出序列c n 的一种变换关系 称为离散系统 线性离散系统线性定常离散系统 离散模型满足线性叠加原理 并且输入输出关系不随时间变化差分方程k时刻的输出c k 不仅与k时刻的输入有关 而且与k时刻以前的输入和输出有关 表示为 或记为 差分方程的求解 迭代法 例1 求如下差分方程的输出序列的值 已知输入序列 初始条件 解 手工计算 2 Z变换法 三 脉冲传递函数1 定义 设初始条件为零 脉冲传递函数定义为输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比 即 G s 是一个线性环节的传递函数 而G z 表示的是线性环节与理想开关两者的组合体的传递函数 脉冲传递函数 如果不存在理想开关 那么定义式是不成立的 利用线性环节的脉冲传递函数只能得出在采样时刻上的信息 为了强调这一点 往往在环节的输出端画上一个假想的同步理想开关 实际上 线性环节的输出仍然是一个连续信号 系统脉冲响应函数等于加权序列的Z变换 若已知 则 若输出为连续信号c t 可以在输出端设一虚拟采样开关 如图 则 所以 该系统 或环节 的Z传递函数是 线性定常离散系统的差分方程 例2 设某环节的差分方程为 求其脉冲传递函数G z 解 对差分方程两边取Z变换 有 脉冲传递函数G z 和传递函数G s 的关系 则有 G z 与G s 的关系 对于传递函数 假设前面加上一个虚拟的采样开关 如图 例3 设一个系统的开环传递函数为 求其相应的脉冲传递函数 解 将G s 展开为部分分式 查Z变换表 得 四 开环脉冲传函当开环离散系统由几个环节串联时 其脉冲传函的求法与连续系统不同 即使两个系统环节完全相同 但是由于采样开关位置和数目不同 开环传函也会不同 采样拉氏变换的重要性质 若采样函数的拉氏变换与连续函数的拉氏变换相乘后再离散化 则可以从离散符号中提出来 即 串联环节之间有采样开关 根据脉冲传递函数定义 有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数 等于这两个环节各自的脉冲传递函数之积 串联环节之间无采样开关 在两个串联连续环节G1 s 和G2 s 之间 没有理想采样开关 此时 连续信号的拉氏变换为 R s 为输入采样信号r t 的拉氏变换 即 对输出C s 离散化 并根据性质 7 64 有 没有理想采样开关隔开的两个线性环节串联时的脉冲传递函数 等于这两个环节乘积后相应的Z变换 被理想采样开关隔开的两个线性环节串联时 其脉冲传递函数等于这两个环节各自的脉冲传递函数的乘积 这个结论可以推广到几个环节串联 而所有串联环节之间都有理想开关分隔的情况 在这种情况下 总的脉冲传递函数等于每个环节的脉冲传递函数的乘积 没有采样开关隔离时两个线性环节串联 其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之积的Z变换 例7 20 设开环离散系统如图 7 24 a 和 b 所示 其中G1 s 1 s G2 s a s a 输入信号r t 1 t 试求系统 a 和 b 的脉冲传递函数G z 和输出的z变换C z 解 查z变换表 输入r t 1 t 的z变换为R z z z 1 所以 对于系统 a G1 z Z 1 s z z 1 G2 z Z a s a 对于系统 b G1 s G2 s a s s a 3 有零阶保持器的情况 Gh s 为零阶保持器传递函数 将 a 化成等效的 b 来求 有零阶保持器时 开环系统脉冲传递函数为 五 闭环脉冲传函 采样器在闭环系统中有多种配置的可能性 系统的闭环Z传递函数不唯一 系统中有一个实际采样开关 增加三个虚拟采样开关 系统中的连续输出信号和误差信号的拉氏变换 误差采样信号的拉氏变换为 整理得 由于 取Z变换 得 误差脉冲传递函数 闭环脉冲传递函数 闭环离散系统的特征方程 注意 GH z 为开环离散系统脉冲传递函数 例7 22 求下图所示离散系统的闭环脉冲传递函数 解 对离散化 又 离散化后 有 闭环脉冲传递函数为 例7 23 求下图所示离散系统的闭环脉冲传递函数 解 对上式离散化 得 取Z变换得 不能求出闭环脉冲传递函数 只能求出 7 5系统的稳定性和稳态误差 一 离散系统的稳定性1 定义 对有界输入序列 其输出序列有界 则该离散系统稳定2 设一个离散系统特征方程为 当且仅当特征方程的全部特征根分布在z平面上单位圆内 即特征根的模均小于1 相应的线性离散系统是稳定的 当且仅当特征方程的全部特征根分布在z平面上单位圆内 即特征根的模均小于1 相应的线性离散系统是稳定的 例1 系统不稳定 离散系统稳定判据劳斯判据可以判断一个多项式方程位于复平面的右半平面上根的个数 为了判断一个多项式方程中位于z平面上以原点为圆心的单位圆外的根的个数 也可以利用劳斯判据 关键是把z平面的单位圆内区域映射到另一复平面的左半平面 解决方法 变换可以将z平面的特征方程转换为 平面的特征方程 从而应用劳斯判据 把劳斯稳定判据用于判断离散系统稳定性的步骤为 1 求出离散系统的特征方程 2 对其进行变换 整理后得出一个以w为变量的多项式方程 3 应用劳斯稳定判据 离散系统稳定的充分必要条件是 的根都在w平面的左半平面上 例2 设T 0 1s 试求系统稳定时K的临界值 解 闭环脉冲传递函数为 闭环特征方程为 令 列劳斯判别矩阵 所以 朱利稳定判据朱利判据是直接在z域的稳定判据 设离散系统的闭环特征方程为利用特征方程的系数 按下述方法构造 2n 3 行 n 1 列朱利阵列 朱利阵列各元的定义如下 例 已知系统的闭环特征方程为 采用朱利判据判断系统的稳定性 解 n 4 2n 3 5 朱利阵列有5行5列 计算各元素 系统稳定 二 采样周期与开环增益对稳定性的影响 离散系统的稳定性受零极点 开环增益K和采样周期影响 例3 如图所示系统 求1 采样周期T分别为1s 0 5s时 系统的临界开环增益2 r t 1 t K 1时 T 0 1s 1s 2s 4s时系统的输出响应 解 系统的开环脉冲传递函数为 闭环特征方程为 当时 有 令 根据劳斯判据 得 根据劳斯判据 得 当时 有 令 闭环系统脉冲传递函数为 令K 1 分别取T 0 1s 1s 2s 4s 做出仿真解 时 不容易直接计算出临界稳定的T 取输入 不同T时系统的响应 结论 当采样周期一定时 增大开环增益会使稳定性变差 甚至不稳定当开环增益一定时 采样周期越长 稳定性越差 三 离散系统稳态误差 若系统稳定 则可以应用终值定理 系统误差脉冲传递函数 例4 单位反馈离散系统中 求r t 1 t 和t时的稳态误差 解 闭环极点为 由于闭环极点全部位于单位圆内 系统稳定由终值定理 得 输入为时 输入为时 四 离散控制系统的型别与静态误差系数 在离散系统中 把开环脉冲传递函数G z 具有 的极点 个数 作为划分离散系统型别的标准 分为0型 I型 II型等 1 单位阶跃输入 令 称为系统的静态位置误差系数 0型 I型以上 结论 在单位阶跃函数作用下 0型离散系统在采样瞬时存在位置误差 I型或I型以上的离散系统 在采样瞬时没有位置误差 2 单位斜坡输入 令 称为系统的静态速度误差系数 0型 I型 II型以上 结论