北师大版八年级数学下册学案.doc

北师大版八年级数学下册学案1.1 不等关系1.2不等式的基本性质1.3不等式的解集1.4 一元一次不等式1.5 一元一次不等式与一次函数1.6 一元一次不等式组第二章 分解因式2.1 分解因式2.2 提公因式法2.3 运用公式法第三章 分式3.1 分式3.2 分式的乘除法3.3 分式的加减法3.4 分式方程第四章 相似图形4.1 线段的比4.2 黄金分割4.4 相似多边形4.5 相似三角形4.6 探索三角形相似的条件4.8 相似多边形的性质4.9 图形的放大和缩小第五章 数据的收集与整理5.1 每周干家务活的时间5.2 数据的收集5.3 频数与频率5.4 数据的波动第六章 证明（一）6.1 你能肯定吗6.2 定义与命题6.3 为什么它们平行6.4 如果两条直线平行6.5 三角形内角和定理的证明6.6 关注三角形的外角第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组1.1 不等关系要点：1一般地，用符号“”（或“”），“”（或“”）连接的式子叫做不等式。2“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“”表示。例如，x不大于10可以表示为x10（读作：“x小于或等于10”）。例题：1如下图，用两根长度均为lcm的绳子，分别围成一个正方形和圆。（1）如果要使正方形的面积不大于252，那么绳长l应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的面积大于1002，那么绳长l应满足怎样的关系式？（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？（4）改变l的取值再试一试，在这个过程中你能得到什么启发？在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表示为，圆的面积可以表示为。（1） 要使正方形的面积不大于252，就是，即。（2） 要使圆的面积大于1002，就是100，即 100（3） 当l=8时，正方形的面积为，圆的面积为，45.1，此时圆的面积大。当l=12时，正方形的面积为，圆的面积为， 911.5，此时还是圆的面积大。（4） 不论怎样改变l的取值，通过计算发现：总是圆的面积大，因此，我们可以猜想，用长度增色为l的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即2用不等式表示：（1） a的相反数是正数；（2） m与2的差小于；（3） x的与4的和不是正数；（4） y的一半与x的2倍的和不小于3。解答（1）a的相反数是-a，正数是比零大的数，所以“a的相反数是正数”就是-a0；（2）“m与2的差”就是m-2，“差小于”即是m-2；（3）“x的”就是x，“x的与4的和不是正数”就是x+40；（4）“y的一半”不是y,“x的2倍”就是2x，“不小于3”即指大于或等于3，故“y的一半与x的2倍的和不小于”就是y+2x3。1.2不等式的基本性质要点：1 不等式的基本性质：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。例题：1. 利用不等式的基本性质，填“”或“”：（1）若ab，则2a+1 2b+1;（2）若10，则y -8；（3）若ab，且c0，则ac+c bc+c；（4）若a0，b0， c0，（a-b）c 0。答案：（1）；（2）；（3）；（4）。2. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。（1）ab两边都加上-4；（2）-3ab两边都除以-3；（3）a3b两边都乘以2；（4）a2b两边都加上c；答案：（1）a-4b-4（不等式基本性质1）；（2）a-b（不等式基本性质3）；（3）2 a6b（不等式基本性质2）；（4）a+c2b+c（不等式基本性质2）。1.3不等式的解集要点：1 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。2 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。3 求不等式解集的过程叫做解不等式。4 数轴上实心与空心的区别在于：空心点表示解集不包括这一点，实心点表示解集包括这一点。5 数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走，小于向左走”这一原则。例题：1.（1）你能找出几个使不等式成立的x的值吗？（2）能使不等式成立吗？答案：（1）可以找出许多使不等式成立的x的值，比如：取，则15不等式成立，取则15不等式成立，取，则，15不等式成立，等等。（2）当时，15不等式不成立。当时，15不等式不成立。当，15不等式成立。2 不等式6的正整数解。答案：在不等式6的两边都减去3，得：x3而满足x3的正整数有1，2，所以不等式的正整数解为1，2。1.4 一元一次不等式要点：1 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。1.5 一元一次不等式与一次函数要点：1掌握一元一次不等式与一次函数的关系，会运用函数解决不等式有关问题。例题：1如果y=-2x-5,那么当x取何值时，y0?解：由图可知，当x0。2兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时哥哥追上弟弟？（2）何时弟弟跑在哥哥前面？（3）何时哥哥跑在弟弟前面？（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？ (5 ) 你是怎样求解的？与同伴交流。解：如图。1.6 一元一次不等式组要点：1一般地,关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起,就组成一个一元一次不等式组。2一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集。3求不等式组解集的过程,叫做解不等式组。4解一元一次不等式组的步骤:求出这个不等式组中各个不等式的解集。利用数轴求出这些不等式解集的公共部分。表示这个不等式组的解集。例题：1解不等式组:2x-1-x x1/3，解不等式，得x6，在同一条数轴上表示不等式和的解集,如图:因此,原不等式组的解集为：1/3x6本章体会：1感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义，初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一。2经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。3感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并体会分类讨论的数学思想。4会解有两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集。第二章 分解因式2.1 分解因式要点：1把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这种变形叫把这个多项式分解因式.2分解因式与整式乘法二者是互逆的过程。3因式分解是恒等变形。4分解因式要注意以下几点： 分解的对象必须是多项式. 分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. 要分解到不能分解为止.例题：1下列各题中，从左式到右式的变形，哪些是分解因式?哪些不是分解因式?为什么?(1)a22aba2(ab)2；(2)x23x2(x1)(x2)；(3)(x2)(x1)x2x2；(4)x(x2)x22x；(5)22(xy)(xy)；(6)m2m4(m3)(m2)2.答：(1)，(2)，(5)题中，从左式到右式的变形是分解因式，因为各题中的左式都是多项式，而右式都是整式乘积形式，均符合分解因式的定义；而(3)，(4)，(6)题中，从左式到右式的变形都不是分解因式，各题中的右式都不是整式乘积的形式，因此不符合分解因式的定义。2计算：765217235217。 解：765217235217=17(76522352)=17(765+235)(765235)=171000530=9010000320042+2004能被2005整除吗?解：20042+2004=2004(2004+1) =20042005 20042+2004能被2005整除2.2 提公因式法要点：1要点：1多项式ab+bc各项都含有相同的因式b,我们把多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的公因式。2如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法例题：1将下列各式分解因式3x+67x2-21x8a3b2-12ab3c+ab-24x3-12x2+28xa(x-y)+b(y-x)6(m-n)3-12(n-m)2解：3x+6=3x+32=3(x+2)7x2-21x=7xx - 7x3=7x (x-3)8a3b2-12ab3c+ab=ab8a2b-ab12b2c+ab1=ab(8ab2-12b2c+1)-24x3-12x2+28x=-(24x3+12x2-28x)=-(4x6x2+4x3x-4x7)=-4x(6x2+3x-7)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12-(m-n)2=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2)2请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立。(1)2a= (a2) (2)yx= (xy)(3)b+a= (a+b)(4)(ba)2= (ab)2(5)mn= (m+n)2.3 运用公式法要点：1关于完全平方式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。22ab2(a+b)22-2ab2(a-b)2形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式。上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个公式，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.2平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b23由分解因式与整式乘法的关系可以看出,如果把乘法公式反过来,那么就可以把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做运用公式法。例题：1分解下列因式（平方差公式）：1-4x2=(1-2x)(1+2x)m2-4=(m+4)(m-4)x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 4(m+n)2-(m-n)2=2(m+n)2-(m-n)2=2(m+n)+(m-n)2(m+n)-(m-n)=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n)3x3-12x=3x(x2-4)=3x(x+2)(x-2)2分解下列因式(完全平方公式)：x2+4x+4=(x+2)24a2+4a+1=(2a+1)2m2+10m(a+b)+25(a+b)2= m+5(a+b) 2= (m+5a+5b) 2x2+4y2+4xy=(x24xy+4y2)=(x2y)2(x+y) 26(x+y)+9=(x+y)22(x+y)3+32=(x+y3)23把下列各式分解因式（综合公式法）：(1) 3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)3a(x+y)2(2)81m472m2n2+16n4= (9m24n2) 2=(3m+2n) 2 (3m2n) 2本章体会：1分解因式这一概念有如下几个特点：结果一定是积的形式每个因式必须是整式各因式要分解到不能再分解为止2分解因式与多项式乘法首先，分解因式与整式乘法这种互逆关系是分解因式各种方法的理论基础，教材中几种分解因式基本方法的引入都紧扣这一关键多项式的乘法公式与分解因式公式实际上是同一个公式，只是用法不同，如果乘法公式掌握得好，分解因式也就容易了。其次，可以利用分解因式与整式乘法这种互逆关系来检验分解因式的结果是否正确。3分解因式的方法和步骤把一个多项式分解因式，首先观察这个多项式的特点，选用适当的方法分解因式.当所给的多项式的各项有公因式时，应先提公因式；当一个多项式是两项（或可以化成两项）的平方差形式时，就选用平方差公式；当一个多项式是完全平方式（或可以转化为完全平方式）时，就选用完全平方公式；当一个多项式两个平方项都含有负号时，先提负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；当多项式是二次三项式（或可以看作是二次三项式）时，通过变换，把这个多项式转化为完全平方式，再进行分解因式。4多项式的分解因式，必须是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。单项式与多项式相乘，(abc)abc；多项式与多项式相乘，得()()2+(n)n.乘法公式有：平方差公式：(ab)(ab)a2b2。完全平方公式：(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2。立方和与立方差公式：(ab)(a2abb2)a3b3，(ab)(a2abb2)a3b3。5运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行分解因式.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它分解因式。在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；如果是负号，则用公式a22ab+b2=(ab)2。在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式。在对多项式分解因式时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.当给出的多项式的结构比较复杂时，不能直接看出是否为完全平方式的形式，可以通过代换的方法或经过适当的变形(如添括号)，把原多项式化为完全平方式。第三章 分式3.1 分式要点：1如果整式A除以整式B,可以表示成 的形式.且除式B中含有字母，那么称式子 为分式,其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。2因为零不能作为除数，所以分数的分母不能是零。3在分式中，分母的值不能是零。分式中的分母如果是零，则分式没有意义。在分式中，当分子为零而分母不为零时，分式的值为零。4分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。5把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形叫做分式的约分。例题：1下列各式，哪些是整式，哪些是分式？答案：整式有：分式有：2当x取什么值时，下列分式有意义？ 解：由分母x2=0，得x=2。所以当x2时，分式 有意义。 由分母4x+1=0，得x= 。所以当x 时，分式 有意义。由分母|x|3=0，得x=。所以当x时，分式 有意义。3当x取何时，下列分式的值为零。（1）； （2）答案：（1） （2） ，即 x=3，即当x=3时，分式的值为零。4.分别写出下列等式中括号里面的分子或分母。（1）； （2）答案：（1）；（2）3.2 分式的乘除法要点：1两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。2化简分式时,通常要使结果成为最简分式或者整式。例题：1计算下列各题：（1）；（2）； （3）答案：（1）（2）；（3）2约分：（1）； （2）； （3）； （4）。答案：（1）；（2）； （3）（4）。3计算：（1）；（2）。答案：（1）原式=（2）原式=4先化简，再求值。，其中答案：原式=当时，3.3 分式的加减法要点：1同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母的加减法法则进行计算。例题：1计算：解：（1）（2）2计算：3.4 分式方程要点：1分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2使分母为零的未知数的值,就是增根。3解分式方程的一般步骤： 去分母，化为整式方程解整式方程检验结论例题：1解方程：解:方程两边同时乘以x(x-2),得x=2(x-3)解这个方程,得 x=6检验：将x=6代入原方程,得左边= =右边所以x=6是原方程的根解:方程两边同时乘以x-2,得1-x=-1-2(x-2)解这个方程,得x=2检验:将x=2代入原方程,知分母为0,所以x=2为原方程的增根,所以原方程无解2从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。这一问题中有哪些等量关系？客车在普通公路上行驶的平均速度客车由普通公路从甲地到乙地的时间=600km客车在高速公路上行驶的平均速度客车由高速公路从甲地到乙地的时间=480km客车在高速公路上行驶的平均速度客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h2由高速公路从甲地到乙地的时间由普通公路从甲地到乙地的时间如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x 小时，那么它由普通公路从甲地到乙地的时间为 h。根据题意可得方程：480600452xx453一艘轮船逆流航行2km的时间比顺流航行2km的时间多用了40分钟, (在横线上补充一个条件并提出一个问题)如:已知水速为2